2023-2024学年江苏省无锡市锡山区天一实验学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）

这是一份2023-2024学年江苏省无锡市锡山区天一实验学校九年级（上）月考数学试卷（12月份），共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．cs30°的值是（ ）
A．B．C．D．
2．若关于x的一元二次方程x（x+1）+ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2或2D．﹣3或1
3．将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x﹣3）2+5
C．y＝（x+5）2+3D．y＝（x﹣5）2+3
4．⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
5．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．75°
6．如图，用矩形ABCD纸片裁一扇形ABE，围成圆锥侧面．若AB＝16，则此圆锥底面半径为 （ ）
A．4B．16C．4D．8
7．在△ABC中，已知AB＝AC，sinA＝，则tanB的值是（ ）
A．B．2C．D．
8．如图，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+2（a≠0）与y＝﹣ax2﹣2x（a≠0）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，已知点A（3，4），点B为直线x＝﹣2上的动点，点C（x，0）且﹣2＜x＜3，BC⊥AC垂足为点C，连接AB．若AB与y轴正半轴的所夹锐角为α，当tanα的值最大时x的值为（ ）
A．B．C．1D．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE＝CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CEDF不可能为正方形；
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；
④点C、E、D、F四点在同一个圆上，且该圆的面积最小为4π；
⑤DE•DF+CE•CF的值是定值为8．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
11．已知3是关于x的方程x2﹣5x+c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是 ．
12．已知圆锥的底面圆半径为3cm、高为4cm，则圆锥的侧面积是 cm2．
13．抛物线y＝x2﹣4x+1的顶点坐标为 ．
14．线段AB两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得线段CD（A与C对应），则点D的坐标为 ．
15．若函数y＝mx2﹣4x+1的图象与x轴有一个公共点，则m的范围是 ．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I′的坐标为 ．
17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E+∠F＝80°，则∠A＝ °．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知，，B（0，2），，点P（m，n）为直线AB上一动点，若∠OPC＝30°，则m的值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算
（1）sin230°+cs245°+sin60°•tan45°
（2）﹣|tan60°﹣cs30°|
20．（8分）解方程
（1）x2﹣2x﹣2＝0
（2）2（x﹣3）2＝x﹣3
21．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABO的三个顶点A、B、O都在格点上．
（1）画出△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到的△A1B1O三角形；
（2）点B的运动路径的长；
（3）求△ABO在上述旋转过程中所扫过的面积．
22．在矩形ABCD中，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．
（1）求证：△DEC∽△FDC；
（2）若DE＝2，F为AD的中点，求BD的长度．
23．图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM＝60°．
（1）求点M到地面的距离；
（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）
24．如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N．
（1）求证：△ODM∽△MCN；
（2）设DM＝x，求OA的长（用含x的代数式表示）；
（3）在点O的运动过程中，设△CMN的周长为P，试用含x的代数式表示P，你能发现怎样的结论？
