2022-2023学年福建省宁德市高二上学期区域性学业质量监测（期中）数学试题（B卷）-普通用卷

这是一份2022-2023学年福建省宁德市高二上学期区域性学业质量监测（期中）数学试题（B卷）-普通用卷，共8页。试卷主要包含了直线x−y+1=0的倾斜角为，已知圆C1，已知A，B为圆O，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

A. 30∘B. 45∘C. 120∘D. 135∘
2.已知等差数列an，若a1=12，a2+a5=36，则a6=( )
A. 20B. 24C. 28D. 32
3.已知直线l过点(2,−1)，且在x轴上的截距为3，则直线l的方程为( )
A. x−y−3=0B. x−2y+6=0C. 2x+y+3=0D. 2x+y−3=0
4.已知圆C1:x−32+(y−6)2=9,C2:x2+y2−4y=0，则两圆的位置关系为( )
A. 相离B. 外切C. 相交D. 内切
5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第四天走了( )
A. 24里B. 48里C. 96里D. 192里
6.两等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn=n+32n，则a5b5=( )
A. 45B. 1310C. 711D. 23
7.已知数列{an}满足an+an+1=2n，前n项和为Sn，若a1=a6,则S51=( )
A. 1100B. 1203C. 1303D. 1400
8.已知A，B为圆O:x2+y2=4上的两动点，|AB|=2 3，点P是圆C:(x+3)2+(y−4)2=1上的一点，则|PA+PB|的最大值是( )
A. 10B. 12C. 14D. 16
9.已知数列 2， 5， 8， 11,⋯，则下列说法正确的是( )
A. 此数列的通项公式是 3n−1B. 5 2是它的第17项
C. 此数列的通项公式是 3n+1D. 5 2是它的第18项
10.下列说法正确的是( )
A. 过(x1,y1)，(x2,y2)两点的直线方程为y−y1y2−y1=x−x1x2−x1
B. 直线x−y−4=0与两坐标轴围成的三角形的面积是8
C. 点(1,0)关于直线y=x+1的对称点为(−1,1)
D. 直线mx+y+m=0m∈R必过定点
11.数列an的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=2Sn(n∈N∗)，则有( )
A. Sn=3n−1B. Sn为等比数列
C. an=2⋅3n−1D. an=1,n=1,2⋅3n−2,n≥2
12.已知圆C:x2+y2=2，点P为直线l:x−2y−4=0上一动点，点Q在圆C上，以下四个命题表述正确的是( )
A. 直线l与圆C相离
B. 圆C上有且仅有1个点到直线l的距离等于1
C. 过点P向圆C引一条切线PA，其中A为切点，则PA的最小值为 305
D. 过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过点12,−1
13.若直线l1:3x−4y−3=0与l2:3x−ay+7=0(a∈R)平行，则l1与l2间的距离是________.
14.在数列{an}中，an=−n2+8n+9，则数列{an}的最大项是第_______项.
15.已知a1=1，an+1=nan−an+1n∈N+，则数列an的通项公式是an=_________.
16.已知直线l：x+y−2=0与圆O：x2+y2=r2(r>0)相交于A，B两点，则圆心O到直线l的距离d=__________，若C为圆周上一点，线段OC的中点D在线段AB上，且3AD⇀=5DB⇀，则r=__________.
17.已知直线l过点P1,−2.
(1)若直线l与直线2x+y+3=0垂直，求直线l的方程；
(2)若直线l在两坐标轴的截距互为相反数，求直线l的方程.
18.国家汽车产业振兴规划的政策极大地刺激了小排量汽车的销售，据分析预测，某地今年小排量Q型车每月的销量将以10%的增长率增长，小排量R型车的销量每月递增20辆．已知该地今年1月份销售Q型车和R型车均为60辆，据此推测，该地今年底这两款车的销售总量能否超过3000辆？(参考数据：1.111≈2.9，1.112≈3.1，1.113≈3.5)
19.已知等差数列{an}满足a3=6,a4+a12=32，等比数列bn的公比为2，且b3=a4.
(1)求数列{an}与bn的通项公式；
(2)若cn=anbn，求数列cn的前n项和Tn.
20.已知圆心为c的圆经过点A(1,2)和B(5,−2)，且圆心c在直线2x+y=0上.
(1)求圆C的方程；
(2)过点D(0,1)的动直线l与圆C圆相交于M,N两点，当MN=2 15时，求直线l的方程.
