贵州省遵义师范学院附属实验学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份贵州省遵义师范学院附属实验学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷，共5页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题.等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A． 清华大学B． 北京大学
C． 人民大学D． 浙江大学
2．（4分）△ABC中，AB＝3，AC＝2，下列数轴中表示的a的取值范围，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（4分）下列运算中，结果是a6的式子是（ ）
A．a2•a3B．a12﹣a6C．（a3）3D．（﹣a）6
4．（4分）以下计算正确的是（ ）
A．（﹣2ab2）3＝8a3b6
B．3ab+2b＝5ab
C．（﹣x2）•（﹣2x）3＝﹣8x5
D．2m（mn2﹣3m2）＝2m2n2﹣6m3
5．（4分）如图，△ABD≌△ECB，若AD＝5，则BC的长为（ ）
A．12B．11C．10D．9
6．（4分）如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为（ ）
A．135°B．140°C．144°D．150°
7．（4分）根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是（ ）
A．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4B．∠A＝30°，AB＝5，BC＝3
C．∠B＝60°，AB＝6，BC＝10D．∠C＝90°，AB＝5，BC＝3
8．（4分）如图，△ABC顶角为120°，AB＝AC，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，则DE的长为（ ）
A．1B．2C．D．
9．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BA上分别截取BE，BD；分别以D，E为圆心、以大于，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，则GP的最小值为（ ）
A．无法确定B．C．1D．2
10．（4分）小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠D＝30°，则∠α+∠β等于（ ）
A．180°B．210°C．360°D．270°
11．（4分）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝13，EF垂直平分BC，则△ABP周长的最小值是（ ）
A．12B．13C．17D．25
12．（4分）如图，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠EBC的平分线相交于点P，D在AC延长线上，PG∥AD交BC于F，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝PC：PB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中正确的有（ ）
A．①②④B．①③④C．②③④D．①③
二、填空题(本题共4小题，每个题4分,共16分。答题时请用黑色墨水笔或黑色签字笔直接答在答题卡的相应位置上)
13．（4分）平面直角坐标系中点P（3，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是 ．
14．（4分）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，∠A＝∠D，请补充一个条件，使△ABC≌△DEF ．（补充一个即可）
15．（4分）若（x﹣a）（2x+4）的结果中不含x的一次项，则a的值为 ．
16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），B（0，4），在坐标轴上找一点P，则这样的点P共有 个．
三、解答题.（本题共8小题，共86分。答题时请用黑色墨水笔或黑色签字笔直接答在答题卡的相应位置上。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）如图所示，有一块直角三角板DEF（足够大），其中∠EDF＝90°，三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、C．
（1）若∠A＝40°，则∠ABC+∠ACB＝ °，∠DBC+∠DCB＝ °∠ABD+∠ACD＝ °．
（2）若∠A＝55°，则∠ABD+∠ACD＝ °．
（3）请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系 ．
18．（10分）如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AC＝12cm，BC＝15cm
（1）求AD的长度；
（2）求△ABE的面积．
19．（10分）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了阴影．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成阴影，使整个涂成阴影的图形成为轴对称图形，并画出它们各自的对称轴．（要求画出3种不同方法）
20．（10分）如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，AB∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．
21．（10分）对于任何实数，我们规定符号＝ad﹣bc＝1×4﹣2×3＝﹣2
（1）按照这个规律请你计算的值；
（2）按照这个规定请你计算，当a2﹣3a+1＝0时，求的值．
