初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理精品复习练习题

这是一份初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理精品复习练习题，共26页。试卷主要包含了在等腰中，，，则底边上的高为，木工师傅想利用木条，下列各组数是勾股数的是，下列定理中逆命题是假命题的是等内容，欢迎下载使用。

1．如图，已知正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，则正方形C的面积为（ ）
A．7B．5C．25D．1
2．如图，在中，为边上的高，，则的长度是（ ）
A．B．C．D．4
3．在等腰中，，，则底边上的高为（ ）
A．12B．C．D．18
4．如图，在中，，斜边的垂直平分线交于点，连接.若，，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
5．如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形的面积为25，正方形的面积为1，若用分别表示直角三角形的两直角边，下列三个结论：．其中正确的是( )
A．①②③B．①②C．①③D．②③
6．如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（ ）
A．B．C．D．
7．木工师傅想利用木条（单位都为：米）制作一个直角三角形的工具，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，2，3B．3，4，5C．7，24，25D．9，12，15
8．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
9．下列定理中逆命题是假命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．同位角相等，两直线平行
C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
D．在一个三角形中如果两边相等那么它们所对的角也相等
10．如图，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
A．8B．6C．4D．10
11．若直角三角形的三边长为5，12，m，则的值为（ ）
A．13B．119C．169D．119或169
12．新冠疫情防控过程中，某中学在大门口的正上方处装着一个红外线激光测温仪，离地米（如图所示），一个身高米的学生（米）正对门缓慢走到离门米的地方时（米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离等于 ．
13．在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则这个湖的水深是 尺．
14．如图，O点为数轴原点，A点对应的数是3，，连接AB，，以O为圆心，OB长为半径画弧交数轴正半轴于点C，则点C对应的实数为 ．
15．如图，矩形中，，，在数轴上，且点表示的数为，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的实数为 ．
16．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为 ．
17．如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：
经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是 ．
18．如图，有一圆柱形油罐，底面周长为24m，高为10m．从处环绕油罐建梯子，梯子的顶端点正好在点的正上方，梯子最短需要 m．
19．如图，在中，，于点，，．
求：
(1) 的长；
(2) 的长．
20．在某风景游船处，如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳．后船移动到点D的位置，此时船距离岸边多少m?（结果保留根号）
21．如图，在4×4方格中，每个小正方形的边长都为1．
(1)在图1中，正方形ABCD的面积______，边长AB＝______；
(2)在图2的4×4方格中，画一个面积为10的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上），并用圆规在数轴上表示实数．
22．如图，四边形中，，，，，．
(1)判断是否是直角，并说明理由．
(2)求四边形的面积．
23．已知：整式，，，整式．
(1)当时，写出整式的值______（用科学记数法表示结果）；
(2)求整式；
(3)嘉淇发现：当取正整数时，整式、、满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．
24．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点处缠绕而上．
(1)若绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．
(2)若绕周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．
25．如图，D为边上的一点，，，，，求的长．
26．如图，在中，边上的垂直平分线为与分别交于点D、E，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
27．如图，在四边形中，，．
(1)求的长；
(2)求四边形的面积．
28．如图，在四边形中，，，．则，请说明理由．
29．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点B出发，以每秒4cm的速度沿折线B→A→C→B运动，设运动时间为t秒（）．
(1)若点P在AC上，求出此时线段PC的长（用含t的代数式表示）；
(2)在运动过程中，当t为何值时，△BCP是以PB为底边的等腰三角形．
30．如图，的三个顶点的坐标分别为．
(1)判断的形状，请说明理由．
(2)求的周长和面积．
(3)在x轴上有一点P，使得最小，则的最小值为________．
评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、填空题
评卷人
得分
三、解答题
参考答案：
1．A
【分析】直接根据勾股定理即可得出结论．
【详解】解：∵正方体A的面积为3，正方体B的面积为4，
∴正方体C的面积=3+4=7，
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，是解答此题的关键．
2．B
【分析】设，根据题意，得出，在中，根据，列出方程，解方程即可求解．
【详解】设，
∵，，
∴，
∵是边上的高，
在中，，
即，
解得，
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
3．B
【分析】过点作于点，根据等腰三角形的性质求得，再由勾股定理得．
【详解】解：如图，过点A作于点，
是等腰三角形，，
，
在中，由勾股定理得，
，
即底边上的高为，
故选：．
【点睛】此题考查了等腰三角形和勾股定理，解题的关键是熟知等腰三角形的性质和勾股定理．
4．B
【分析】先根据勾股定理求出AC的长度，再利用垂直平分线的性质得出AD=BD，从而得出的周长为BC+AC，则问题可解．
【详解】