25．小明同学在研究如何在△ABC内做一个面积最大的正方形时，想到了可以利用位似知识解决这个问题，他的做法是：（如图1）先在△ABC内作一个小正方形DEFG，使得顶点D落在边AB上，顶点E、F落在边BC上，然后连接BG并延长交AC边于点H，作HK⊥BC，HI∥BC，再作IJ⊥BC于J，则正方形HIJK就是所作的面积最大的正方形．
（1）若△ABC中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，请求出小明所作的面积最大的正方形的边长．
（2）拓展运用：
如图2，已知∠BAC，在角的内部有一点P，请画一个⊙M，使得⊙M经过点P，且与AB、AC都相切．
（注：并简要说明画法）
26．某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表：
（1）若某天销售利润为800元，求该天的售价为多少元/件？
（2）设该商店销售商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？
（3）由于某种原因，该商品进价提高了a元/件（a＞0），该商店在今后的销售中，日销售量与售价仍然满足原来的函数关系．规定商店售价不低于进价，售价不得超过70元/件，若今后每天能获得的销售最大利润是960元，求a的值．
27．如果三角形的两个内角α与β满足α﹣β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．
（1）若△ABC是“准直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝70°，则∠B＝ °．
（2）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB＝10，D是BC上的一点，tanB＝，若CD＝，请判断△ABD是否为准直角三角形，并说明理由．
（3）如图2，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，E是直径AB下方半圆上的一点，AB＝10，tan∠ABC＝，若△ACE为”准直角三角形”，求CE的长．
28．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C．二次函数y＝ax2+2x+c的图象过B，C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点（不与端点O，B重合）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图①，过点M作y轴的平行线l交BC于点F，交二次函数y＝ax2+2x+c的图象于点E，记△CEF的面积为S1，△BMF的面积为S2，当时，求点E的坐标；
（3）如图②，连接CM，过点M作CM的垂线l1，过点B作BC的垂线l2，l1与l2交于点G，试探究的值是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由．
2023-2024学年江苏省无锡市锡山区天一实验学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
1．cs30°的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据特殊角的三角函数值直接求解即可．
解：cs30°＝．
故选：A．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值的记忆情况．特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要熟练掌握．
2．若关于x的一元二次方程x（x+1）+ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2或2D．﹣3或1
【分析】已知一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ＝0；结合已知方程写出根的判别式，即可得到关于a的方程：（1+a）2＝0；结合求解即可得到a的值．
解：因为方程x（x+1）+ax＝0有两个相等的实数根，
即方程x2+（1+a）x＝0有两个相等的实数根，
所以Δ＝（1+a）2﹣4×1×0＝0，
解得，a＝﹣1，
所以实数a的值为﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查的是根的判别式，关键是明白方程有两个相等实根的条件．
3．将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x﹣3）2+5
C．y＝（x+5）2+3D．y＝（x﹣5）2+3
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝x2+3；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2+3向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣5）2+3；
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
4．⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
【分析】圆心O到直线l的距离d＝3，而⊙O的半径R＝4．又因为d＜R，则直线和圆相交．
解：∵圆心O到直线l的距离d＝3，⊙O的半径R＝4，则d＜R，
∴直线和圆相交．故选A．
【点评】考查直线与圆位置关系的判定．要掌握半径和圆心到直线的距离之间的数量关系．
