高中人教A版 (2019)1.5 全称量词与存在量词精品一课一练

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知识点01：全称量词与全称量词命题
概念:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.
表示:全称量词命题“对中任意一个,成立”可用符号简记为.
对全称量词与全称量词命题的理解
(1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.注意:全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定.
(2)常见的全称量词还有“一切”“任给”等.
(3)一个全称量词命题可以包含多个变量,如“”.
(4)全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”.
知识点02：存在量词与存在量词命题
概念:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
表示:存在量词命题“存在中的元素,成立”,可用符号简记为.
对存在量词与存在量词命题的理解
(1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题.
(2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.
(3)含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题.
(4)一个存在量词命题可以包含多个变量,如“”.
(5)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
知识点03：全称量词命题和存在量词命题的否定
1全称量词命题及其否定（高频考点）
①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：.
②全称量词命题的否定：.
2存在量词命题及其否定（高频考点）
①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：.
②存在量词命题的否定：.
【即学即练1】（2023春·陕西宝鸡·高一校联考阶段练习）命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由全称命题的否定知原命题的否定为．
故选：C．
知识点4：常用的正面叙述词语和它的否定词语
题型01 判断全称命题与特称命题
【典例1】（2023秋·陕西西安·高一校考期末）下列语句不是全称量词命题的是（ ）
A．任何一个实数乘以零都等于零
B．自然数都是正整数
C．高一(一)班绝大多数同学是团员
D．每一个实数都有大小
【答案】C
【详解】A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题；
B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；
C中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题；
D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题．
故选：C.
【典例2】（多选）（2023秋·陕西西安·高一统考期末）关于命题“”，下列判断正确的是（ ）
A．该命题是全称量词命题B．该命题是存在量词命题
C．该命题是真命题D．该命题是假命题
【答案】BC
【详解】是存在量词命题，
A选项错误B选项正确；
时，成立，
命题为真命题，即C正确D错误.
故选：BC
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）下列命题是特称命题的是（ ）
①有一个实数a，a不能取对数；②所有不等式的解集A，都有A⊆R；③有些向量方向不定；④矩形都是平行四边形.
A．①③B．②④C．①②D．③④
【答案】A
【详解】①中含有存在量词“有一个”；②中含有全称量词“所有”；③中含有存在量词“有些”；④中含有存在量词“都是”．故①③是特称命题.
故选：A.
题型02全称命题与特称命题的否定
【典例1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）命题，，则命题的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【详解】由题意得，为全称量词命题，
故命题p的否定是，，
故选：A
【典例2】（2023春·安徽滁州·高一校考开学考试）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【详解】∵命题“，”为特称命题，特称命题的否定是全称命题，
∴命题“，”的否定是“，”．
故选：B
【典例3】（2023春·新疆省直辖县级单位·高一校联考阶段练习）命题“对任意的，有”的否定是（ ）
A．不存在，使B．存在， 使
C．存在，使D．对任意的，
【答案】C
【详解】“对任意的，有”，
即“对任意的，有”，
其否定为“存在，使”，
故选：C.
【典例4】（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考期中）命题，，则命题的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【详解】解：因为命题，是全称量词命题，
所以其否定是存在量词命题，即 ，，
故选：B
【变式1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）命题“，”的否定是______.
【答案】，
【详解】由全称命题的否定形式可得：“，”的否定是
“，”.
故答案为：，.
题型03全称命题、特称命题与充分（必要）条件
【典例1】（2023·重庆·统考模拟预测）命题“”是真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】若命题“”是真命题，则，
可知当时，取到最大值，解得，
所以命题“”是真命题等价于“”.
因为，故“”是“”的必要不充分条件，故A正确；
因为，故“”是“”的充要条件，故B错误；
因为，故“”是“”的充分不必要条件，故C错误；
因为与不存在包含关系，故“”是“”的即不充分也不必要条件，故D错误；
故选：A.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知，；，则是的______条件．（在充分不必要､必要不充分、充要、既不充分也不必要中选一个正确的填入）
【答案】必要不充分
【详解】因为，为真命题等价于不等式在上恒成立，
当时，显然不成立；
当时，，解得，
综上，实数的取值范围为，
所以，
又因为，
所以p是q的必要不充分条件．
故答案为：必要不充分.
【典例3】（2023春·四川眉山·高二仁寿一中校考阶段练习）已知命题:“，不等式”是真命题.
(1)求实数的取值集合；
(2)设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1) ；（2）
【详解】解：（1）命题：，都有不等式成立是真命题，
∴，即在时恒成立，
又当时，
∴，即；
（2）不等式，
故
∵是的充分不必要条件，则是的真子集，
∴，解得，
故实数a的取值范围为.