22．（10分）图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE．
（1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，AC上，沿AF画一条射线AP
（2）如图3，在（1）的前提下，过点P作PQ⊥AB于点Q，AC＝7，△ABC的面积是32
23．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC边上一点，连接BD，且AE＝BD，AE与BC交于点F．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当AD＝CF时，求证：BD平分∠ABC．
24．（14分）已知，∠MON＝90°，点A在边OM上，∠OAP＝α．以线段AP为边在AP上方作等边△ABP，连接OB、BP（点C、P在OB的同侧），作CH⊥ON于点H．
（1）如图1，α＝60°．①依题意补全图形；②求∠BPH的度数；
（2）如图2，当点P在射线ON上运动时，用等式表示线段OA与CH之间的数量关系
2022-2023学年贵州省遵义师范学院附属实验学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题.（本题共12小题，每个题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满）
1．（4分）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A． 清华大学B． 北京大学
C． 人民大学D． 浙江大学
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（4分）△ABC中，AB＝3，AC＝2，下列数轴中表示的a的取值范围，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】首先根据三角形的三边关系确定a的取值范围，然后在数轴上表示即可．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝3，BC＝a，
∴1＜a＜6，
∴A符合，
故选：A．
【点评】考查了三角形的三边关系及在数轴上表示不等式的解集的知识，解题的关键是正确的利用三边关系列出不等式，难度不大．
3．（4分）下列运算中，结果是a6的式子是（ ）
A．a2•a3B．a12﹣a6C．（a3）3D．（﹣a）6
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；有理数的乘方的意义，对各选项计算后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2•a3＝a4，故本选项错误；
B、不能进行计算；
C、（a3）3＝a4，故本选项错误；
D、（﹣a）6＝a6，正确．
故选：D．
【点评】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方和有理数乘方的定义，熟练掌握运算性质是解题的关键．
4．（4分）以下计算正确的是（ ）
A．（﹣2ab2）3＝8a3b6
B．3ab+2b＝5ab
C．（﹣x2）•（﹣2x）3＝﹣8x5
D．2m（mn2﹣3m2）＝2m2n2﹣6m3
【分析】利用幂的乘方与积的乘方，单项式乘以多项式法则，合并同类项法则即可求解．
【解答】解：（﹣2ab2）8＝﹣8a3b5，A错误；
3ab+2b不能合并同类项，B错误；
（﹣x5）（﹣2x）3＝3x5，C错误；
故选：D．
【点评】本题考查整式的运算；熟练掌握幂的乘方与积的乘方，单项式乘以多项式法则，合并同类项法则是解题的关键．
5．（4分）如图，△ABD≌△ECB，若AD＝5，则BC的长为（ ）
A．12B．11C．10D．9
【分析】先根据全等三角形的性质得到BE＝AD＝5，BD＝CB，则利用BD＝BE+DE计算出BD，从而得到BC的长．
【解答】解：∵△ABD≌△ECB，
∴BE＝AD＝5，BD＝CB，
∴BD＝BE+DE＝5+8＝11，
∴BC＝11．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．
6．（4分）如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为（ ）
A．135°B．140°C．144°D．150°
【分析】先根据多边形内角和定理：180°•（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．
【解答】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，
则每个内角的度数＝1260°÷4＝140°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理：180°•（n﹣2），比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和．
7．（4分）根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是（ ）
A．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4B．∠A＝30°，AB＝5，BC＝3
C．∠B＝60°，AB＝6，BC＝10D．∠C＝90°，AB＝5，BC＝3
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．∠A＝60°，AB＝4，能画出唯一的△ABC；
B．∠A＝30°，BC＝3，不能画出唯一的△ABC；
C．∠B＝60°，BC＝10，能画出唯一的△ABC；
D．∠C＝90°，BC＝3，能画出唯一的△ABC；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
8．（4分）如图，△ABC顶角为120°，AB＝AC，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，则DE的长为（ ）
