2021-2022学年河南省南阳地区高二上学期期中热身摸底考试数学试题（解析版）

2021-2022学年河南省南阳地区高二上学期期中热身摸底考试数学试题

一、单选题

1．数列的一个通项公式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】代入验证可得.

【详解】A中不适合，B中不适合，C中不适合，

D 中，，都适合，

故选：D.

2．若集合，，则（   ）

A．  B． C． D．

【答案】B

【分析】解不等式，结合集合交集的运算即可求解.

【详解】由题知或，

所以

故选：B.

3．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由正弦定理直接求解.

【详解】由正弦定理得：.

故选：A

4．下列四个命题中为假命题的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【分析】根据幂函数的性质可判断A，根据不等式的性质可判断BD，根据特值可判断C.

【详解】因为函数单调递增，所以若，则，故A选项为真命题；

由，可得，故B选项为真命题；

当，时，，但，故C选项为假命题；

因为，，所以，，故D选项为真命题.

故选：C.

5．若一个等差数列的前三项之和为21，最后三项之和为93，公差为2，则该数列的项数为（    ）

A．14 B．15 C．16 D．17

【答案】B

【分析】设该数列共有n项，依题意可得，的值，从而可得公差，即可得出答案.

【详解】设该数列共有n项，

依题意有，即可得，

，即可得.

因为公差为2，所以，即，解得.

故选：B

6．不等式组,表示的可行域为（    ）

A．梯形 B．三角形

C．五边形 D．平行四边形

【答案】A

【分析】作出不等式组表示的平面区域进而即得.

【详解】作出不等式组表示的可行域，如图所示，

由图可知，该区域为梯形.

故选：A.

7．在中，，，若该三角形有两解，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用正弦定理直接求解.

【详解】根据正弦定理，该三角形有两解，所以，即，所以.

故选：A

8．数列满足，，则（    ）

A． B．0 C． D．

【答案】C

【分析】由递推公式求出数列的前几项，归纳出数列是周期为4的周期数列，即可求解.

【详解】因为，所以.

因为，所以，，，，，，，

所以数列是周期为4的周期数列，故.

故选：C

9．2021年小林大学毕业后，9月1日开始工作，他决定给自己开一张储蓄银行卡，每月的10号存钱至该银行卡（假设当天存钱次日到账）.2021年9月10日他给卡上存入1元，以后每月存的钱数比上个月多一倍，则他这张银行卡账上存钱总额（不含银行利息）首次达到1万元的时间为（    ）

A．2022年12月11日 B．2022年11月11日 C．2022年10月11日 D．2022年9月11日

【答案】C

【分析】分析可得每月所存钱数依次成首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为，

分析首次达到1万元的值，即得解

【详解】依题意可知，小林从第一个月开始，每月所存钱数依次成首项为1，公比为2的等比数列，

其前n项和为.

因为为增函数，

且，

所以第14个月的10号存完钱后，他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元，

即2022年10月11日他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元.

故选：C

10．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ）

A．有最小值，且最小值为 B．有最小值，且最小值为

C．有最大值，且最大值为 D．有最大值，且最大值为

【答案】A

【分析】由，得，，然后结合余弦定理可求出的范围，再利用余弦的二倍角公式可求出的范围

【详解】因为，所以，

则，，

从而，

当且仅当时，等号成立，故有最小值，且最小值.

故选：A

11．已知数列的前n项和为，且，，则（    ）

A．数列是等差数列 B．数列是等差数列

C．数列是等比数列 D．数列是等比数列

【答案】C

【分析】根据与的关系可得，进而可得，利用等差数列等比数列定义即可判断.

【详解】因为，所以，

则，又，

所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，故C正确；

所以，不是常数，

即数列不是等差数列，故A错误；

所以，即，又，

所以，，，则，，

所以数列不是等差数列也不是等比数列，故BD错误.

故选：C.

12．设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边．已知，，，则的周长为（    ）

A．56 B．60 C．64 D．66

【答案】D

【分析】利用正弦定理可得，然后根据余弦定理及三角恒等变换可得，根据二倍角公式结合条件可得，然后根据正弦定理结合条件即得.