21.已知直线l过定点0,3，且与圆C:x2−4x+y2=0交于M、N两点．
(1)求直线l的斜率的取值范围；
(2)若O为坐标原点，直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，试问k1+k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
22.已知数列an满足an+1=2an+2n+1−1n∈N∗，且a4=65，
(1)求数列an的前三项a1，a2，a3；
(2)令bn=an−12n，求证：数列bn为等差数列，并求bn的通项公式；
(3)在(2)的条件下，若cn=1bnbn+1且数列cn的前n项和为Tn，求证：Tn≥12.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】略
2.【答案】B
【解析】略
3.【答案】A
【解析】略
4.【答案】B
【解析】略
5.【答案】A
【解析】略
6.【答案】D
【解析】略
7.【答案】C
【解析】略
8.【答案】C
【解析】解：设M是AB的中点，因为|AB|=2 3，所以|OM|= 4−3=1，
即M在以O为圆心，1为半径的圆上，
PA+PB=PM+MA+PM+MB=2PM，所以|PA+PB|=|2PM|.
又|PO|max=|OC|+1= 32+42+1=6，所以|PM|max=|PO|max+1=6+1=7，
所以|PA+PB|max=2×7=14.
故选：C.
9.【答案】AB
【解析】略
10.【答案】BD
【解析】略
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查数列的递推关系的应用，数列的通项公式的求解，属于中档题.
由an=Sn−Sn−1,n≥2求得数列an的通项公式，再依次判断即可.
【解答】
解：∵an+1=2Sn(n∈N∗)，
∴当n≥2时，an=2Sn−1，
两式相减得，an+1−an=2an，即an+1=3an，
当n=1时，a2=2S1=2a1=2，
∴数列an从第二项起为公比为3的等比数列，
∴an=1,n=1,2⋅3n−2,n≥2 ，故C错误，D正确，
由当n≥2时，an=2⋅3n−2，
所以Sn=an+12=3n−1，
又S1=1满足上式，
所以Sn=3n−1n∈N∗， Sn为等比数列，故A，B正确.
故选ABD.
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的综合应用，考查推理能力和计算能力，属于中档题.
逐个分析选项，即可求解.
【解答】
解：选项A：圆C:x2+y2=2的圆心C0,0 ，半径r= 2 ，
圆心C0,0到直线x−2y−4=0的距离dC=4 5>r= 2，所以直线与圆相离.
故选项A正确
选项B：圆心C0,0到直线x−2y−4=0的距离dC=4 5
∴0故选项B错误
选项C:由切线的性质知，△PAC 为直角三角形，
PA= PC2−r2≥ dC2−2= 305 ，
当且仅当PC 与直线x−2y−4=0垂直时等号成立，所以PA 的最小值为 305 .
故选项C正确；
选项D：设点Px0,y0，因为点Px0,y0在直线x−2y−4=0上，
所以x0−2y0−4=0，y0=12x0−2 ，
由圆的切线性质知，直线AB的方程为
xx0+yy0=2，xx0+y12x0−2=2，
整理得x+12yx0−2y−2=0 ，
解方程x+12y=0.−2y−2=0得，x=12,y=−1 .
所以直线AB过定点12,−1.故选项D正确.
故选：ACD.
13.【答案】2
【解析】略
14.【答案】4
【解析】略
15.【答案】1n
【解析】略
16.【答案】 2 ； 10
【解析】【解析】
如图，过O作OE⊥AB于E，连接OA，则d=|OE|=0+0−2 12+12= 2 ，易知|AE|=|EB|，
不妨令|AD|=5m(m>0)，由3AD=5DB可得：|BD|=3m，|AB|=8m，则|DE|=4m−3m=m，
在Rt△ODE中，有12r2= 22+m2①，
在Rt△OAE中，有r2=( 2)2+(4m)2②，
联立①②，解得：r= 10.
故答案为： 2， 10
17.【答案】解：
(1)因为直线l与直线2x+y+3=0垂直
所以，设直线l的方程为x−2y+m=0，
因为直线l过点P1,−2，
所以1−2×(−2)+m=0，解得m=−5，
所以直线l的方程为x−2y−5=0.
(2)当直线l过原点时，斜率为−2，由点斜式求得直线l的方程是y=−2x，
即2x+y=0.
当直线l不过原点时，设直线l的方程为x−y=a，把点P1,−2代入方程得a=3，
所以直线l的方程是x−y−3=0.
