2022-2023学年河南省漯河市高级中学高一下学期开学摸底考试数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省漯河市高级中学高一下学期开学摸底考试数学试题

一、单选题

1．已知，集合，，则（    ）

A． B．

C．或 D．

【答案】D

【分析】根据集合的交并补运算和一元二次不等式的解法求解.

【详解】由得或，则或，

故，

故.

故选:D.

2．已知函数f(x)=(a∈R)，若，则a=（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】A

【分析】先求出的值，再求的值，然后列方程可求得答案

【详解】解：由题意得，

所以，解得a=.

故选：A

【点睛】此题考查分段函数求值问题，属于基础题

3．在中，点D在BC边上，且.设，，则可用基底，表示为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据向量的加减运算法则、数乘运算即可求解.

【详解】因为，所以.

所以

故选：C

4．若，则下列不等式中不正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合不等式的性质确定正确选项.

【详解】由<0，得b<a<0，故B项正确；∴a2<b2，ab<b2，故C项不正确，D项正确；

∵a+b<0，ab>0，∴a+b<ab，故A项正确.

故选：C

5．已知，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知得值，待求式用二倍角公式变形再转化为关于的二次齐次式，弦化切代入求值．

【详解】由得，

．

故选：D．

6．已知幂函数满足，若，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由可求得，得出单调递增，根据单调性即可得出大小.

【详解】由可得，∴，

∴，即.由此可知函数在上单调递增.

而由换底公式可得，，，

∵，∴，于是，

又∵，∴，故，，的大小关系是.

故选：C.

【点睛】关键点睛：本题考查利用函数单调性判断大小，解题的关键是判断出函数的单调性以及自变量的大小.

7．已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得到的函数的图象关于原点对称，则的值可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用图象求出函数的解析式，利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，利用函数的对称性可求得的表达式，即可得出结果.

【详解】由图可得，函数的最小正周期为，则，

因为，可得，

因为且函数在附近单调递增，故，所以，，

将函数的图象向右平移个单位长度后，可得到函数的图象，

则，

因为函数的图象关于原点对称，则，解得，

当时，，

故选：B.

8．已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.

【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根

即可，

令，即与的图象有个不同交点.

因为，

当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；

当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；

当时，如图3，当与相切时，联立方程得，

令得，解得（负值舍去），所以.

综上，的取值范围为.

故选：D.

【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.

二、多选题

9．在下列命题中，真命题是（    ）

A．命题“”的否定形式是：“，”.

B．.

C．，使得.

D．.

【答案】AC

【解析】根据特称命题的否定可判断A，由可判断B，取特值可判断CD.

【详解】对于A，特称命题的否定为全称命题，所以命题“”的否定形式是：“，”，正确；

对于B，，所以不正确；

对于C，当时，所以正确；

对于D，当是，，所以不正确.

故选：AC.

10．若、，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】利用作差法可判断A选项；利用特殊值法可判断BC选项；利用基本不等式可判断D选项.

【详解】对于A选项，，故，A对；

对于B，取，此时，B错；

对于C，取，此时，C错；

对于D，因为，所以，，所以，

当且仅当时，等号成立，D对.

故选：AD.

11．已知函数（，且）的值域为，函数，，则下列判断正确的是（    ）

A．

B．函数在上为增函数

C．函数在上的最大值为2

D．若，则函数在上的最小值为-3

【答案】ACD

【分析】对于A，由指数函数的性质结合函数的值域可求出的范围，对于B，对函数化简后由对数函数的单调性进行判断，对于CD，由函数的单调性可求出函数的最值.

【详解】对于A，因为函数的值域为，且为偶函数，当时，，

所以，所以A正确，

对于B，，，

由，可知和在上单调递减，

所以函数在上为减函数，所以B错误，

对于C，由选项B可知在上为减函数，所以，所以C正确，

对于D，由选项B可知在上为减函数，所以当时，

，所以D正确，

故选：ACD.

12．设函数，则（    ）

A．的最小值为，其周期为

B．的最小值为，其周期为

C．在单调递增，其图象关于直线对称

D．在单调递减，其图象关于直线对称

【答案】AD

【分析】首先化简函数，再判断函数的性质.

【详解】，函数的最小值是，周期，故A正确，B错误；

时，，所以在单调递减，令，得，其中一条对称轴是，故C错误，D正确.

故选：AD

三、填空题

13． 设，使不等式成立的的取值范围为__________.

【答案】

【分析】通过因式分解，解不等式．

【详解】，

即，

即，

故的取值范围是．

【点睛】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．

14．△的内角，，的对边分别为，，，若，，，则△的面积为_______．

【答案】

【分析】由余弦定理的边角关系可得，即可求，再利用三角形面积公式求面积即可.

【详解】由余弦定理得：，则，解得：，

∴.

故答案为：.

15．已知函数，把的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，可得到的图象，若，则的最小值为____________．

【答案】

【分析】根据函数图象的平移可得，进而根据的有界性可知，根据最值点即可由三角函数的性质求解.

【详解】有题意得，由于对任意的，,

故根据得，或者

若，因此且,

因此，

故当时，取最小值，且最小值为，

若，因此且,

因此，

故当时，取最小值，且最小值为，

故取最小值，且最小值为，

故答案为：

16．已知，若，使得，若的最大值为M，最小值为N，则___________.

【答案】

【分析】作出在上的图象，为的图象与直线y=m交点的横坐标，

利用数形结合思想即可求得M和N﹒

【详解】作出在上的图象（如图所示）

因为，，

所以当的图象与直线相交时，由函数图象可得，

设前三个交点横坐标依次为、、，此时和最小为N，

由，得，

则，，，；

当的图象与直线相交时，

设三个交点横坐标依次为、、，此时和最大为，

由，得，

则，，；

所以.

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合，．

(1)当时，求；

(2)是的必要条件，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）当时，求出集合、，利用交集的定义可求得集合；

（2）分析可知，对、的大小关系进行分类讨论，根据检验或得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.

【详解】（1）解：由可得，解得，即，

当时，，此时，.

（2）解：由题意可知，且，

当时，即当时，，不满足，不符合题意；

当时，即时，，符合题意；

当时，则，由，得，解得.

综上，．

18．的内角的对边分别为，已知．

（1）求；

（2）若，面积为2，求．

【答案】（1）；（2）2．

【详解】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合，求出；（2）由（1）可知，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理即可求出.

试题解析：（1），∴，∵，

∴，∴，∴；

（2）由（1）可知，

∵，∴，

∴，

∴．

19．春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t（单位：小时）满足，.经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当时，候车人数会减少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为.

(1)求的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；

(2)若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少?

【答案】(1)，候车厅候车人数为4200人

(2)时，需要提供的矿泉水瓶数最少

【分析】（1）根据题意，设出函数解析式，代入，可得解析式，代入，可得答案；

（2）根据题意，写出函数解析式，由基本不等式和反比例函数的单调性，比较大小，可得答案.

【详解】（1）当时，设，，则，

.

，

故当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人.

（2），

①当时，，当且仅当时等号成立；

②当时，；

又，所以时，需要提供的矿泉水瓶数最少.

20．已知函数的部分图象如图所示．

(1)求，的值；

(2)求函数在区间上的最大值和最小值．

【答案】(1)，

(2)最大值1；最小值

【分析】（1）根据图象直接可得与函数的最小正周期，从而求出.

（2）由（1）可得函数解析式，根据的取值范围求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.

【详解】（1）解：由图象知，由图象得函数的最小正周期为，

则由得．

（2）解：由（1）知，

，，

，

．

当，即时，取得最大值1；

当，即时，取得最小值．