∵直线垂直平分斜边

的周长为
故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理及垂直平分线的性质，掌握勾股定理及垂直平分线的性质是解题的关键．
5．A
【分析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答即可．
【详解】解：∵为直角三角形，
∴根据勾股定理得：，故①正确；
由图可知，，即为小正方形的边长，
∵正方形的面积为
∴，
∴，故②正确；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
即，
∴，故③正确．
∵，
∴，
故④不正确，
∴正确结论有①②③．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键．
6．C
【分析】根据题意，画出图形，连接AC，过点C作CE⊥AB于点E，可得CE=BD=8m，在中，由勾股定理，即可求解．
【详解】解：根据题意，画出图形，如下图：连接AC，过点C作CE⊥AB于点E，
根据题意得：AB=8m，CD=2m，BD=8m，AB⊥BD，CD⊥BD，
则四边形BDCE是矩形，
∴CE=BD=8m，
在中，由勾股定理得：
，
即小鸟至少飞行10m．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．
7．A
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、∵ ，
∴不能够成三角形，故不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B、∵，
∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵，
∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，正确利用勾股定理的逆定理是解题的关键．
8．D
【详解】解：A、，，都不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
B、不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意；
D、，能构成直角三角形，故是勾股数，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查勾股数的定义：满足且a、b、c为整数，则a、b、c为勾股数．
9．A
【分析】先写出各个命题的逆命题，再根据对顶角的概念、平行线的性质、勾股定理的逆定理、等角对等边判断即可．
【详解】解：A、对顶角相等的逆命题是两个相等的角是对顶角，是假命题，符合题意；
B、同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，是真命题，不符合题意；
C、直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的逆命题是一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，这个三角形是直角三角形，是真命题，不符合题意；
D、在一个三角形中如果两边相等那么它们所对的角也相等的逆命题是在一个三角形中如果两角相等那么它们所对的边也相等，是真命题，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，解题的关键是掌握在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
10．A
【分析】设BN＝x，则由折叠的性质可得DN＝AN＝18﹣x，根据中点的定义可得BD＝6，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
【详解】解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝18﹣x，
∵D是BC的中点，
∴BD＝6，
在Rt△NBD中，x2+62＝（18﹣x）2，
解得x＝8．
即BN＝8．
故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，熟悉相关性质是解题的关键．
11．D
【分析】由于直角三角形的斜边不能确定，故应分m为直角边与斜边两种情况进行讨论．
【详解】解：当m为直角边时，，
当m为斜边时，，
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
12．米
【分析】过点作于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可；
【详解】如图，
过点作于点，
∵米，米，米，
∴米，
在中，由勾股定理得到：（米）；
故答案是：米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．
13．3.75
【分析】设这个湖的水深是x尺，则荷花的长为（x+0.5）尺，运用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设这个湖的水深是x尺，则荷花的长为（x+0.5）尺，
根据题意，得，
解得：x=3.75，
∴这个湖的水深是3.75尺．
故答案为：3.75．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，能从实际问题中抽象出数学模型是解答的关键．
14．
【分析】先由OC⊥OB，则利用勾股定理可计算出OB，然后利用画法可得到OB=OC，于是可确定点C对应的数．
【详解】∵AB=4，OA=3，
又OA⊥OB，
在Rt△OBA中，
OB= ，
∴以O为圆心， OB长为半径画弧交数轴于点C，
∴ OB= OC=，
点C对应的数为，
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2，也考查了数轴上的点表示的数．
15．/
【分析】先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，，
，
，，
，
点表示点数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用勾股定理求出的长，属于中考常考题型．
16．
【分析】根据勾股定理可得，从而得到，依次类推，即可得到，找出规律，进而得到S2022的值．
【详解】解：如图所示，△CDE为等腰直角三角形，
则CE=DE，，
∴，
即，
同理可得：，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，解题的关键是根据勾股定理与正方形面积的关键找出规律．
17．64
【分析】根据每次增加的个数，得出变化的规律，依次写出图（5）和图（6）的正方形的个数即可得出答案．
【详解】解：∵由图（1）到图（2）增加了4个正方形，4＝22，
由图（2）到图（3）增加了8个正方形，8＝23，
∴按此规律，由图（3）到图（4）增加了24个正方形，
由图（4）到图（5）增加了25个正方形，
由图（5）到图（6）增加了26个正方形，
∵26＝64．
故答案为：64．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，关键是要能根据每次正方形增加的个数得出变化规律．
18．26
【分析】首先画出圆柱的平面展开图，再利用勾股定理计算出梯子最短长度即可．
【详解】如图所示：
（m），
故答案为：26．
．
【点睛】此题主要考查了平面展开最短路径，关键是掌握勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方．
19．(1)
(2)
【分析】（1）在Rt中，由勾股定理得的长，再根据等面积法即可求出的长；
（2）直接由勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：在Rt中，由勾股定理得，
，
，
，
，
故的长为：12；
（2）解：在Rt中，由勾股定理得，
，
故的长为：9．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
20．此时船距离岸边
【分析】先利用勾股定理求出的长度，然后根据题意求出的长度，进而即可求出的长即得解答．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∵此人以的速度收绳，后船移动到点D的位置，
∴，
∴，
答：此时船距离岸边．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
21．(1)5；
(2)见解析
【分析】（1）结合网格和利用勾股定理即可算出AB的长，正方形ABCD的面积即可求得；
（2）画出边长为3和1的长方形的对角线，对角线长就是，再画一个边长为的正方形即可．
【详解】（1）解：由勾股定理得AB＝，
正方形ABCD的面积＝；
故答案为：5；；
（2）解：如图所示：
．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
22．(1)是直角．理由见解析
(2)234
【分析】（1）连接，根据勾股定理可知，再根据即可得出结论；
（2）根据即可得出结论．
【详解】（1）解：是直角．
理由：连接，
，
，
，
，
是直角三角形，即是直角；
（2）解：，
．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
23．(1)
(2)
(3)正确，理由见解析
【分析】根据题意可得，，把代入计算应用科学记数法表示方法进行计算即可得出答案；
把，，代入中，可得，应用完全平方公式及因式分解的方法进行计算即可得出答案；
先计算，计算可得，应用勾股定理的逆定理即可得出答案．
【详解】（1）解：，
当时，
原式