A．1B．2C．D．
【分析】根据折叠的性质，AE＝BE，∠DAE＝∠B＝30°，又∠BAC＝120°，可知∠EAC＝90°，根据30°所对的直角边等于斜边的一半，可知AE＝2，DE＝1．
【解答】解：∵∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
根据折叠的性质，AE＝BE，
∴∠EAC＝90°，
∴AE＝EC＝BE＝6，
∵∠BDE＝90°，∠B＝30°，
∴DE＝BE＝2．
故选：A．
【点评】本题考查的是翻折变换的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，掌握30°所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．
9．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BA上分别截取BE，BD；分别以D，E为圆心、以大于，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，则GP的最小值为（ ）
A．无法确定B．C．1D．2
【分析】如图，过点G作GH⊥AB于H．根据角平分线的性质定理证明GH＝GC＝1，利用垂线段最短即可解决问题．
【解答】解：如图，过点G作GH⊥AB于H．
由作图可知，GB平分∠ABC，
∵GH⊥BA，GC⊥BC，
∴GH＝GC＝1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．（4分）小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠D＝30°，则∠α+∠β等于（ ）
A．180°B．210°C．360°D．270°
【分析】根据三角形的外角的性质分别表示出∠α和∠β，计算即可．
【解答】解：∠α＝∠1+∠D，
∠β＝∠4+∠F，
∴∠α+∠β＝∠5+∠D+∠4+∠F
＝∠2+∠D+∠8+∠F
＝∠2+∠3+30°+90°
＝210°，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
11．（4分）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝13，EF垂直平分BC，则△ABP周长的最小值是（ ）
A．12B．13C．17D．25
【分析】连接PC，如图，先根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，则PA+PB＝PA+PC，根据三角形三边之间的关系得到PA+PC≥AC（当且仅当A、P、C共线时取等号），则PA+PC的最小值为AC的长，所以△ABP周长的最小值＝AB+AC．
【解答】解：连接PC，如图，
∵EF垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∴PA+PB＝PA+PC，
∵PA+PC≥AC（当且仅当A、P、C共线时取等号），
∴PA+PC的最小值为AC的长，
∴△ABP周长的最小值＝AB+AC＝5+12＝17．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题：利用两点之间线段最短或垂线段最短解决问题．也考查了线段垂直平分线的性质．
12．（4分）如图，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠EBC的平分线相交于点P，D在AC延长线上，PG∥AD交BC于F，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝PC：PB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中正确的有（ ）
A．①②④B．①③④C．②③④D．①③
【分析】利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④进行一一判断，从而求解．
【解答】解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，
∴∠PAB＝∠CAB∠CBE，
∵∠CBE＝∠CAB+∠ACB，
∠PBE＝∠PAB+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB；故①正确；
过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，
∴PM＝PN＝PS，
∴PC平分∠BCD，
∵S△PAC：S△PAB＝（AC•PN）：（；故②不正确；
∵BE＝BC，BP平分∠CBE
∴BP垂直平分CE（三线合一），故③正确；
∵PG∥AD，
∴∠FPC＝∠DCP
∵PC平分∠DCB，
∴∠DCP＝∠PCF，
∴∠PCF＝∠CPF，故④正确．
本题正确的有：①③④
故选：B．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等．
二、填空题(本题共4小题，每个题4分,共16分。答题时请用黑色墨水笔或黑色签字笔直接答在答题卡的相应位置上)
13．（4分）平面直角坐标系中点P（3，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是 （3，2） ．
【分析】根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果．
【解答】解：根据两点关于x轴对称，横坐标不变，
∴点P（3，﹣2）关于x轴的对称点P′的坐标是（8．
故答案为：（3，2）．
【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标的知识，注意掌握两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数．
14．（4分）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，∠A＝∠D，请补充一个条件，使△ABC≌△DEF ∠B＝∠DEF ．（补充一个即可）
