安徽省合肥三十八中分校2023-2024学年九年级上学期月考数学预测试卷

这是一份安徽省合肥三十八中分校2023-2024学年九年级上学期月考数学预测试卷，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．抛物线y=12(x+1)2−3的顶点坐标是（ ）
A．(1，3)B．(−1，−3)C．(1，−3)D．(−1，3)
2．已知函数y=−12x2+x，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A．x<1B．x>1C．x<−12D．x>−12
3．将抛物线y=−5x2+1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线为（ ）
A．y=−5(x−1)2−1B．y=−5(x−1)2−2
C．y=−5(x+1)2−1D．y=−5(x+1)2+3
4．下列对二次函数y=−x2+2x的图象的描述，正确的是（ ）
A．不经过原点B．对称轴是y轴
C．经过点(m+1，−m2+1)D．在对称轴右侧y随x的增大而增大
5．已知二次函数y=mx2+x−1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是（ ）
A．m>−14B．m≥−14
C．m>−14且m≠0D．m≥−14且m≠0
6．下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（ ）
A．y=x2+1B．y=−x2+1C．y=2x+1D．y=−2x+1
7．若函数y=(m−3)x2−4x+2的图象与x轴只有一个交点，则m的值是（ ）
A．3或5B．3C．4D．5
8．已知二次函数 y=a(x−ℎ)2+k(a≠0) 的图象与一次函数 y=mx+n(m≠0) 的图象交于(x1， y1 )和(x2， y2 )两点，（ ）
A．若 a<0 ， m<0 ，则 x1+x2>2ℎ
B．若 a>0 ， m<0 ，则 x1+x2>2ℎ
C．若 x1+x2>2ℎ ，则 a>0 ， m>0
D．若 x1+x2<2ℎ ，则 a>0 ， m<0
9．若关于x的二次函数y=x2−ax+1，当x≤−2时，y随着x的增大而减小，且关于x的分式方程12−x=2+1−axx−2有正数解，那么所有满足条件的整数a的值有（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
10．新定义：[a，b，c]为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c为实数)的“图象数”，如：y=x2−2x+3的“图象数”为[1，−2，3]，若“图象数”是[m，2m+4，2m+4]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）
A．−2B．14C．−2或2D．2
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11．如图，抛物线y=px2−q与直线y=ax−b交于A(−2，m)，B(4，n)两点，则不等式px2−b>ax−q的解集是 ．
12．已知抛物线y=x2−3x−2023与x轴的一个交点为(a，0)，则代数式a2−3a−2024的值为 ．
13．某抛物线形隧道的最大高度为16米，跨度为40米，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，它对应的表达式为 ．
14．在平面直角坐标系中，关于x的函数y=−x+3a+2和y=x2−ax的图象相交于点P、Q．
①若点P的横坐标为1，则a= ．
②若P、Q两点都在x轴的上方，且a≠0，则实数a的取值范围是 ．
三、计算题（本大题共1小题，共12分）
15．某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x元时(x为正整数)，月销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）每件文具的售价定为多少元时，月销售利润为2520元？
（3）每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
四、解答题（本大题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．已知抛物线的顶点坐标为(−1，−8)，且过点(0，−6)，求抛物线的解析式．
17．如图，这是一个横断面为抛物线形状的拱桥，此时水面宽AB为3米，拱桥最高点C离水面的距离CO也为3米，则当水位上升2米后，求水面的宽度．
18．已知函数y=2x2−(3−k)x+k2−3k−10的图象经过原点，试确定k的值．
19．已知二次函数y=x2+4x+k−1．
（1）若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围；
（2）若抛物线的顶点在x轴上，求k的值．
20．已知二次函数y=12x2+x+4．
（1）确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴方程；
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
21．如图，在一面靠墙(墙足够长)的空地上，用长为24米的篱笆围成中间隔有二道篱笆的距形花圃，设花圃的一边AB为xm，面积为Sm2．
（1）求S与x的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）当x取何值时，所围成的花圃面积最大？最大面积是多少？
22．如图所示，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)经过点A(−1，0)，点B(4，0)，与y轴交于点C，连接AC，BC.点M是线段OB上不与点O、B重合的点，过点M作DM⊥x轴，交抛物线于点D，交BC于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点D作DF⊥BC，垂足为点F.设M点的坐标为M(m，0)，请用含m的代数式表示线段DF的长，并求出当m为何值时DF有最大值，最大值是多少？
23．已知抛物线y=ax2−2x+1(a≠0)的对称轴为直线x=1．
（1）求a的值；
（2）若点M(x1，y1)，N(x2，y2)都在此抛物线上，且−1（3）设直线y=m(m>0)与抛物线y=ax2−2x+1交于点A、B，与抛物线y=3(x−1)2交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解： 抛物线y=12(x+1)2−3的顶点坐标是（-1，-3），
故答案为：B。
【分析】根据抛物线y=12(x+1)2−3求顶点坐标即可。
2．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵函数y=−12x2+x，−12<0，
∴函数图象开口向下，对称轴为直线x=−12×−12=1，
∴函数值y随x的增大而增大时， x的取值范围为x＜1，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出函数图象开口向下，对称轴为直线x=1，再求解即可。
3．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： 将抛物线y=−5x2+1向左平移1个单位， 函数解析式为y=−5x+12+1，再向下平移2个单位，所得的抛物线为y=−5x+12+1−2=−5x+12−1，
故答案为：C.
