2022-2023学年福建省宁德市高一上学期区域性学业质量监测（期中）数学试题（C卷）（解析版）

2022-2023学年福建省宁德市高一上学期区域性学业质量监测（期中）数学试题（C卷）

一、单选题

1．已知全集，集合，集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据交集的定义直接求解即可.

【详解】因为集合，集合，

所以，

故选：D.

2．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】将特称命题否定为全称命题即可.

【详解】命题“”的否定是

“”，

故选：C.

3．函数的定义域为（    ）

A． B．

C．且 D．且

【答案】D

【分析】由二次根式的被开方数非负，分式的分母不为零，零次幂的底数不为零，列不等式组求解即可.

【详解】根据题意得，解得，且，

所以函数的定义域为且，

故选：D.

4．，，，

下列选项正确的是（    ）

A． B． C． D．的大小无法确定

【答案】B

【分析】（分子有理化）化简P，Q，比较分母大小.

【详解】，

，

显然，

则有，，

两边同时乘以2，即得到，

即，.

故选：B.

5．某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例，药物燃烧完后，与成反比例（如图），现测得药物15分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为12毫克.研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于6毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（    ）

A．15分钟 B．分钟 C．18分钟 D．分钟

【答案】D

【分析】首先根据题意确定一次函数与反比例函数的解析式，然后代入y＝6确定两个自变量的值，差即为有效时间．

【详解】设药物燃烧时y关于x的函数关系式为

代入（15，12）为，

；

设药物燃烧后y关于x的函数关系式为

代入（15，12）为，

∴，

∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为；

药物燃烧后y关于x的函数关系式为，

把y＝6代入,得：x＝7.5，

把y＝6代入，得：x＝30，

∵30−7.5＝22.5，

∴那么此次消毒的有效时间是22.5分钟，

故选：D．

6．“不等式在上恒成立”的充要条件是（    ）

A． B．

C． D．或

【答案】B

【分析】分，两种情况讨论，结合韦达定理判断即可.

【详解】当时，恒成立；

当时，，即，解得；

综上：.

故选：B

7．函数的图象大致形状是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】本题为分段函数图像判断，写出分段函数，可根据特殊点进行判断.

【详解】函数的定义域为，

，排除BC选项，，排除D选项.

故选：A

8．已知的定义域为为偶函数，为奇函数，且当时，，则的值等于（    ）

A．1 B． C．5 D．

【答案】B

【分析】根据题意，利用为偶函数，得到，再利用为奇函数，得到，进而可化简为，

得到，最后根据题意，求出，即可得到答案.

【详解】为偶函数，，可得，

又由为奇函数，，

故有，，故有

，可得，

，

，得

故选：B

二、多选题

9．已知，则下列不等式中一定成立的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】由不等式性质可判断AD，结合在单调递减可判断C，取可判断B.

【详解】由题意，，

选项A，由不等式性质，，故，正确；

选项B，当时，，错误；

选项C，由在单调递减可判断，正确；

选项D，由等式性质，可得，正确.

故选：ACD

10．下列四个命题中正确的是（    ）

A．

B．

C．集合中只有一个元素

D．集合是有限集

【答案】CD

【分析】根据集合的概念以及表示，判定命题的真假.

【详解】根据的定义知，A、B均不正确；

只有一个元素，C正确；

中只有两个元素，D正确.

故选：CD.

11．已知函数，则（    ）

A．的定义域为 B．为非奇非偶函数

C．的最小值为0 D．的最大值为

【答案】ABD

【分析】先求得函数定义域为，AB对，对表达式同时平方，求得的范围，进一步判断范围即可.

【详解】由题设可得函数的定义域为，定义域不关于原点对称，则选项AB正确；

f2(x)＝4＋2×＝4＋2×，而0≤≤2，即4≤f2(x)≤8，∵f(x)＞0，∴2≤f(x)≤2，∴f(x)的最大值为2，最小值为2，则选项C错误，D正确.

故选：ABD．

12．已知关于的不等式，下列结论正确的是（    ）

A．当时，不等式的解集为

B．当时，不等式的解集为的形式

C．当时，不等式的解集为

D．当时，不等式的解集为

【答案】ACD

【分析】由一元二次不等式的解的情况分别判断四个选项即可.

【详解】记.

对于A：因为，

所以当时，不等式的解集为.故A正确；

对于B：当时，在同一个坐标系内作出

和的图像如图示，

所以不等式的解集为或的形式.故B错误；

对于C：当时，不等式的解集为

令解得：或，所以不等式的解集为.故C正确；

对于D: 当时，不等式可化为，解得：，所以原不等式的解集为.故D正确.

故选：ACD

三、填空题

13．已知命题“”为真命题，则的取值范围为__________.

【答案】

【分析】分离参数，求的最小值即可.