综上，所求直线l的方程为2x+y=0或x−y−3=0.
【解析】略
18.【答案】解：
设该地今年第n月Q型车和R型车的销量分别为an辆和bn辆，
依题意，得{an}是首项a1=60，，公比q=1+10%=1.1的等比数列，
{bn}是首项b1=60，公差d=20的等差数列.
设{an}的前n项和为Sn，则S12=60(1.112−1)1.1−1=600(1.112−1)≈1260，
设{bn}的前n项和为Tn，则T12=60×12+202×12(12−1)=720+1320=2040
所以S12+T12≈1260+2040=3300，
可推测该地区今年这两款车的总销量能超过3000辆.
【解析】略
19.【答案】解：(1)设an的公差为d,因为a4+a12=2a8=32，所以a8=16,
又a3=a1+2d=2,由a1+7d=16，得d=2,a1=2，
所以an=2+2(n−1)=2n.
∵b3=a4=8，公比q=2∴b122=8
∴b1=2
∴bn=2n
(2)因为cn=anbn=2n⋅2n=n⋅2n+1，
所以Tn=1×22+2×23+3×24+⋯+(n−1)⋅2n+n⋅2n+1,③
2Tn=1×23+2×24+3×25+⋯+(n−1)⋅2n+1+n⋅2n+2④
③-④，得−Tn=22+23+24⋯+2n+1−n⋅2n+2
=222n−12−1−n⋅2n+2=2n+21−n−4，
所以Tn=(n−1)⋅2n+2+4.
【解析】略
20.【答案】解：(1)设圆C的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，由已知可得
方程组2a+b=01−a2+(2−b)2=r25−a2+(−2−b)2=r2
解的a=1 b=−2r=4
∴圆C的方程为(x−1)2+(y+2)2=16.
(2)当直线l与x轴垂直时，易知直线l的方程为x=0，
此时MN=2 15，符合题意；
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=kx+1，即kx−y+1=0，设MN的中点为Q，则AQ⊥MN，
∴AQ2+(12MN)2=r2，又MN=2 15，r=4，
∴AQ= 16−15=1，又AQ=k+2+1 k2+1，
∴k+2+1 k2+1=1⇒k=−43，
则直线l的方程为：y=−43x+1，即4x+3y−3=0，
综上可知直线l的方程为：x=0或4x+3y−3=0.
【解析】略
21.【答案】解：法一：(1)圆C的标准方程为x−22+y2=4，圆心为C2,0，半径为2.
若直线l的斜率不存在，此时直线l与圆C相切，不合乎题意.
所以，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+3，即kx−y+3=0
由题意可得2k+3 k2+1<2，解得k<−512.
因此，直线l的斜率的取值范围是−∞,−512.
法二：(1)若直线l的斜率不存在，此时直线l与圆C相切，不合乎题意.
所以，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+3.
联立y=kx+3x2−4x+y2=0，得1+k2x2+6k−4x+9=0，其中k<−512
因为直线l与圆相交,所以Δ=(6k−4)2−4×9(1+k2)=−48k−20 > 0
解得k<−512
因此，直线l的斜率的取值范围是−∞,−512.
(2)设Mx1,y1，Nx2,y2，设直线l的方程为y=kx+3.
联立y=kx+3x2−4x+y2=0，得1+k2x2+6k−4x+9=0，其中k<−512，
所以x1+x2=4−6k1+k2，x1x2=91+k2，
则k1+k2=y1x1+y2x2=y1x2+y2x1x1x2=kx1+3x2+kx2+3x1x1x2=2kx1x2+3x1+x2x1x2=2k+3×4−6k1+k291+k2=2k+4−6k3=43 ，
所以k1+k2为定值43.
【解析】略
22.【答案】解：(1)由题意知a4=2a3+24−1=65，∴a3=25.同理可得a2=9，a1=3
(2)∵bn+1−bn=an+1−12n+1−an−12n
=2an+2n+1−1−1−2(an−1)2n+1
=1(常数)
又∵b1=a1−12=1
∴数列bn是以1为首项，以1为公差的等差数列
∴bn=1+(n−1)×1=n
(3)由(2)知bn=n，
∴cn=1nn+1=1n−1n+1，
∵数列cn的前n项和为Tn，
∴Tn=1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1.
∵Tn+1−Tn=(1−1n+2)−(1−1n+1)=1(n+1)(n+2)>0
∴Tn+1>Tn ∴Tn≥T1=12
【解析