5．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．75°
【分析】首先连接AD，由直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB＝90°，由直角三角形的性质，求得∠A的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BCD的度数．
解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝55°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝35°，
∴∠BCD＝∠A＝35°．
故选：A．
【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用．
6．如图，用矩形ABCD纸片裁一扇形ABE，围成圆锥侧面．若AB＝16，则此圆锥底面半径为 （ ）
A．4B．16C．4D．8
【分析】圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长，列方程求解．
解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得
2πr＝，
解得r＝4．
故圆锥的底面半径为4；
故选：A．
【点评】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
7．在△ABC中，已知AB＝AC，sinA＝，则tanB的值是（ ）
A．B．2C．D．
【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD＝3k，则AB＝AC＝5k，继而可求出BD＝k，从而求出tanB的值．
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
在Rt△ACD中，sinA＝，
设CD＝4k，则AB＝AC＝5k，
∴AD＝＝3k，
在△BCD中，∵BD＝AB﹣AD＝5k﹣3k＝2k，
∴tanB＝＝＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的知识，过点C作CD⊥AB，构造直角三角形是关键．
8．如图，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+2（a≠0）与y＝﹣ax2﹣2x（a≠0）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由题意分情况进行分析：①当a＞0时，抛物线开口向下，经过原点且对称轴为直线x＝﹣＝﹣＜0，②当a＜0时，抛物线开口向上，经过原点且对称轴为直线x＝﹣＝﹣＞0，因此选择D．
解：∵y＝ax+2，
∴b＝2，
∴一次函数图象与y轴的正半轴相交，
①当a＞0时，
则二次函数y＝﹣ax2﹣2x（a≠0）的图象开口向下，经过原点且对称轴为直线x＝﹣＝﹣＜0，
②当a＜0时，
则二次函数y＝﹣ax2﹣2x（a≠0）的图象开口向上，经过原点且对称轴为直线x＝﹣＝﹣＞0，
故D正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的图象、一次函数的图象，关键在于熟练掌握图象与系数的关系．
9．如图，已知点A（3，4），点B为直线x＝﹣2上的动点，点C（x，0）且﹣2＜x＜3，BC⊥AC垂足为点C，连接AB．若AB与y轴正半轴的所夹锐角为α，当tanα的值最大时x的值为（ ）
A．B．C．1D．
【分析】设直线x＝﹣2与x轴交于G，过A作AH⊥直线x＝﹣2于H，AF⊥x轴于F，根据平行线的性质得到∠ABH＝α，由三角函数的定义得到tanα＝，根据相似三角形的性质得到比例式＝，于是得到y＝（x+2）（3﹣x）＝﹣（x﹣）2+，根据二次函数的性质即可得到结论．
解：如图，设直线x＝﹣2与x轴交于G，过A作AH⊥直线x＝﹣2于H，AF⊥x轴于F，
∵BH∥y轴，
∴∠ABH＝α，
在Rt△ABH中，tanα＝，
∵tanα随BH的增大而减小，
∴当BH最小时tanα有最大值；即BG最大时，tanα有最大值，
∵∠BGC＝∠ACB＝∠AFC＝90°，
∴∠GBC+∠BCG＝∠BCG+∠ACF＝90°，
∴∠GBC＝∠ACF，
∴△ACF∽△CBG，
∴＝，
设BG＝y，
则＝，
∴y＝（x+2）（3﹣x）＝﹣（x﹣）2+，
当x＝时，ymax＝
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线证得△ACF∽△CBG是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE＝CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CEDF不可能为正方形；
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；
④点C、E、D、F四点在同一个圆上，且该圆的面积最小为4π；
