2022-2023学年福建省宁德市高二下学期期中数学试题（A卷）含答案

2022-2023学年福建省宁德市高二下学期期中数学试题（A卷）

一、单选题

1．已知函数，则时，的值趋近于（    ）

A．2a B． C． D．

【答案】C

【分析】根据导数定义可得答案.

【详解】由题意可得

.

故选：C.

2．已知向量，，若，则实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据共线向量基本定理确定与的关系，再分别求出和，进而求解.

【详解】解：若，则，

因为已知向量，，所以，解得，

所以.

故选：.

3．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面和平面的位置关系是（    ）

A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合

【答案】B

【分析】利用数量积的运算可证得法向量相互垂直，由此可得出答案.

【详解】记平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，

所以，故，所以.

所以平面和平面的位置关系是垂直.

故选：B.

4．函数的导函数的图象如图所示，则（    ）

A．为函数的零点

B．函数在上单调递减

C．为函数的极大值点

D．是函数的最小值

【答案】B

【详解】根据函数零点的概念可判断A；根据导数与函数单调性的关系判断B；根据函数极值点以及最值与导数的关系可判断C，D.

由的图象可知，当时，，

当时，，故为函数的极大值点，A错误；

当时，，故函数在上单调递减，B正确；

当时，，当时，，

故为函数的极小值点，C错误；

当时，，当时，，

故为函数的极小值点，而也为函数的极小值点，

与的大小不定，故不一定是函数的最小值，D错误,

故选：B

5．如图，在平行六面体中，，，，，E为中点，则AE的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】空间向量，平方求模长即可求解.

【详解】由，两边平方得：

.

所以.

故选：A.

6．若函数在上是增函数，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出函数的导数，问题转化为在恒成立，利用判别式即可求出的范围．

【详解】函数，，

若在递增，则在恒成立，

可得,解得，

故选：D

7．已知的三个顶点分别为，，，则BC边上的高等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用向量运算以及向量的夹角公式进行求解.

【详解】由题意，，，

可得，，

，即角B为锐角，所以，

所以边上的高.

故选：B

8．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ）

A．  B． C． D．

【答案】C

【分析】方法1，由题意可得有两根，则，，令，对函数求导，求出函数的单调区间，从而画出函数的图象，结合图象可求得结果；

方法2：由题意得有两根，令，对函数求导，求出其单调区间，画出图象，将问题转化为直线与图象有两个交点，从而可求出实数的取值范围

【详解】方法1：，有两个零点，即有两根，

则，，

设，则，

令，则，，

令，得，则在且；

令，得，则在且；

，图象如图所示，

实数时函数有两个零点.

方法2：

有两个都零点，即有两根，

设，则，

令，则，，

令，得，则在单调递增且；

令，得，则在单调递减且；

，图象如图所示，

设与相切于

则，解得，

所以实数时函数有两个零点.

故选：C

【点睛】关键点睛：此题考查导数的综合应用，考查函数与方程的应用，解题的关键是将问题转化为，，然后构造函数，利用导数求出其单调区间，画出图象，利用数形结合的方法求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题.

二、多选题

9．下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据求导公式以及复合函数的求导法则，可得答案.

【详解】对于A，，故A不正确；

对于B，，故B正确；

对于C，，故C不正确；

对于D，

，故D正确.

故选：BD.

10．已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（    ）

A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是

C．在方向上的投影向量是 D．平面ABC的一个法向量是

【答案】BCD

【分析】A：由向量共线定理，应用坐标运算判断是否存在使；B：与同向的单位向量是即可判断；C：由投影向量的定义可解；D：应用平面法向量的求法求平面ABC的一个法向量，即可判断.

【详解】A：若与共线，存在使，则无解，故不共线，错误；

B：与同向的单位向量是，正确；

C：由，

则在方向上的投影向量是

，正确；

D：若是面ABC的一个法向量，则，令，则，正确.

故选：BCD

11．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．在单调递减 B．在单调递增

C．有一个极大值是 D．有一个极大值是

【答案】ACD

【分析】求导，利用导数，结合三角函数的性质可得单调性，由单调性即可判断极值，即可结合选项逐一求解.

【详解】由得，

对于A,当时，，故,因此在单调递减，A正确，

对于B,当时，，

故在并非一直,因此在并非单调递增，B错误，

令，此时单调递减，

则当或时，此时单调递增，

故当和 时，分别取极大值和极小值，

对于C,当时，，故C正确，

对于D，当时，，故D正确，

故选：ACD

12．如图，在棱长为1的正方体中，M为边的中点，点P在底面ABCD内运动（包括边界），则下列说法正确的有（    ）

A．存在点，使得

B．过三点、、的正方体的截面面积为

C．四面体的内切球的表面积为

D．点在棱上，且，若，则满足条件的的轨迹是圆

【答案】BC

【分析】以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由可判断A；过三点、、的正方体的截面为以为底的等腰梯形，求出截面面积可判断B；设四面体的侧面积为，其内切球的半径为，球心为，由即，求出可判断C；由分析可得，的轨迹是被四边形截得的4段圆弧，求解可判断D.