【变式1】（2023春·甘肃张掖·高一统考期末）已知为实数，使“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：依题意，全称量词命题：为真命题，
所以，在区间上恒成立，所以，
所以使“”为真命题的一个充分不必要条件是“”.
故选：B
【变式2】（2023春·四川遂宁·高二遂宁中学校考期中）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为命题“，”是真命题，
所以，恒成立，
所以，
结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是，
故选：B
题型04根据全称命题与特称命题的真假求参数
【典例1】（2023春·重庆江北·高一字水中学校考开学考试）若命题“时，”是假命题，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为命题“时，”是假命题，
所以命题“时，”是真命题，
即有，
易知当，有最小值0,
所以.
故选：C
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】依题意命题“，”为真命题，
当时，成立，
当时，成立，
当时，函数开口向下，不恒成立.
综上所述，.
故选：B
【典例3】（2023秋·新疆乌鲁木齐·高一校考期末）若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是________.
【答案】
【详解】由题意得：“，使得”是真命题，
即，解得：，
故实数的取值范围是.
故答案为：
【典例4】（2023秋·山东枣庄·高三统考期末）已知“，”为假命题，则实数的取值范围是______.
【答案】
【详解】因命题“，”为假命题，则命题“，”为真命题，
当时，恒成立，则；
当时，必有，解得，
综上，实数a的取值范围是.
故答案为：
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）若命题“”是假命题，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】因为命题“，”是假命题，
所以命题“，”是真命题，
若，即或，
当时，不等式为，恒成立，满足题意；
当时，不等式为，不恒成立，不满足题意；
当时，则需要满足，
即，解得，
综上所述，的范围是，
故选：B.
【变式2】（2023秋·山东临沂·高一校考期末）若为真命题，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【详解】因为为真命题，
当时，即，成立；
当时，即，解得
综上所述，的取值范围是
故答案为:
题型05重点方法（判别法）
【典例1】（2023春·四川达州·高二校考阶段练习）已知命题“”是假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由题意可知，命题“”是假命题
则该命题的否定“”是真命题，
所以，解得；
故选：D.
【典例2】（多选）（2023·全国·高三专题练习）命题“，使”是假命题，则实数m的取值可以为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】CD
【详解】若，使是假命题，
则，使是真命题，
当时，转化，不合题意；
当时，则，
解得，
综上，.
故选：CD.
【典例3】（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳江油中学校考期中）若命题“”为假命题，则实数的取值范围是____．
【答案】[2，6]
【详解】由命题“”的否定为“”，
因为命题“”为假命题，则“”为真命题，
所以，解得，
则实数的取值范围是.
故答案为：.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）命题：“，”为假命题，则的取值范围是_________．
【答案】
【详解】“，”为假命题则“，”为真命题，
①当时，，成立；
②当时，，解得；
综上所述，.
故答案为：.
题型06重点方法（变量分离法）
【典例1】（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知．若p为假命题，则a的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为p为假命题，所以，为真命题，
故当时，恒成立．
因为当时，的最小值为，
所以，即a的取值范围为．
故选：A.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）命题：，为真命题的一个充分条件是_________．
【答案】（不唯一，集合的子集即可）
【详解】解：因为，对于，为真命题，
所以，对于，恒成立，
所以，对于，恒成立，
因为，对勾函数的最大值为，
所以，对于，恒成立，则
所以，命题为真命题时，的取值范围是，
所以，命题：，为真命题的一个充分条件可以是（不唯一，集合的子集即可）
故答案为：（不唯一，集合的子集即可）
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知命题“，”是假命题，则m的取值范围是_________.
【答案】
【详解】由题意可知命题“，”是真命题，即，.因为，所以，则.
故答案为：.
1.5全称量词与存在量词
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·辽宁·高三校联考期中）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【详解】根据全称量词命题的否定形式可知，
命题“，”的否定为，.
故选：C
2．（2023·青海西宁·统考一模）已知命题，，则p的否定为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由存在量词命题的否定为全称量词命题，
得p的否定为.
故选：A.
3．（2023春·辽宁·高二校联考阶段练习）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是1742年哥德巴赫给数学家欧拉的信中提出的猜想：“任意大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”，则哥德巴赫猜想的否定为（ ）
A．任意小于2的偶数都不可以表示成两个质数之和
B．任意大于2的偶数都不可以表示成两个质数之和
C．至少存在一个小于2的偶数不可以表示成两个质数之和
D．至少存在一个大于2的偶数不可以表示成两个质数之和
【答案】D
【详解】哥德巴赫猜想的否定为“至少存在一个大于2的偶数不可以表示成两个质数之和”．
故选：D
4．（2023·全国·高三专题练习）命题“”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由命题“”为假命题，
则该命题的否定：“”为真命题，
也即，所以，
所以为该命题的一个充分不必要条件，
故选：C.
