2023-2024学年湘教版（2019）选择性必修一 第三章 圆锥曲线与方程 单元测试卷(含答案)

2023-2024学年湘教版（2019）选择性必修一 第三章 圆锥曲线与方程 单元测试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、过双曲线，的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线相交于点B，若，则此双曲线的离心率为(   )

A. B.2 C. D.

2、已知,分别是双曲线的左、右焦点,过作双曲线C的渐近线的垂线,垂足为P,且与双曲线C的左支交于点Q,若（O为坐标原点）,则双曲线的离心率为(   )

A. B. C. D.

3、已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是(   )

A. B. C. D.

4、若椭圆比椭圆更扁，则椭圆C的长轴长的取值范围是(   )

A. B. C. D.

5、设，为椭圆的上、下焦点.若在椭圆C上存在一点P，使，则实数m的取值范围是(   )

A. B. C. D.

6、“”是“方程表示椭圆”的(   )

A.必要不充分条件  B.充分不必要条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

7、已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是(   )

A. B. C. D.

8、椭圆的长轴长为4，左顶点在圆上，左准线为y轴，则此椭圆离心率的取值范围是(注：椭圆的准线方程为)(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆M与坐标轴分别交于A，B，C，D四点，且从，，A，B，C，D这六点中，可以找到三点构成一个等边三角形，则下列选项中可以是椭圆M的离心率的有(   )

A. B. C. D.

10、已知双曲线(，)的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，则有(   )

A.渐近线方程为 B.渐近线方程为

C.  D.

三、填空题

11、已知椭圆C的两个焦点分别为，，为了使椭圆C的方程为，可以再添加一个条件，__________.

12、已知椭圆的左、右焦点分别为，.若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为_____________.

13、设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为__________.

14、过双曲线的焦点作以焦点为圆心的圆的一条切线，切点为M，的面积为，其中c为半焦距，线段恰好被双曲线C的一条渐近线平分，则双曲线C的离心率为___________.

四、解答题

15、已知双曲线C的焦点坐标为，，实轴长为4.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）若双曲线C上存在一点P使得，求的面积.

16、已知椭圆的离心率为，焦距为.

（1）求C的方程；

（2）若斜率为的直线l与椭圆c交于两点（点均在第一象限），O为坐标原点，证明：直线的斜率依次成等比数列.

参考答案

1、答案：B

解析：依题意设渐近线的垂线的方程：，

由得，

由得，

由得A为的中点，所以，，

，离心率.

故选：B.

2、答案：B

解析：

3、答案：D

解析：如图.若在椭圆上存在点P，使由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则只需P为椭圆长轴端点时，即，则，即.因为，所以，所以，即.又，所以，即.故选D.

4、答案：C

解析：椭圆的离心率，椭圆的离心率.因为椭圆比椭圆更扁，所以，即，解得，则，所以椭圆C的长轴长的取值范围是.故选C.

5、答案：C

解析：由椭圆的性质知，当点P在椭圆左、右顶点处时最大，所以椭圆C上存在一点P，使，只需点P在椭圆左、右顶点处时，此时，，即.又，，所以，解得.又，所以.故选C.

6、答案：D

解析：若方程表示椭圆，则，且，，“”不是“方程表示椭圆”的必要条件；反过来，当时，取或，方程表示圆，“”不是方程“表示椭圆”的充分条件.综上所述，“”是“方程表示椭圆”的既不充分也不必要条件.故选D.

7、答案：A

解析：因为椭圆两个焦点的坐标分别为和，所以.因为椭圆经过点，且焦点在x轴上，所以，所以，所以椭圆的标准方程为.故选A.

8、答案：B

解析：设椭圆的左顶点坐标为，点A到左准线的距离为，

又椭圆长轴长为4，可得.

于是离心率.

又点A在圆上，所以，因此.故选B.

9、答案：AB

解析：不妨设A，B为长轴端点，C，D为短轴端点.

若是等边三角形，则由，可得，此时不可能是等边三角形，不符合题意；

若为等边三角形，则，此时，所以选项B有可能；

若为等边三角形，则，此时，所以选项A有可能；

若为等边三角形，则，此时.

综上可知，可以是椭圆M的离心率的有选项A和B.故选AB.

10、答案：BC

解析：双曲线的渐近线方程为，离心率为，

则，则，，

故渐近线方程为，

取MN的中点P，连接AP，利用点到直线的距离公式可得，

则，

所以，则，

故选BC.

11、答案：椭圆上的点到两焦点的距离之和为10（答案不唯一）

解析：根据椭圆的焦点坐标可知，，并且焦点在x轴上.若使椭圆方程为，则只需，所以可添加条件“椭圆上的点到两焦点的距离之和为10”.本题答案不唯一.

12、答案：

解析：在中，由正弦定理知.因为，椭圆离心率，所以，即.①

又因为点P在椭圆上，所以，

将①代入可得.

又，所以两边同除以a得.

又，所以.

13、答案：

解析：当P是椭圆的上、下顶点时，最大，不妨设椭圆的上顶点为A，所以，所以(O为坐标原点)，所以.因为，，所以，则椭圆的离心率e的取值范围为.

14、答案：2

解析：设直线的斜率为正，设N为渐近线与直线的交点，由题意可得N为中点，可得为的中位线，可得，且，所以，由题意可得，所以，而，所以，可得，所以,两边平方可得，

整理可得，可得或，而，可得，所以可得，故答案为：2.

15、

（1）答案：

解析：由条件知，，，

双曲线C的标准方程为.

（2）答案：面积为1

解析：由双曲线的定义可知，.

，，

，

的面积.

16、答案： （1）（2）见解析

解析：（1）由题意可得，解得，

又，所以椭圆方程为.

（2）证明：设直线的方程为,

由，消去，得，

则，

且，

故，

，

即直线的斜率依次成等比数列.