【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减，求函数解析式即可。
4．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A.当x=0时， 二次函数y=−x2+2x=0+0=0，
∴二次函数 y=−x2+2x的图象经过原点，
∴选项A不符合题意；
B.对称轴为直线x=−2−1=2，
∴选项B不符合题意；
C.当x=m+1时，y=−m+12+2m+1=−m2−2m−1+2m+2=−m2+1，
∴二次函数y=−x2+2x的图象经过点(m+1，−m2+1) ，
∴选项C符合题意；
D.∵二次函数y=−x2+2x，-1＜0，
∴函数图象开口向下，
∴在对称轴右侧y随x的增大而减小，
∴选项D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的图象与性质对每个选项逐一判断求解即可。
5．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数y=mx2+x−1的图象与x轴有两个交点，
∴1−4m×−1>0且m≠0，
解得： m>−14且m≠0 ，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出1−4m×−1>0且m≠0，再计算求解即可。
6．【答案】D
【知识点】一次函数的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、二次函数，二次项系数大于0，所以在对称轴左边y随x的增大而减小，在对称轴右边y随x的增大而增大，所以A不符合题意；
B、二次函数，二次项系数小于0，所以在对称轴右边y随x的增大而减小，在对称轴左边y随x的增大而增大，所以B不符合题意；
C、一次函数，一次项系数大于0，y随x的增大而增大，所以C不符合题意；
D、一次函数，一次项系数小于0，y随x的增大而减小，所以D符合题意；
故答案为：D。
【分析】根据各个函数的性质进行判断，选出正确答案即可；
7．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵函数y=(m−3)x2−4x+2的图象与x轴只有一个交点，
∴m-3=0或−42−4m−3×2=0，
解得：m=3或m=5，
故答案为：A.
【分析】根据函数图象与x轴的交点，求出m-3=0或−42−4m−3×2=0，再计算求解即可。
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：联立 y=a(x−ℎ)2+ky=mx+n ，得 a(x−ℎ)2+k=mx+n ，
化简得： ax2−(2aℎ+m)x+aℎ2+k−n=0 ，
∵二次函数 y=a(x−ℎ)2+k(a≠0) 的图象与一次函数 y=mx+n(m≠0) 的图象交于(x1， y1 )和(x2， y2 )两点，
∴x1，x2 是方程 ax2−(2aℎ+m)x+aℎ2+k−n=0 的解，
由根与系数关系得： x1+x2=−−(2aℎ+m)a=2ℎ+ma ，
A、若 a<0 ， m<0 时，则 ma>0 ，
∴x1+x2=2ℎ+ma>2ℎ ，
故本选项符合题意；
B、 若 a>0 ， m<0 ，则 ma<0 ，
∴x1+x2=2ℎ+ma<2ℎ ，
故本选项不符合题意；
C、若 x1+x2>2ℎ ，则 ma>0 ，
∴a>0 ， m>0 或 a<0 ， m<0 ，
故本选项不符合题意；
D、 若 x1+x2<2ℎ ，则 ma<0 ，
∴a>0 ， m<0 或 a<0 ， m>0 ，
故本选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】联立二次函数与一次函数解析式可得关于x的一元二次方程，由题意可得x1、x2为该方程的解，根据根与系数的关系表示出x1+x2，据此判断.