⑤DE•DF+CE•CF的值是定值为8．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】连接CD，易得△ABC是等腰直角三角形，则∠A＝∠B＝45°，在根据等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质得CD⊥AB，CD＝AD＝BD，则∠DCB＝45°，得到∠A＝∠DCF，然后利用“SAS”证明△ADE≌△CDF，得到ED＝DF，∠CDF＝∠ADE，易得∠EDC+∠CDF＝90°，于是可判断△DFE是等腰直角三角形；当E、F分别为AC、BC中点时，易判断四边形CDFE是正方形；由△ADE≌△CDF得S△ADE＝S△CDF，则S四边形CEDF＝S△CDE+S△CDF＝S△CDE+S△ADE＝S△ADC＝S△ABC＝4，判断四边形CEDF的面积为定值；根据圆周角定理的推论得到点C、D在以EF为直径的圆上，即点C、E、D、F四点在同一个圆上，由△DEF是等腰直角三角形得到EF＝DE，再根据垂线段最短得到当DE⊥AC时，DE最短，此时DE＝AC＝2，则EF的最小值为2，根据圆的面积公式得到以EF为直径的圆的面积的最小值＝2π；由S四边形CEDF＝S△CFE+S△DEF＝4，利用三角形面积公式得到CE•CF+DE•DF＝4，所以DE•DF+CE•CF＝8．
解：连接CD，如图1，
∵∠C＝90°，AC＝BC＝4，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵D为AB的中点，
∴CD⊥AB，CD＝AD＝BD，
∴∠DCB＝∠B＝45°，
∴∠A＝∠DCF，
在△ADE和△CDF中
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴ED＝DF，∠CDF＝∠ADE，
∵∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠EDC+∠CDF＝90°，即∠EDF＝90°，
∴△DFE是等腰直角三角形，所以①正确；
当E、F分别为AC、BC中点时，如图2，则AE＝CE＝CF＝BF，DE＝AE＝CE，
∴CE＝CF＝DE＝DF，
而∠ECF＝90°，
∴四边形CDFE是正方形，所以②错误；
∵△ADE≌△CDF，
∴S△ADE＝S△CDF，
∴S四边形CEDF＝S△CDE+S△CDF＝S△CDE+S△ADE＝S△ADC＝S△ABC＝××4×4＝4，所以③错误；
∵△CEF和△DEF都为直角三角形，
∴点C、D在以EF为直径的圆上，即点C、E、D、F四点在同一个圆上，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴EF＝DE，
当DE⊥AC时，DE最短，此时DE＝AC＝2，
∴EF的最小值为2，
∴以EF为直径的圆的面积的最小值＝π•（•2）2＝2π，所以④错误；
∵S四边形CEDF＝S△CFE+S△DEF＝4，
∴CE•CF+DE•DF＝4，
∴DE•DF+CE•CF＝8，所以⑤正确．
故选：B．
【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理及其推论、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质；会运用三角形全等证明线段和角相等．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
11．已知3是关于x的方程x2﹣5x+c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是 x＝2 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝3代入原方程求得c值，然后利用因式分解法解方程即可求得方程的另一根．
解：∵3是关于x的方程x2﹣5x+c＝0的一个根，
∴32﹣5×3+c＝0，即﹣6+c＝0，
解得，c＝6；
∴由原方程，得
x2﹣5x+6＝0，即（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得，x＝2或x＝3，
∴方程的另一个根是x＝2；
故答案为：x＝2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义、解一元二次方程﹣﹣因式分解法．把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法．
12．已知圆锥的底面圆半径为3cm、高为4cm，则圆锥的侧面积是 15π cm2．
【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长＝5（cm），然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算圆锥的侧面积．
解：圆锥的母线长＝＝5（cm），
所以圆锥的侧面积＝•2π•3•5＝15π（cm2）．
故答案为15π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
13．抛物线y＝x2﹣4x+1的顶点坐标为 （2，﹣3） ．
【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，可求顶点坐标．
解：∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∴抛物线顶点坐标为（2，﹣3）．
【点评】将解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
14．线段AB两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得线段CD（A与C对应），则点D的坐标为 （4，1） ．
