湘教版（2019）必修 第二册4.3 直线与直线、直线与平面的位置关系授课课件ppt

这是一份湘教版（2019）必修 第二册4.3 直线与直线、直线与平面的位置关系授课课件ppt，共31页。PPT课件主要包含了新知初探·课前预习，题型探究·课堂解透，0°90°，a⊥b，答案C，答案D，易错警示，答案B，答案BD等内容，欢迎下载使用。

教材要点要点一　异面直线的画法异面直线的表示，一般借助辅助平面．如图，图中的两条直线a，b均为异面直线．
要点二　异面直线的另一种判断方法与平面　　　　的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线．
要点三　异面直线所成的角1.定义：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线平行的直线，这两条直线所成的锐角或直角，叫作两条异面直线所成的角．2.范围：　　　　　　．3.如果两条异面直线a与b所成的角为90°，则称这两条异面直线互相垂直，记作　　　　．
状元随笔　（1）异面直线所成角的定义的理论依据是等角定理．（2）两异面直线所成角的大小与点O的选取无关，所以在具体计算两条异面直线所成角的问题中，点O经常选在一些特殊的位置或两异面直线的一条上．（3）两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直．
基础自测1.思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）分别位于两个不同平面内的两条直线是异面直线．（　　）（2）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线是异面直线．（　　）（3）过直线外一点可以作无数条直线与该直线成异面直线．（　　）（4）两条直线垂直不一定相交，两条相交直线不一定垂直．（　　）
2.已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b （　　）A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线
解析：假设c与b平行，由于c∥a，根据基本事实4可知a∥b，与a，b是异面直线矛盾，故c与b不可能是平行直线．
3.在三棱锥S­ABC中，与SA是异面直线的是（　　）A．SB　　　 B．SCC．BC D．AB
解析：如图所示，SB，SC，AB，AC与SA均是相交直线，BC与SA既不相交，又不平行，是异面直线．
4.若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为　　　　．
解析：因为a∥OA，根据等角定理，又因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以a与OB所成的角为60°.
题型 1　异面直线的判断例1　（1）若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线（　　）A．平行 B．异面C．相交 D．以上皆有可能
解析：平面α，β相交，如图所示：则a⊂α，b⊂β，a∥b；又a⊂α，c⊂β，a、c异面；c⊂β，d⊂α，c，d相交；所以分别在这两个平面内的两条直线可能平行，也可能异面，也可能相交．
（2）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？
解析：分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.还原的正方体如图所示．
方法归纳判定异面直线的方法（1）定义法：利用异面直线的定义，说明两条直线不平行，也不相交，即不可能同在一个平面内．（2）利用异面直线的判定定理．（3）反证法：假设两条直线不是异面直线，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可．
跟踪训练1　如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是　　　　．
解析：①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．
题型 2　求异面直线所成的角例2　如图，在正方体ABCD­EFGH中，O为侧面ADHE的中心．求：（1）BE与CG所成的角；（2）FO与BD所成的角．
解析：(1)如图，因为CG∥BF，所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角．又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB.又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形．又知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.
变式探究1　在本例正方体中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD所成的角．
解析：连接EG，HF，则P为HF的中点．连接AF，AH，则OP∥AF.又CD∥AB，所以∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角．由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°.故OP与CD所成的角为45°.
变式探究2　（变换条件）在本例正方体中，若M，N分别是BF，CG的中点，且AG和BN所成的角为θ，求AM和BN所成的角．
解析：连接MG.因为四边形BCGF是正方形，所以BF綊CG.因为M，N分别是BF，CG的中点，所以BM綊NG.所以四边形BNGM是平行四边形．所以BN∥MG.所以∠AGM(或其补角)是异面直线AG和BN所成的角，∠AMG(或其补角)是异面直线AM和BN所成的角．因为AM＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝θ.所以∠AMG＝180°－2θ，即AM和BN所成的角为180°－(180°－2θ)＝2θ.
方法归纳求异面直线所成的角的步骤（1）找出（或作出）适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．（2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．（3）结论——设由（2）所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°，则θ为所求；若90°<θ<180°，则180°－θ为所求．提醒：求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°<θ≤90°.
跟踪训练2　如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为　　　　．
易错辨析 忽略异面直线所成的角的范围致误例3　如图1，已知空间四边形ABCD中，AD＝BC，M，N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角．
解析：如图2，连接BD，并取其中点E，连接EN，EM，则EN∥BC，ME∥AD，故∠ENM（或其补角）为BC与MN所成的角，∠MEN（或其补角）为BC与AD所成的角．由AD＝BC，知ME＝EN，∴∠EMN＝∠ENM＝30°，∴∠MEN＝180°－30°－30°＝120°.∵异面直线所成角θ∈（0°，90°]，∴BC与AD所成的角为60°.
课堂十分钟1.若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c（　　）A．一定平行 B．一定垂直C．一定是异面直线 D．一定相交
解析：因为a⊥b，b∥c，所以a⊥c.
2. 如图，在正方体ABCD-­A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（　　）A．平行 　B．相交　　C．异面但不垂直 D．异面且垂直
解析：因为正方体的对面平行，且直线A1C1与BD不平行，所以直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，所以直线BD与A1C1垂直，所以直线BD与A1C1异面且垂直．
3.（多选）如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有（　　）
解析：A中，直线GH∥MN；B中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，且N∉GH，因此直线GH与MN异面；C中，连接MG(图略)，GM∥HN，因此，GH与MN共面；D中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，且G∉MN，所以GH与MN异面．
4.如图，在正方体ABCD­-A′B′C′D′中，异面直线A′B′与BC所成的角的大小为　　　　．
解析：∵BC∥B′C′，∴∠A′B′C′即异面直线A′B′与BC所成的角，且∠A′B′C′＝90°.