【分析】求出BC＝EF，根据平行线的性质得出∠B＝∠DEF，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：补充的条件是∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
故答案为：∠B＝∠DEF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
15．（4分）若（x﹣a）（2x+4）的结果中不含x的一次项，则a的值为 2 ．
【分析】先根据多项式乘多项式算乘法，再合并同类项，根据已知得出4﹣2a＝0，求出即可．
【解答】解：（x﹣a）（2x+4）
＝5x2+4x﹣2ax﹣4a
＝2x2+（4﹣2a）x﹣6a，
∵（x﹣a）（2x+4）的结果中不含x的一次项，
∴4﹣2a＝0，
解得：a＝5，
故答案为：2．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，能正确根据多项式乘多项式法则进行计算是解此题的关键．
16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），B（0，4），在坐标轴上找一点P，则这样的点P共有 5 个．
【分析】以B为圆心，AB长为半径画圆可得与坐标轴有两个交点，再以A为圆心，AB长为半径画圆可得与坐标轴有1个交点，然后再作AB的垂直平分线可得与坐标轴有两个交点．
【解答】解：如图所示，共5个点，
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是考虑全面，作图不重不漏．
三、解答题.（本题共8小题，共86分。答题时请用黑色墨水笔或黑色签字笔直接答在答题卡的相应位置上。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）如图所示，有一块直角三角板DEF（足够大），其中∠EDF＝90°，三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、C．
（1）若∠A＝40°，则∠ABC+∠ACB＝ 140 °，∠DBC+∠DCB＝ 90 °∠ABD+∠ACD＝ 50 °．
（2）若∠A＝55°，则∠ABD+∠ACD＝ 35 °．
（3）请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系 ∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A ．
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠DBC＝90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数；
（2）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠DBC＝90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数；
（3）根据三角形内角和定义有90°+（∠ABD+∠ACD）+∠A＝180°，则∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
在△DBC中，∵∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°；
故答案为：140；90．
（2）在△ABC中，∵∠A＝55°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣55°＝125°，
在△DBC中，∵∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝125°﹣90°＝35°，
故答案为：35；
（3）∠ABD+∠ACD与∠A之间的数量关系为：∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．证明如下：
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．
在△DBC中，∠DBC+∠DCB＝90°．
∴∠ABC+∠ACB﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣∠A﹣90°．
∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A，
故答案为：∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解答的关键．
18．（10分）如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AC＝12cm，BC＝15cm
（1）求AD的长度；
（2）求△ABE的面积．
【分析】（1）利用面积法求AD的长；
（2）根据三角形面积公式，利用S△ABE＝S△ABC进行计算．
【解答】解；（1）∵∠BAC＝90°，
∴S△ABC＝AD•BC＝，
∴AD＝＝（cm）；
（2）∵AE为BC边上的中线，
∴S△ABE＝S△ABC＝××9×12＝27（cm2）．
【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S＝×底×高．
19．（10分）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了阴影．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成阴影，使整个涂成阴影的图形成为轴对称图形，并画出它们各自的对称轴．（要求画出3种不同方法）
【分析】根据轴对称图形的概念作图即可．
【解答】解：如图所示：
．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合．