【分析】画出线段AB缩小为原来的后得线段CD的位似图形，即可解决问题．
解：如图，线段AB的对应线段为CD，易知D（4，1）．
故答案为（4，1）．
【点评】本题考查位似变换、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是正确作出图形解决问题，属于中考常考题型．
15．若函数y＝mx2﹣4x+1的图象与x轴有一个公共点，则m的范围是 m≤4 ．
【分析】首先分类讨论m＝0和m≠0，然后在m≠0时利用判别式求解．
解：当m＝0时，y＝﹣4x+1，此时是一次函数，与x轴有一个公共点；
当m≠0时，y＝mx2﹣4x+1是二次函数，
∵函数与x轴有一个公共点，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4m≥0，
∴m≤4，
∴函数y＝mx2﹣4x+1的图象与x轴有一个公共点，则m的范围是m≤4．
故答案为：m≤4．
【点评】此题整体考查了函数图象与x轴的交点问题，同时也利用了分类讨论的思想，解题的关键是利用判别式解决问题．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I′的坐标为 （﹣2，3） ．
【分析】直接利用直角三角形的性质得出其内切圆半径，进而得出I点坐标，再利用旋转的性质得出对应点坐标．
解：过点作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E，
∵A（4，0），B（0，3），C（4，3），
∴BC＝4，AC＝3，
则AB＝5，
∵I是△ABC的内心，
∴I到△ABC各边距离相等，等于其内切圆的半径，
∴IF＝1，故I到BC的距离也为1，
则AE＝1，
故IE＝3﹣1＝2，
OE＝4﹣1＝3，
则I（3，2），
∵△ABC绕原点逆时针旋转90°，
∴I的对应点I'的坐标为：（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，得出其内切圆半径是解题关键．
17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E+∠F＝80°，则∠A＝ 50 °．
【分析】连接EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠BCD＝180°，根据对顶角相等得∠BCD＝∠ECF，则∠A+∠ECF＝180°，根据三角形内角和定理得∠ECF+∠1+∠2＝180°，所以∠1+∠2＝∠A，再利用三角形内角和定理得到∠A+∠AEB+∠1+∠2+∠AFD＝180°，则∠A+80°+∠A＝180°，然后解方程即可．
解：连接EF，如图，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠BCD＝180°，
而∠BCD＝∠ECF，
∴∠A+∠ECF＝180°，
∵∠ECF+∠1+∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝∠A，
∵∠A+∠AEF+∠AFE＝180°，
即∠A+∠AEB+∠1+∠2+∠AFD＝180°，
∴∠A+80°+∠A＝180°，
∴∠A＝50°．
故答案为：50．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了三角形内角和定理．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知，，B（0，2），，点P（m，n）为直线AB上一动点，若∠OPC＝30°，则m的值为 或 ．
【分析】根据题意，可以求得直线AB的函数解析式和∠BAC的度数，然后根据三角形相似和勾股定理，可以表示出OP，从而可以求得m的值，本题得以解决．
解：∵，B（0，2），，
∴OA＝2，OB＝2，OC＝，
∴tan∠BAO＝，
∴∠BAO＝30°，
∵∠OPC＝30°，
∴∠OPC＝∠OAP，
∵∠POA＝∠AOP，
∴△OPC∽△OAP，
∴，
即，
解得，OP＝，
设过点，B（0，2）的直线解析式为y＝kx+b，
，得，
即直线AB的函数解析式为y＝﹣x+2，
∵P（m，n）为直线AB上一动点，
∴n＝﹣m+2，
∵OP＝，
∴＝，
解得，m1＝，m2＝，
故答案为：或．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、三角形相似、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
三、解答题（本大题共10小题，共96分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算
（1）sin230°+cs245°+sin60°•tan45°
（2）﹣|tan60°﹣cs30°|
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值以及结合实数运算法则计算得出答案；
（2）直接利用特殊角的三角函数值以及结合实数运算法则计算得出答案．
解：（1）原式＝（）2+（）2+××1
＝++
＝+；
（2）原式＝﹣﹣（﹣）
＝﹣﹣．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆相关数据是解题关键．
20．（8分）解方程
（1）x2﹣2x﹣2＝0
（2）2（x﹣3）2＝x﹣3
【分析】（1）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解：（1）x2﹣2x﹣2＝0，