9．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵12−x−1−axx−2=2
∴1+1﹣ax＝2（2﹣x）
∴（2﹣a）x＝2
∴x=22−a
关于x的分式方程有正数解
∴22−a＞0
∴2﹣ a＞0
∴a＜2
但该分式方程当x＝2时显然是增根，故当a＝1时不符合题意，舍去．
∵二次函数 y=x2−ax+1，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小
∴其对称轴x＝﹣ −a2≥﹣2
∴a≥﹣4
∴﹣4≤a＜2，且a≠1
符合条件的整数a的值有﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0，共5个.
故答案为：B.
【分析】求出分式方程的解，根据分式方程有正数解可得a＜2且a≠1；根据二次函数的性质结合对称轴方程可得a≥-4，则-4≤a＜2且a≠1，据此解答.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；定义新运算
【解析】【解答】解：∵“图象数”是[m，2m+4，2m+4]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴2m+42−4m2m+4=0，
∴−4m2+16=0，
解得：m=2或m=-2，
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根的判别式求出2m+42−4m2m+4=0，再计算求解即可。
11．【答案】-2＜x＜4
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线y=px2−q与直线y=ax−b交于A(−2，m)，B(4，n)两点，
∴由函数图象可得： 不等式px2−b>ax−q的解集是-2＜x＜4，
故答案为：-2＜x＜4.
【分析】观察函数图象，根据点的坐标求解集即可。
12．【答案】-1
【知识点】代数式求值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2−3x−2023与x轴的一个交点为(a，0)，
∴a2−3a−2023=0，
∴a2−3a=2023，
∴a2−3a−2024=2023−2024=−1，
故答案为：-1.
【分析】根据题意先求出a2−3a−2023=0，再求出a2−3a=2023，最后代入计算求解即可。
13．【答案】y=−125(x−20)2+16
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：由函数图象可得：抛物线的顶点坐标为（20，16），
设抛物线的解析式为y=ax−202+16，
将（0，0）代入y=ax−202+16得：a·0−202+16=0，
解得：a=−125，
∴抛物线的解析式为y=−125x−202+16，
故答案为：y=−125x−202+16.
【分析】根据题意先设抛物线的解析式为y=ax−202+16，再利用待定系数法求函数解析式即可。
14．【答案】0；a>0或−23【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：①由题意可得：-1+3a+2=1-a，
解得：a=0，
故答案为：0；
②如图所示：当a＞0时，点P、Q在x轴的上方，
∴当x=a时，y=-x+3a+2=-a+3a+2=2a+2＞0，
解得：a＞-1，
∵a＞0a＞−1，
∴a＞0；
如图所示：当a＜0时，点P、Q在x轴的上方，
当x=0时，y=-x+3a+2=0+3a+2=3a+2＞0，
解得：a>−23，
∴实数a的取值范围是：−23综上所述：实数a的取值范围是： a>0或−23故答案为： a>0或−23【分析】①根据题意先求出-1+3a+2=1-a，再计算求解即可；
②分类讨论，结合函数图象求解即可。
15．【答案】（1）解：根据题意得：y=(30+x−20)(230−10x)=−10x2+130x+2300，
自变量x的取值范围是：0（2）解：当y=2520时，得−10x2+130x+2300=2520，
解得x1=2，x2=11(不合题意，舍去)
当x=2时，30+x=32(元)
答：每件文具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．
（3）解：根据题意得：
y=−10x2+130x+2300
=−10(x−6.5)2+2722.5，
∵a=−10<0，
∴当x=6.5时，y有最大值为2722.5，
∵0∴当x=6时，30+x=36，y=2720(元)，
当x=7时，30+x=37，y=2720(元)，
答：每件文具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）结合题意，利用利润公式求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出 −10x2+130x+2300=2520， 再解方程即可；
（3）先求出y=−10(x−6.5)2+2722.5，再根据二次函数的性质计算求解即可。
16．【答案】解：由题意设函数的解析式是y=a(x+1)2−8．
把(0，−6)代入函数解析式得a−8=−6，
解得：a=2，