【详解】，即对恒成立，

设，则，

所以.

故答案为：.

14．已知幂函数，经过点，则__________.

【答案】1或

【分析】运用代入法进行求解即可.

【详解】因为函数的图像过点，

所以有，或，

故答案为：或

15．写出一个值域为的奇函数__________.

【答案】（答案不唯一）.

【分析】根据基本函数的性质结合奇函数的性质求解即可.

【详解】函数是奇函数，且值域为，

故答案为：（答案不唯一）.

16．已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论

①；

②；

③；

④.

正确的有__________.（填上所有正确的序号）.

【答案】①②④

【分析】根据一元二次不等式的解集结合韦达定理判断①④；根据二次函数的性质应用数形结合判断②③.

【详解】，即，

∵的解集是，则的两根为，且，

∴，则，

①、④正确；

，即，

∵的两根为，则与的交点的横坐标为，

且的零点为，如图所示：

则，②正确；

则，③错误；

故答案为：①②④.

四、解答题

17．已知.

(1)求；

(2)若全集，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解分式不等式确定集合，然后由交集定义计算；

（2）由补集、交集定义计算．

【详解】（1）由得，

所以，即，

由，所以；.

（2）因为

，

所以.

18．已知集合.

(1)命题，命题，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围；

(2)若为真命题，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据解一元二次不等式的方法，结合必要不充分条件对应集合的之间的关系进行求解即可；

（2）根据存在性的定义，结合构造函数法，利用函数的单调性分类讨论进行求解即可.

【详解】（1）解不等式，即，解得，

所以，.

由于是的必要不充分条件，则B是A的真子集，所以且不同时取等，解得，

因此，实数的取值范围是；

（2）若为真命题

令，

①若时，，

任取且则

因为，则，故，即.

所以，函数在上是增函数.

所以

所以.

②，则，所以.

③若时，

同①可知函数在上是增函数

所以

所以.

综上，实数的取值范围是.

19．已知正数满足，，求

(1)的最小值；

(2)的最小值.

【答案】(1)5

(2)

【分析】（1）变形利用基本不等式的性质即可得出．

（2）正数，化简得，利用基本不等式的性质即可得出．

【详解】（1）由，得，即，

所以，

当且仅当时取等号.所以的最小值为5.

（2）由（1）因为正数满足，，，

解得：，

当且仅当时取等号.

所以的最小值为.

20．某厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产千件，需另投入成本为.当年产量不足60千件时，（万元）；当年产量不小于60千件时，（万元）.通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能全部售完.（利润销售收入总成本）

(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；

(2)年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大？

【答案】(1)

(2)当生产量为79千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为900万元.

【分析】（1）由“利润=销售收入－总成本”写出分段函数L(x)，（注意：单位一致性）

（2）分别求出L(x)在各段区间上的最大值，再比较各段上的最大值可得L(x)的最大值.

【详解】（1）（1）①当时，

②当时，

所以

（2）（2）①当时，，

所以当时，取得最大值（万元）.

②当时，

当且仅当，即时等号成立.

即时，取得最大值（万元）.

又∵

∴综上，当生产量为79千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为900万元.

21．已知定义在上的函数.

(1)若，判断函数在上的单调性，并用定义证明；

(2)解关于的不等式.

【答案】(1)单调递减，证明见解析

(2)

【分析】（1）根据代入求出的值，即可得到函数解析式，再利用定义法证明，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；

（2）首先判断函数的奇偶性，再根据奇偶性、单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.

【详解】（1）解：因为且，

即，则，即.

函数在上单调递减，

证明如下：

任取且，

则

.

因为，则，

故，

即.

因此，函数在上是减函数..

（2）解：因为，由，所以是上的偶函数，

又因为，所以，

由（1）知函数在上单调递减，

所以，解得.

因此，不等式的解集为

22．已知函数.

(1)讨论函数的奇偶性，并说明理由；

(2)当时.

（i）写出函数的单调区间（不要说明过程）；

（ii）是否存在实数，使得函数在区间上的最大值为2，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)答案见解析

(2)（i）答案见解析；（ii）

【分析】（1）利用定义法判断奇偶性；（2）（i）对a分类讨论，分为当时和当时，分别写出单调区间；（ii）对a分类讨论，分为当时和当时，分别由单调性求出最大值，列方程即可求解.

【详解】（1）已知.

当时，，此时为奇函数；

当时，，此时既不是奇函数又不是偶函数

（2）当时.

（i）当时，，单调增区间为，无单调减区间；

当时，单调增区间为，单调减区间为.

（ii）当时，，在上单调递增，无最大值，不合题意；

当时，由.

又由（i）知，在上单调递增，则必在区间上取得最大值2.

当，即当时在上单调递减，由；

当，即当时，在上单调递增，在上单调递减，

由（舍）.

综上：