x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝2+1，
（x﹣1）2＝3，
x﹣1＝，
x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）2（x﹣3）2＝x﹣3，
2（x﹣3）2﹣（x﹣3）＝0，
（2x﹣3）[2（x﹣3）﹣1]＝0，
2x﹣3＝0，2（x﹣3）﹣1＝0，
x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．
21．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABO的三个顶点A、B、O都在格点上．
（1）画出△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到的△A1B1O三角形；
（2）点B的运动路径的长；
（3）求△ABO在上述旋转过程中所扫过的面积．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用弧长公式列式计算即可得解；
（3）观察图形，△ABO旋转过程中所扫过的面积等于一个扇形的面积加上三角形的面积列式计算即可得解．
解：（1）△A1B1O如图所示；
（2）点B的运动路径的长＝＝2π；
（3）扫过的面积＝S扇形B1OB+S△AOB，
＝+×4×2，
＝4π+4．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，弧长的计算，扇形面积的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
22．在矩形ABCD中，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．
（1）求证：△DEC∽△FDC；
（2）若DE＝2，F为AD的中点，求BD的长度．
【分析】（1）由矩形的性质可知∠FDC＝∠DEC＝90°，结合公共角可证明△DEC∽△FDC；
（2）由DF∥BC可知＝＝，可求得BE，进一步可求出BD．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，CF⊥BD，
∴∠FDC＝∠DEC＝90°，且∠DCE＝∠DCF，
∴△DEC∽△FDC；
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DF∥BC，且F为中点，
∴＝＝，且DE＝2，
∴BE＝4，
∴BD＝BE+DE＝4+2＝6．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定及平行线分线段成比例，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
23．图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM＝60°．
（1）求点M到地面的距离；
（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）
【分析】（1）构建直角△OMN，求ON的长，相加可得BN的长，即点M到地面的距离；
（2）左边根据要求留0.65米的安全距离，即取CE＝0.65，车宽EH＝2.55，计算高GH的长即可，与3.5作比较，可得结论．
解：（1）如图，过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N，
Rt△OMN中，∠NOM＝60°，OM＝1.2，
∴∠M＝30°，
∴ON＝OM＝0.6，
∴NB＝ON+OB＝3.3+0.6＝3.9；
即点M到地面的距离是3.9米；
（2）取CE＝0.65，EH＝2.55，
∴HB＝3.9﹣2.55﹣0.65＝0.7，
过H作GH⊥BC，交OM于G，过O作OP⊥GH于P，
∵∠GOP＝30°，
∴tan30°＝＝，
∴GP＝OP＝≈0.404，
∴GH＝3.3+0.404＝3.704≈3.70＞3.5，
∴货车能安全通过．
【点评】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，在直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N．
（1）求证：△ODM∽△MCN；
（2）设DM＝x，求OA的长（用含x的代数式表示）；
（3）在点O的运动过程中，设△CMN的周长为P，试用含x的代数式表示P，你能发现怎样的结论？
【分析】（1）依题意可得∠OMC＝∠MNC，然后可证得△ODM∽△MCN．
（2）设DM＝x，OA＝OM＝R，OD＝AD﹣OA＝8﹣R，根据勾股定理求出OA的值．
（3）由1可求证△ODM∽△MCN，利用线段比求出CN，MN的值．然后可求出△CMN的周长等于CM+CN+MN，把各个线段消去代入可求出周长．
【解答】（1）证明：∵MN切⊙O于点M，
∴∠OMN＝90°；（1分）
∵∠OMD+∠CMN＝90°，∠CMN+∠CNM＝90°；
∴∠OMD＝∠MNC；
又∵∠D＝∠C＝90°；
∴△ODM∽△MCN，
（2）解：在Rt△ODM中，DM＝x，设OA＝OM＝R；
∴OD＝AD﹣OA＝8﹣R，（4分）
由勾股定理得：（8﹣R）2+x2＝R2，（5分）
∴64﹣16R+R2+x2＝R2，
∴；（6分）
（3）解法一：∵CM＝CD﹣DM＝8﹣x，
又∵，
