数学必修 第二册4.3 指数函数与对数函数的关系练习

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一、选择题
1．下列三个命题：
（1）0是的真子集；
（2）函数在定义域内是减函数；
（3）存在反函数的函数一定是单调函数.
正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知函数f（x）=2x的反函数为y=g（x），则g（）的值为（ ）
A．B．1C．12D．2
3．若函数的图像位于第一、二象限，则它的反函数的图像位于（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第二、三象限 D．第一、四象限
4．函数是（，且）的反函数，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
5．若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（ ）
A．10 B．-1 C．2 D．-2
6．如果函数的反函数是增函数，那么函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．已知f（x）=ax，g（x）=lgax（a＞0，且a≠1），若f（3）•g（3）＜0，那么f（x）与g（x）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知a＞1，函数y=ax与y=lga（-x）的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．若函数（，且）在上的最大值为4，且函数在上是减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，函数是的反函数，若正数满足，则的值等于（ ）
A．4B．8C．16D．64
二、填空题
13．函数的反函数是______．
14．函数且的反函数过点，则______．
15．函数的图象恒过定点，点在指数函数的图象上，则 ______．
16．给出下列四个结论
函数的最大值为；
已知函数且在上是减函数，则a的取值范围是；
在同一坐标系中，函数与的图象关于y轴对称；
在同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称．
其中正确结论的序号是______．
三、解答题
17．已知集合A={x|lg2（2x-4）≤1），B={y|y=（）x，x}，求A∩B．
18．已知函数.
（1）求的反函数；
（2）若，求的取值范围.
19．已知且
（1）求的取值范围
（2）在(1)的条件下,求函数的最大值和最小值.
20．已知函数的反函数为，．
（1）求的解析式，并指出的定义域；
（2）设，求函数的零点.
21．已知函数的最大值与最小值之和为a2+a+1（a＞1）．
（1）求a的值；
（2）判断函数g（x）=f（x）-3在[1，2]的零点的个数，并说明理由．
22．已知函数，.
（1）解不等式：；
（2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；
（3）若函数的反函数为，且，其中为奇函数，为偶函数，试比较与的大小.
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.3指数函数与对数函数的关系
一、选择题
1．下列三个命题：
（1）0是的真子集；
（2）函数在定义域内是减函数；
（3）存在反函数的函数一定是单调函数.
正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】
（1）因为0不是一个集合，所以0是的真子集说法错误.
（2）令，但是，所以（2）的结论错误.
（3）函数的反函数为：，此函数在定义域内不是单调函数.
故选：A
2．已知函数f（x）=2x的反函数为y=g（x），则g（）的值为（ ）
A．B．1C．12D．2
【答案】A
【解析】
∵由，得
∴原函数的反函数为，
则．
故选：A．
3．若函数的图像位于第一、二象限，则它的反函数的图像位于（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第二、三象限 D．第一、四象限
【答案】D
【解析】
结合函数与反函数关于得出，即可得出反函数位于第一、四象限，即可.
4．函数是（，且）的反函数，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
∵函数是（，且）的反函数，
∴，
∴,对错；
，对；
，对，故选D．
5．若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（ ）
A．10 B．-1 C．2 D．-2
【答案】C
【解析】
与关于对称为的反函数

本题正确选项：
6．如果函数的反函数是增函数，那么函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
函数的反函数是增函数，
为增函数，，
为减函数，可排除；
又排除，故选C.
7．已知函数，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】
根据题意：
若，解可得，则
故
本题正确选项：
8．已知f（x）=ax，g（x）=lgax（a＞0，且a≠1），若f（3）•g（3）＜0，那么f（x）与g（x）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由指数函数和对数函数的单调性知，
f（x）=ax，g（x）=lgax（a＞0，且a≠1），在（0，+∞）上单调性相同，可排除B、D，再由关系式f（3）•g（3）＜0可排除A.
故选：C．
9．已知a＞1，函数y=ax与y=lga（-x）的图象只可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为，所以函数是增函数，排除选项；
而函数的定义域为，且在定义域内为减函数，排除，
故选B．
10．若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意得4x-≤lgax在上恒成立，
即当时，函数的图象不在y=lgax图象的上方，
由图知：当a＞1时，函数的图象在y=lgax图象的上方；
当0＜a＜1时， ，解得 ．
故选：A．