；
故答案为：；
（2）


；
（3）嘉淇的发现正确，理由如下：


，
，
当取正整数时，整式、、满足一组勾股数．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及逆定理，科学记数法，熟练掌握勾股定理及逆定理，科学记数法的计算方法进行求解是解决本题的关键．
24．(1)25
(2)
【分析】（1）根据题意画出图形，在Rt中，再根据勾股定理求解即可；
（2）在Rt中根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，
在Rt中，，，
（尺）
答：葛藤长为25尺．
故答案为：25；
（2）解：在Rt中，，，
（尺），
答：葛藤长为尺．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平面展开—最短路径问题，能够根据题意画出图形，构造出直角三角形是解决问题的关键．
25．
【分析】首先利用勾股定理逆定理判断是直角三角形，，然后再利用勾股定理计算长即可．
【详解】解：∵，，，且，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∵，，
∴16．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
26．(1)见解析
(2)的长为
【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求解；
（2）设，则，在中，根据，列出方程计算即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵边上的垂直平分线为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
在中，，
∴，
解得： ，
∴的长为．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，注意方程思想的运用．
27．(1)5
(2)36
【分析】（1）根据勾股定理求出的长度，
（2）根据勾股定理的逆定理判断出的形状，然后利用求解即可．
【详解】（1）解：在中，∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积；熟练掌握直角三角形面积的求法，利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形是解题关键．
28．答案见解析
【分析】连接AC，由CD⊥AD，得，再根据AD2+CD2=2AB2，得，由AB=BC，得，即可得答案．
【详解】解：如下图，连接AC，
，
∵CD⊥AD，
∴ ，
∵AD2+CD2=2AB2，
∴，
∵AB=BC，
∴AB2=BC2，
∴，
∴∠ABC=90°．
【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是连接AC，构造直角三角形．
29．(1)
(2)或t＝3
【分析】（1）首先求出AC长度，再表示线段PC长度即可；
（2）分两种情况讨论：P在AB上，P在AC上，根据勾股定理和等腰三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴由勾股定理得AC＝＝8cm，
AB+AC=10+8=18cm
∴PC=18-4t．
∴线段PC的长为（18-4t）cm．
（2）解：当点P在AB边上且PC＝BC时，
过点C做CD⊥AB于点D，则PB＝2BD
∵，
∴
∴，
∴
即，
∴．
当点P在AC边上时，则PC＝BC
即18－4t＝6，
∴t＝3
综合上述，当或t＝3时，△BCP是以PB为底的等腰三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．
30．(1)是直角三角形，理由见解析
(2)周长为，面积为5
(3)
【分析】（1）根据勾股定理，分别求出，再由勾股定理的逆定理，即可求解；
（2）分别求出，，再由三角形的周长公式和面积公式计算，即可求解；
（3）作C关于x轴的对称点，连接交x轴于P，可得最小值即为线段的长度，再由勾股定理求出，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：∵，
∴，，
∴的周长为，
的面积为；
（3）解：作C关于x轴的对称点，连接交x轴于P，如图：
∵C关于x轴的对称点，
∴，
∴，
又两点之间线段最短，
∴最小值即为线段的长度，
而，
∴最小值是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，坐标与图形变换，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．