且有△ODM∽△MCN，
∴，
∴代入得到；（7分）
同理，
∴代入得到；（8分）
∴△CMN的周长为P＝＝（8﹣x）+（x+8）＝16．
发现：在点O的运动过程中，△CMN的周长P始终为16，是一个定值．
解法二：在Rt△ODM中，，
设△ODM的周长P′＝；（7分）
而△MCN∽△ODM，且相似比；（8分）
∵，
∴△MCN的周长为P＝．
发现：在点O的运动过程中，△CMN的周长P始终为16，是一个定值．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，正方形的判定，勾股定理、切线性质和二次函数的综合运用等有关知识．
25．小明同学在研究如何在△ABC内做一个面积最大的正方形时，想到了可以利用位似知识解决这个问题，他的做法是：（如图1）先在△ABC内作一个小正方形DEFG，使得顶点D落在边AB上，顶点E、F落在边BC上，然后连接BG并延长交AC边于点H，作HK⊥BC，HI∥BC，再作IJ⊥BC于J，则正方形HIJK就是所作的面积最大的正方形．
（1）若△ABC中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，请求出小明所作的面积最大的正方形的边长．
（2）拓展运用：
如图2，已知∠BAC，在角的内部有一点P，请画一个⊙M，使得⊙M经过点P，且与AB、AC都相切．
（注：并简要说明画法）
【分析】（1）如图1中，作AM⊥BC于M，交IH于N，设正方形边长为x．由IH∥BC，得＝列出方程即可解决问题．
（2）利用位似知识，找到圆心M即可解决问题．
解：（1）如图1中，作AM⊥BC于M，交IH于N，设正方形边长为x．
在RT△ABM中，∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，AB＝4，
∴BM＝2，AM＝2，
∵∠C＝∠MAC＝45°，
∴AM＝MC＝2，
∴BC＝2+2
∵IH∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴x＝
∴小明所作的面积最大的正方形的边长为．
（2）如图2中，
①作∠BAC的平分线AQ，
②在AQ上取一点O，作⊙O和AB、AC相切，
③连接AP交⊙O于E、F．
④作PM1∥OE交AQ于M1，
⑤以M1为圆心PM1为半径作⊙M1，
⊙M1即为所求．
同法，作PM2∥OF，交AQ于M2，以M2为圆心PM2为半径作⊙M2，⊙M2即为所求．
【点评】本题考查位似变换、正方形的性质、相似三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
26．某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表：
（1）若某天销售利润为800元，求该天的售价为多少元/件？
（2）设该商店销售商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？
（3）由于某种原因，该商品进价提高了a元/件（a＞0），该商店在今后的销售中，日销售量与售价仍然满足原来的函数关系．规定商店售价不低于进价，售价不得超过70元/件，若今后每天能获得的销售最大利润是960元，求a的值．
【分析】（1）设y＝kx+b，用待定系数法即可得到销量与售价的关系式，由单利×销量＝总利润，列方程即可求该天的售价；
（2）先求出总利润W与x的函数关系式，再依据函数的增减性和自变量的取值范围确定何时获得最大利润；
（3）根据题意得，W'＝（x﹣50﹣a）（﹣2x+200）＝﹣2x2+（300+2a）x﹣10000﹣200a，把x＝70，W'＝960代入函数解析式，解方程即可得到结论．
解：（1）依题意设y＝kx+b，
则有，
解得：，
∴y＝﹣2x+200，
若某天销售利润为800元，
则（x﹣50）（﹣2x+200）＝800，
解得：x1＝60，x2＝90，
∴该天的售价为60元或者90元；
（2）根据题意得，
W＝（x﹣50）（﹣2x+200）＝﹣2x2+300x﹣10000＝﹣2（x﹣75）2+1250，
∵a＝﹣2＜0，
∴当x＝75时，W有最大值1250，
答：当销售单价定为75元时利润最大；
（3）设总利润为W'，根据题意得，
W'＝（x﹣50﹣a）（﹣2x+200）
＝﹣2x2+（300+2a）x﹣10000﹣200a，
∵a＞0，
∴对称轴直线x＝＞75，
∵﹣2＜0，
∴抛物线的开口向下，
∴当x≤70时，W'随x的增大而增大，
故当x＝70时，w最大＝960，
即960＝﹣2×702+（300+2a）×70﹣10000﹣200a，
解得：a＝4．
∴a的值是4．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解题的关键是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
27．如果三角形的两个内角α与β满足α﹣β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．
（1）若△ABC是“准直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝70°，则∠B＝ 10 °．
（2）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB＝10，D是BC上的一点，tanB＝，若CD＝，请判断△ABD是否为准直角三角形，并说明理由．