20．（10分）如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，AB∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．
【分析】（1）先证明∠ABC＝∠DEF，再根据ASA即可证明．
（2）根据全等三角形的性质即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
在△ABC与△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BF＝EC，
∵BE＝10m，BF＝3m，
∴FC＝10﹣3﹣8＝4m．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型．
21．（10分）对于任何实数，我们规定符号＝ad﹣bc＝1×4﹣2×3＝﹣2
（1）按照这个规律请你计算的值；
（2）按照这个规定请你计算，当a2﹣3a+1＝0时，求的值．
【分析】（1）根据已知展开，再求出即可；
（2）根据已知展开，再算乘法，合并同类项，变形后代入求出即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣2×5﹣3×4＝﹣22；
（2）原式＝（a+1）（a﹣2）﹣3a（a﹣2）
＝a5﹣1﹣3a8+6a
＝﹣2a6+6a﹣1，
∵a2﹣3a+1＝8，
∴a2﹣3a＝﹣4，
∴原式＝﹣2（a2﹣6a）﹣1＝﹣2×（﹣3）﹣1＝1．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，解此题的关键是能根据整式的运算法则展开，难度适中．
22．（10分）图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE．
（1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，AC上，沿AF画一条射线AP
（2）如图3，在（1）的前提下，过点P作PQ⊥AB于点Q，AC＝7，△ABC的面积是32
【分析】（1）是；理由：由（2）SSS判定△ADF≌△AEF，然后由该全等三角形的对应角相等证得结论；
（2）如图，过点P作PG⊥AC于点G．由三角形的面积公式作答即可．
【解答】解：（1）AP是∠BAC的平分线，理由如下：
在△ADF和△AEF中，
，
∴△ADF≌△AEF（SSS）．
∴∠DAF＝∠EAF，
∴AP平分∠BAC．
（2）如图，过点P作PG⊥AC于点G．
∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB，
∴PG＝PQ＝4．
∵S△ABC＝S△ABP+S△APC＝AB•PQ+，
∴AB×4+．
∴AB＝9．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式以及角平分线的定义．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
23．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC边上一点，连接BD，且AE＝BD，AE与BC交于点F．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当AD＝CF时，求证：BD平分∠ABC．
【分析】（1）根据HL证明Rt△CAE与Rt△ABD全等，进而解答即可；
（2）根据全等三角形的性质和角之间的关系解答即可．
【解答】证明：（1）∵EC⊥AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACE＝∠BAC＝90°，
在Rt△CAE与Rt△ABD中，
，
∴Rt△CAE≌Rt△ABD（HL），
∴CE＝AD．
（2）由（1）得Rt△CAE≌Rt△ABD，
∴∠EAC＝∠ABD，∠E＝∠ADB．
由（1）得CE＝AD，
∵AD＝CF，
∴CE＝CF．
∴∠CFE＝∠E，
∵∠CFE＝∠AFB，
∴∠AFB＝∠E．
∵∠E＝∠ADB，
∴∠AFB＝∠ADB，
∵∠AGB＝∠EAC+∠ADB，∠AGB＝∠DBC+∠AFB，
∴∠EAC＝∠DBC．
∵∠EAC＝∠DBA，
∴∠DBA＝∠DBC，
∴BD平分∠ABC．
【点评】此题考查全等三角形问题，关键是根据HL证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答．
24．（14分）已知，∠MON＝90°，点A在边OM上，∠OAP＝α．以线段AP为边在AP上方作等边△ABP，连接OB、BP（点C、P在OB的同侧），作CH⊥ON于点H．
（1）如图1，α＝60°．①依题意补全图形；②求∠BPH的度数；
（2）如图2，当点P在射线ON上运动时，用等式表示线段OA与CH之间的数量关系
【分析】（1）①根据题意，即可画出图形；
②根据∠BPH＝180°﹣∠OPA﹣∠BPA＝90°，可得答案；
（2）连接BC，PC，利用SAS可证明△ABO≌△PBC，得AO＝PC，∠BPC＝∠BAO，再通过导角发现∠HPC＝30°，从而解决问题．
【解答】解：（1）①如图所示，即为所求；
②∵△ABP是等边三角形，
∴∠BPA＝60°，
∵∠OAP＝α＝60°，
∴∠OPA＝30°，
∴∠BPH＝180°﹣∠OPA﹣∠BPA＝90°；
（2）OA＝2CH，证明如下：
如图，连接BC，
由（2）可知，△ABP是等边三角形，
∴BA＝BP，∠ABP＝∠BPA＝60°，
∵△BOC是等边三角形，
∴BO＝BC，∠BOC＝60°，
∴∠ABO＝60°﹣∠OBP＝∠PBC，
∴△ABO≌△PBC（SAS），
∴AO＝PC，∠BPC＝∠BAO，
∵∠OAP＝α，
∴∠BAO＝∠BAP+∠OAP＝60°+α，
∴∠BPC＝60°+α，
∵∠BPN＝180°﹣∠APO﹣∠BPA＝120°﹣（90°﹣α）＝30°+α，
∴∠HPC＝∠BPC﹣∠BPN＝30°，
∵CH⊥ON，
∴∠CHO＝90°，
在Rt△CHP中，PC＝2CH，
∴OA＝3CH．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，证明△ABO≌△PBC是解题的关键．