【详解】由，得，即，

因为，所以，即，

由正弦定理得，

所以，即，

所以，即，

所以，化简得，

即，因为且，

所以，得，

由正弦定理知，则，

又，且，

所以，，故的周长为66.

故选：D.

二、填空题

13．设数列满足，且，则________.

【答案】

【分析】根据递推关系代入计算可得.

【详解】因为，，所以，所以.

故答案为：

14．若x，y满足约束条件，则的最大值为________.

【答案】10

【分析】画出约束条件表示的平面区域，然后利用数形结合即得.

【详解】由x，y满足约束条件，可得可行域，

当直线经过点,时，取得最大值，且最大值为10.

故答案为：10.

15．已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，，则的面积为________.

【答案】

【分析】由题可得，，，然后根据余弦定理及三角形面积公式即得.

【详解】如图，因为，，两两垂直，且，，，

所以，，，

所以，，

所以的面积.

故答案为：.

三、双空题

16．在数列中，，则的最大值为________，数列的前n项和________．

【答案】         

【分析】根据作差法判断数列的单调性可得最值，然后利用错位相减法即得.

【详解】因为，

所以，故的最大值为；

设，则，

所以，

所以，

即，

故.

故答案为：；.

四、解答题

17．已知数列的前n项和为，且.

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用求出的通项公式；

（2）利用裂项相消法求和.

【详解】（1）当时，.

又，

也满足，所以的通项公式为.

（2）因为，

所以

.

18．已知.

(1)求的最小值；

(2)求的最小值．

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）根据基本不等式可求得最小值.

（2）式子两边同乘，与相乘，运用基本不等式可求得最值.

【详解】（1），，解得，

当且仅当，即，时，等号成立，

此时有最小值为

（2）由题意得，

则，

当且仅当，即，时，等号成立，

此时有最小值，且最小值为.

19．a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知，．

(1)求B；

(2)若，求c．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据正弦定理边角互化结合条件即得；

（2）利用余弦定理即得.

【详解】（1）由正弦定理得，，

则，又，

所以，又因为，

所以或，

因为，

所以，故；

（2）因为，所以，

由余弦定理得，

所以，即，

解得.

20．（1）求关于x的不等式的解集；

（2）求关于x的不等式的解集．

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.

【分析】分类讨论结合二次不等式的解法即得.

【详解】（1）当时，原不等式为，则原不等式的解集为；

当时，方程的两根为，，，

当时，不等式为，其解集为；

当时，不等式为，其解集为；

综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；

（2）方程的两根为，，

当时，，原不等式的解集为；

当时，，原不等式的解集为；

当时，，原不等式的解集为；

综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.

21．如图，点在点的正东方向，现有一个圆形音乐喷泉，点为喷泉中心，用无人机于点正上空的点处，测得点的俯角为，点的俯角为，四点共线，均在圆上，且.已知圆的面积为平方米，且米.

（1）求无人机的飞行高度；

（2）如图，现以三点为顶点在音乐喷泉内建造三条排水暗渠，已知暗渠造价为元/米，且建造暗渠的预算资金为元.若要求，，成等差数列，试问完成三条排水暗渠的建造是否有可能会超预算？说明你的理由.

【答案】（1）米；（2）有可能会超预算，理由见解析.

【分析】（1）首先求得圆半径，根据可构造方程求得无人机的飞行高度；

（2）设，利用正弦定理可求得，从而将排水暗渠长度表示为关于的函数，由正弦型函数最值的求法可确定最大值，根据最大值可得结论.

【详解】（1）设无人机的飞行高度为米，圆形音乐喷泉的半径为米，

由题意可知：，解得.

，，

则，，

则，故无人机的飞行高度为米；

（2），，成等差数列，

，解得：.

设，则，.

由正弦定理可得：（米），（米），（米），

（米），

，，，

则.

，完成三条排水暗渠的建造有可能会超预算.

22．已知数列满足，.

(1)证明：数列为等比数列.

(2)求数列的前n项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据等比数列的定义，证明等于一个定值即可；

（2）求出数列的通项公式，利用分析法和分组求和法即可得出答案.

【详解】（1）证明：因为，，

所以，

所以数列是首项为4，公比为4的等比数列；

（2）解：由（1）可得，即，

则

.

当n为偶数时，，

则

，

当n为奇数时，则

，

综上所述，.