（3）如图2，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，E是直径AB下方半圆上的一点，AB＝10，tan∠ABC＝，若△ACE为”准直角三角形”，求CE的长．
【分析】（1）根据“准直角三角形”的概念和三角形内角和是180°求角度即可；
（2）根据三角函数求出AC和BC的值，再根据tan∠CAD＝tanB，得出∠CAD＝∠B，再根据“准直角三角形”的概念得出结论即可；
（3）根据“准直角三角形”的概念分两种情况分别求出CE的值即可．
解：（1）∵△ABC是“准直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝70°，
∴①∠C﹣∠A＝90°，
此时∠C＝160°，∠A+∠C＞180°，
∴此情况不存在，舍去，
②∠C﹣∠B＝90°，
此时∠C＝100°，∠B＝10°，
故答案为：10°；
（2）△ABD是准直角三角形，
∵AB＝10，tanB＝，
∴AC＝6，BC＝8，
∵CD＝，
∴tan∠CAD＝＝＝，
∴∠CAD＝∠B，
∴∠ADB﹣∠CAD＝∠ADB﹣∠B＝90°，
∴△ABD是准直角三角形；
（3）连接AE，
由（2）知，AC＝6，BC＝8，
∵△ACE为准直角三角形，E为直径AB下方圆上的一点，
∴∠CAE＞90°，∠CEA＜90°，∠ECA＜90°，且∠CEA＝∠CBA，
①当∠CAE＝90°+∠CEA时，
即∠CAE＝90°+∠CBA＝180°﹣90°+∠CBA＝∠ACB+∠CBA＝180°﹣∠CAB，
∵四边形ACBE的内角和是360°，∠ACB＝90°＝∠AEB，
∴∠CBE＝180°﹣∠CAE＝∠CAB，
又∵∠CAB＝∠CEB，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴CE＝BC＝8；
②当∠CAE＝90°+∠ECA时，
即∠CAE＝90°+∠ABE＝∠AEB+∠ABE＝180°﹣∠BAE＝180°﹣∠CBE，
∴∠BAE＝∠CBE，
即∠CBE＝∠ECB，
∴CE＝BE，
∵tan∠ABC＝，
∴tan∠CAB＝，
∴tan∠CEB＝，
作CH⊥BE于H，作EM⊥BC于M，
设EH＝3x，则CH＝4x，
∴EC＝BE＝＝5x，
∵BE•CH＝BC•EM，
∴EM＝x2，
∵EC2＝CM2+EM2，且CM＝BC＝4，
∴（5x）2＝42+（x2）2，
令（5x）2＝t，即CE2＝t，
则上式可表示为t＝16+（）2，
解得t＝80或t＝20（不合题意舍去），
∴CE＝＝4，
综上，若△ACE为”准直角三角形”，CE的长为8或4．
【点评】本题主要考查圆的综合知识，明确题中“准直角三角形”的定义是解题的关键．
28．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C．二次函数y＝ax2+2x+c的图象过B，C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点（不与端点O，B重合）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图①，过点M作y轴的平行线l交BC于点F，交二次函数y＝ax2+2x+c的图象于点E，记△CEF的面积为S1，△BMF的面积为S2，当时，求点E的坐标；
（3）如图②，连接CM，过点M作CM的垂线l1，过点B作BC的垂线l2，l1与l2交于点G，试探究的值是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）根据坐标轴交点特点利用一次函数求出B，C两点坐标，代入抛物线解析式即可得到答案；
（2）连接OF，设点M坐标为M（m，0），根据题意写出点F，E的坐标，表示出S1，S2，根据列等式求出m即可得到答案；
（3）过G作GN⊥x轴，根据垂直易得△COB∽△BNG，△COM∽△MNG根据对应成比例即可得到答案．
解：（1）在一次函数中，
当y＝0时，x＝3，
当x＝0时，y＝3，
∴B（3，0），C（0，3），
将B（3，0），C（0，3）代入抛物线得，
解得：，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图①，连接OF，设点M坐标为M（m，0），
∵EM∥y轴，
∴点E的坐标为（m，﹣m2+2m+3），点F的坐标为（m，﹣m+3），
由题意可得：S1＝S△OME+S△OCE﹣S△COF﹣S△OMF＝＝＝，，
∵，
∴，
解得：m1＝1，（不符合题意舍去），
∴E的坐标为（1，4）；
（3）如图②，过G作GN⊥x轴，由题意可得，
∵GM⊥CM，GB⊥CB，GN⊥x轴，∠COB＝90°，
∴∠OMC＝∠NGM，∠OCM＝∠NMG，∠OCB＝∠NBG，∠OBC＝∠NGB，
∴△COB∽△BNG，△COM∽△MNG，
∴，，
∵B（3，0），C（0，3），
∴BN＝CN，OB＝OC，
∵CG2＝CM2+GM2，
∴，
设点G坐标为G（t+3，t），点M坐标为M（m，0），
可得，
解得：t＝m，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，设出动点坐标写出相关联的坐标，根据等量列式求解是解题的关键．售价x（元/件）
55
65
销售量y（件/天）
90
70
售价x（元/件）
55
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销售量y（件/天）
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