【详解】对于A，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，；

若，则，即，与题意矛盾，所以A错误；

对于B，取中点，连接，因为，

所以可得、、、四点共面，

所以过三点、、的正方体的截面为以为底的等腰梯形，

，

过点作，所以，

所以梯形的高为，

所以，，故B正确；

对于C，如下图知：四面体的体积为正方体体积减去四个三棱锥的体积，

可知四面体是棱长为的正四面体，

取的外心，连接，则平面，

则，则，所以，

所以四面体的高，

设四面体的侧面积为，其内切球的半径为，球心为，

，

即，，所以C正确；

对于D，，，∵，∴，

即，可得轨迹为圆：，

所以，圆心，，又，

所以，轨迹为圆：被四边形截得的4段圆弧，

所以D错误；

故选：BC.

三、填空题

13．曲线在点处的切线的倾斜角是        .

【答案】/

【分析】求出导数，得切线斜率，由斜率得倾斜角．

【详解】，时，，

切线斜率为1，又倾斜角范围是，所以切线倾斜角为．

故答案为：．

14．向量与共线且满足，则      .

【答案】

【分析】设向量，由解得可得答案.

【详解】设向量，因为，所以，

解得，所以.

故答案为：.

15．如图，在棱长为1的正方体中，E，F，G分别为，BD，的中点，则与FG所成的角的余弦值为      .

【答案】

【分析】建立空间直角坐标系，分别求得，再利用向量的夹角公式求解.

【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系：

则，

，，

所以，

即与FG所成的角的余弦值为.

故答案为：

16．设定义在上的函数满足，，若，则的取值范围为         .

【答案】

【分析】根据题意，构造函数，利用导数判断函数单调性，由单调性解不等式即可.

【详解】设函数，

∴，

∴在上单调递减，

又∵，

∴则，

即，

∴，即.

故答案为：

四、解答题

17．已知向量，，且.

(1)求m的值；

(2)若与互相垂直，求实数k的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由向量的模长公式求解即可；

（2）求出，，由垂直向量的坐标表示求解即可.

【详解】（1），

所以， 解得：；

（2）当时，，

，

因为与互相垂直，所以，

解得：.

18．已知函数.

(1)求函数在处的切线方程；

(2)求函数在的最大值与最小值.

【答案】(1)

(2)最大值为10，最小值为

【分析】（1）由导数的几何意义求解即可；

（2）对函数求导，得出在的单调性和极值，比较极值点和端点函数值大小即可得出答案.

【详解】（1）∵，

函数在处的切线方程的斜率为，

又，切点为，

切线方程为：即.

（2）因为

令，得或；令，得，

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.

所以在处取得极大值，在处取得极小值.

又，，，，

由（1）知，在区间上的最大值为10，最小值为

19．在正四棱柱中，，，E在线段上，且.

(1)求证：平面DBE；

(2)求直线与平面DBE所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理作答.

（2）利用空间向量求出线面角的正弦值作答.

【详解】（1）在正四棱柱中，两两垂直，

以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，，，

，，，

于是，，即且，

而平面DBE，

所以平面DBE.

（2）由（1）得，为平面DBE的一个法向量，

因此，

所以直线与平面DBE所成角的正弦值为.

20．为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本10万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中x（台）表示产量），并知当生产20台该产品时，需要流动成本0.7万元，每件产品的售价与产量x（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品x台获得的利润（利润＝销售收入－生产成本）为万元.

（参考数据：，，）

(1)求函数的解析式；

(2)当产量x为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)

(2)年产量为50台时，利润最大，最大利润是24.4万元

【分析】（1）依题设： ，由条件当生产20台该农机产品时，需要流动成本0.7万元可得，进而求出函数的表达式；

（2）求导，利用导数的正负判断函数的单调性，进而求出最值即可.

【详解】（1）依题设：

当生产20台该农机产品时，需要流动成本0.7万元得：

，可得：，∴；

∴

.

（2）由（1）得，

，

∵∴时，，单调递增，

时，，单调递减，

∴时，取得极大值也是最大值，

，

∴当年产量为50台时，利润最大，最大利润是24.4万元.

21．如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，.

(1)证明：平面平面；

(2)若，且与平面所成角的正弦值为，点E在线段上满足，求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据题意，在中，由余弦定理求得，得到，证得，再由，证得平面，即可证得平面平面；

（2）若O为中点，证得，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，设，由平面的一个法向量为，列出方程求得，进而得到，求得平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】（1）证明：由题知且，所以为等边三角形，

则，

又由四边形为梯形，，则，

在中，，

所以，即，

因为，且，平面，所以平面，

又因为平面，所以平面平面.

（2）解：若O为中点，，则，

由（1）得平面平面，平面平面，平面，

则平面，

连接，则，且平面，所以，，

所以，，两两垂直，

以为原点，，，分别为轴、轴和轴的正方向建立空间直角坐标系，

如图所示，可得，，，，

设且，则，由平面的一个法向量为，

可得，解得，

因为，所以，可得，

所以，，，

设是平面的一个法向量，则，

取，可得，所以

则，

由图形可得的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

22．已知函数，；

(1)求函数的单调性；

(2)设函数，对于任意的都有成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）对求导，分类讨论和，判断与得大小，即可得出答案.

（2）将题意转化为得对于任意的恒成立，令即在恒成立，即在恒成立，转化为求得最大值.

【详解】（1）的定义域为，则，

当时，即时，在上单调递增，

当时，即时，则即，

令得，令得，

则在上单调递增，在上单调递减，

综上所述：当时，在上单调递增；

当时，则在上单调递增，在上单调递减；

（2）依题得

因为对于任意的总有成立，不妨设

由，得

设，可得在单调递增；

在恒成立；

∴在恒成立；

设，

令，得，因为，所以在单调递增；

同理，在单调递减，所以的最大值为，

所以.