5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知命题，，若为真命题，则a的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】：，，因为为真命题，则，即.
故选：C.
6．（2023秋·江西吉安·高一江西省安福中学校考期末）已知命题“，使得”是真命题，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】D
【详解】因为命题“，使得”是真命题，
所以方程有两个不等的实数根，所以，
解得：或，
故选：.
7．（2023·全国·高三专题练习）命题：“”为假命题，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】命题为假命题，即命题为真命题.
首先，时，恒成立，符合题意；
其次时，则且，即，
综上可知，－4<
故选：A
8．（2023·全国·高三专题练习）命题“a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一个成立”的否定为（ ）
A．a，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一个成立
B．a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立
C．a，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一个成立
D．a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立
【答案】D
【详解】“a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一个成立”的否定为：
a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立.
故选：D
二、多选题
9．（2023秋·湖南娄底·高一校考期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．“”是存在量词命题B．
C．D．“全等三角形面积相等”是全称量词命题
【答案】ABD
【详解】“”是存在量词命题，选项A为真命题．
，选项B为真命题．
因为由得，所以选项C为假命题．
“全等三角形面积相等”是全称量词命题，选项D为真命题．
故选：ABD
10．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）下列命题的否定中，是真命题的有（ ）
A．某些平行四边形是菱形B．
C．D．有实数解
【答案】BD
【详解】对于A，某些平行四边形是菱形，是真命题；
对于B，因为，所以原命题是假命题；
对于C，，是真命题；
对于D，只有，即或时，有实数解，是假命题；
根据原命题和它的否定真假相反的法则判断，选项BD中，原命题的否定是真命题.
故选：BD
三、填空题
11．（2023·全国·高三专题练习）命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为 _____．
【答案】
【详解】命题“，使”是假命题，
则命题，恒成立为真命题，
所以当时，，不恒成立，
当时，需满足可得，
解得，
故的范围为．
故答案为：．
12．（2023·全国·高三专题练习）若命题“存在”为假命题，则实数的取值范围是________．
【答案】
【详解】试题分析： 因为命题“存在”的否定是“对任意”．命题的否定是真命题，则
四、解答题
13．（2023春·福建南平·高二福建省南平市高级中学校考期中）已知集合
（1）若，求实数m的取值范围.
（2）命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】解：（1）①当B为空集时，成立.
②当B不是空集时，∵，，∴
综上①②，.
（2），使得，∴B为非空集合且.
当时，无解或，，
∴.
14．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考期中）已知命题，为假命题．
(1)求实数a的取值集合A；
(2)设集合，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）解：命题的否命题为，为真，
且，
解得．
∴．
（2）解：由解得
，
若“”是“”的必要不充分条件，
则，
∴当时，即，
解得；
当时，，
解得，
综上：或．
B能力提升
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知命题，，若p是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【详解】由题意可得，，恒成立，
可得，即，解得或，
即实数a的取值范围是或.
故选：AB
2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）下列条件中，为 “关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【详解】因为关于的不等式对恒成立，
当时，原不等式即为恒成立；
当时，不等式对恒成立，
可得，即，解得：.
当时，的图象开口向下，原不等式不恒成立，
综上：的取值范围为：.
所以“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有
或.
故选：BC.
3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）取整函数：不超过的最大整数，如，取整函数在现实生活中有着广泛的应用，如停车收费、出租车收费等等都是按照“取整函数”进行计费的，以下关于“取整函数”的性质是真命题有（ ）
A．B．
C．则D．
【答案】BC
【详解】时，，但，A错；
时，，B正确；
设，则，，∴，C正确；
，则，但，D错．
故选：BC．
4．（2023·全国·高三专题练习）若，，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【详解】，，则，
由基本不等式可得，
当且仅当即时，等号成立，
所以，
因此实数的取值范围是.
故答案为：.课程标准
学习目标
①理解全称量词与存在量词的含义，并能掌握全称量词命题与存在量词命题的概念，能用数学符号表示两种命题，能准确判断两类命题的真假，及判定方法.
②理解含有一个量词的命题的否定的意义，能准确表达含有一个量词的命题否定的数学要求
1．通过学习能准确判定全称量词命题与存在量词命题的真假性，会用数学符号准确表达题的具体要求.
2．能根据题的具体要求准确写出两类量词命题的否定，会求在两类量词命题中的待定参数.以及与两类量词有关的命题的综合问题.
正面词语
等于（）
大于（）
小于（）
是
否定词语
不等于（）
不大于（）
不小于（）
不是
正面词语
都是
任意的
所有的
至多一个
至少一个
否定词语
不都是
某个
某些
至少两个
一个也没有