则抛物线的解析式是y=2(x+1)2−8．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】结合题意先设函数的解析式是y=a(x+1)2−8，再利用待定系数法求函数解析式即可。
17．【答案】解：如图所示，建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为：y=ax2+3，
∵函数图象过点A(−32，0)，
∴0=a(−32)2+3，
解得：a=−43，
∴抛物线的解析式为：y=−43x2+3，
当y=2时，2=−43x2+3，
解得：x1=32，x2=−32，
∴则水面的宽为32−(−32)=3(米)，
答：水面的宽度是3米．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】先建立平面直角坐标系，再利用待定系数法求出抛物线的解析式为：y=−43x2+3，最后列方程计算求解即可。
18．【答案】解：∵函数y=2x2−(3−k)x+k2−3k−10的图象经过原点，
∴0=2×02−(3−k)×0+k2−3k−10，
∴k2−3k−10=0，
∴(k−5)(k+2)=0，
解得，k1=5，k2=−2，
即k的值是5或−2．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】将（0，0）代入函数解析式求出 0=2×02−(3−k)×0+k2−3k−10， 再解方程求解即可。
19．【答案】（1）解：∵二次函数y=x2+4x+k−1的图象与x轴有两个不同的交点
∴b2−4ac=42−4×1×(k−1)=20−4k>0
∴k<5，
则k的取值范围为k<5；
（2）解：根据题意得：
4ac−b24a=4(k−1)−164×1=0，
解得k=5．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算求解即可；
（2）根据题意先求出 4ac−b24a=4(k−1)−164×1=0， 再求解即可。
20．【答案】（1）解：∵a=12>0，
∴抛物线开口向上，
∵−b2a=−12x(−12)=−1，
∴抛物线的对称轴为直线x=−1，
∵当x=−1时，y=72
∴顶点坐标为(−1，72)；
（2）解：∵抛物线开口向上且对称轴为x=−1，
∴当x<−1时，y随x的增大而减小，
当x≥−1时，y随x的增大而增大．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质计算求解即可；
（2）根据题意先求出当x<−1时，y随x的增大而减小，再求解即可。
21．【答案】（1）解：∵AB=xm，
∴BC=(24−4x)m，
∴S=AB⋅BC=x(24−4x)=−4x2+24x(0（2）S=−4x2+24x=−4(x−3)2+36，
∵0∴当x=3时，S有最大值为36m2．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出BC，再利用矩形的面积公式计算求解即可；
（2）根据题意求出 S=−4x2+24x=−4(x−3)2+36， 再根据0＜x＜6计算求解即可。
22．【答案】（1）解：A(−1，0)，B(4，0)分别代入y=ax2+bx+4(a≠0)得a−b+4=016a+4b+4=0，
解得：a=−1b=3，
∴抛物线的表达式为：y=−x2+3x+4；
（2）把x=0代入y=−x2+3x+4得y=4，
∴C(0，4)，
设BC所在直线解析式为y=kx+b，
把B(4，0)，C(0，4)代入y=kx+b得：
0=4k+b4=b，
解得k=−1b=4，
∴y=−x+4，
设M(m，0)，则D(m，−m2+3m+4)，E(m，−m+4)，
∴DE=−m2+3m+4+m−4=−m2+4m，
∵OB=OC=4，OC⊥OB，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵DM⊥x轴，
∴∠DEF=∠BEM=45°，
又∵DF⊥BC，
∴DF=22DE=22(−m2+4m)=−22(m−2)2+22，
∵−22<0，
∴当m=2时，DF有最大值为22．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出y=-x+4，最后计算求解即可。
23．【答案】（1）解：根据题意可知，
抛物线y=ax2−2x+1(a≠0)的对称轴直线x=−−22a=1a=1，
∴a=1．
（2）由(1)可知，抛物线的解析式为：y=x2−2x+1=(x−1)2，
∵a=1>0，
∴当x>1时，y随x的增大而增大，当x<1时，y随x的增大而减小，抛物线图象开口向上，
∴抛物线上点的横坐标离对称轴越远，对应的点的纵坐标越大，
∵−1∴|x1−1|>|x2−1|，
∴y1>y2．
（3）联立y=m(m>0)与y=x2−2x+1=(x−1)2，
可得交点为(1+m，m)和(1−m，m)，
∴AB=|1+m−1+m|=2m，
联立y=m(m>0)与y=3(x−1)2，
可得交点为(1+m3，m)和(1−m3，m)，
∴CD=|1+m3−1+m3|=233m，
∴ABCD=3．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用对称轴公式计算求解即可；
（2）根据题意先求出当x>1时，y随x的增大而增大，当x<1时，y随x的增大而减小，抛物线图象开口向上， 再比较大小即可；
（3）根据题意先求出AB的值，再求出CD的值，最后计算求解即可。