11．若函数（，且）在上的最大值为4，且函数在上是减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
当时，函数单调递增，据此可知：，满足题意；
当时，函数单调递减，据此可知：，不合题意；
故，函数单调递增，
若函数在上是减函数，则，据此可得.
本题选择A选项.
12．已知函数，函数是的反函数，若正数满足，则的值等于（ ）
A．4B．8C．16D．64
【答案】B
【解析】
由函数，函数是的反函数，
则，
所以，
故选：B．
二、填空题
13．函数的反函数是______．
【答案】
【解析】
由得，即：，
又原函数的值域是，
函数的反函数是．
故答案为：．
14．函数且的反函数过点，则______．
【答案】3
【解析】
由函数，且的反函数的图象过点，
可得：图象过点，
，
又，．
故答案为：3．
15．函数的图象恒过定点，点在指数函数的图象上，则 ______．
【答案】
【解析】
根据题意：令，所以，此时，所以定点坐标是，
所以指数函数过点，所以.
故答案为.
16．给出下列四个结论
函数的最大值为；
已知函数且在上是减函数，则a的取值范围是；
在同一坐标系中，函数与的图象关于y轴对称；
在同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称．
其中正确结论的序号是______．
【答案】
【解析】
对于，函数的最大值为1，的最小值为，错误；
对于，函数且在上是减函数，
，
解得a的取值范围是，错误；
对于，在同一坐标系中，函数与的图象关于x轴对称，错误；
对于，在同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称，正确．
综上，正确结论的序号是．
故答案为：．
三、解答题
17．已知集合A={x|lg2（2x-4）≤1），B={y|y=（）x，x}，求A∩B．
【答案】
【解析】
由lg2（2x-4）≤1，可得0<2x-4≤2.
解得A=（2，3]，
x时，y=（）x≤且（）x>0.
∴B=.
∴．
18．已知函数.
（1）求的反函数；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）由得
互换、得：
∴函数的反函数是.
（2）由得
由，得
因为，所以，解得
由
19．已知且
（1）求的取值范围
（2）在(1)的条件下,求函数的最大值和最小值.
【答案】（1）．（2）f（x）min．f（x）max＝12．
【解析】
（1）由2x≤256得x≤8，lg2x得x，∴．
（2）由（1）得，
lg2x）2（1+）=（1+），
∴f（x）＝（1+）＝（lg2x+）2，
当lg2x，f（x）min．
当lg2x＝3，f（x）max＝12．
20．已知函数的反函数为，．
（1）求的解析式，并指出的定义域；
（2）设，求函数的零点.
【答案】(1) 定义域为 (2)见解析
【解析】
（1），，
解不等式组可得的定义域为.
（2）函数的零点是方程的解.
，
因为，所以，
所以，即的值域为
若，则方程无解；
若，则，所以，方程有且只有一个解；
若，则，所以，方程有两个解.
综上所述：
若，则无零点；
若，则有且只有一个零点；
若，则有两个零点.
21．已知函数的最大值与最小值之和为a2+a+1（a＞1）．
（1）求a的值；
（2）判断函数g（x）=f（x）-3在[1，2]的零点的个数，并说明理由．
【答案】（1）；（2）一个零点.
【解析】
（1）函数在a＞1时单调递增，
又函数的最大值与最小值之和为a2+a+1．
∴f（1）+f（2）=0+a+lga2+a2=a2+a+1，解得a=2．
（2）由（1）可得函数f（x）=lg2x+2x．
可得函数f（x）在[1，2]内单调递增，
可得g（x）=f（x）-3在[1，2]内单调递增，最多有一个零点．
∵g（1）=f（1）-3=2-3=-1＜0，g（2）=f（2）-3=-3=2＞0，
可得函数在[1，2]内有且只有一个零点．
22．已知函数，.
（1）解不等式：；
（2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；
（3）若函数的反函数为，且，其中为奇函数，为偶函数，试比较与的大小.
【答案】（1）或；（2）；（3）.
【解析】
（1）由，得或，
即或，
解得，
所以原不等式的解集为．
（2）令，得．
令，由，得，
则，其中．
令，则在上单调递增，
所以，即，
所以.
故实数的取值范围为．
（3）由题意得，即，
因此，
因为为奇函数，为偶函数，
所以，解得，
所以，，
因此．
另法：，
所以．