【期中真题】贵州省黔东南六校联盟2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题（A）.zip

黔东南六校联盟2022～2023学年度第一学期期中联考试卷

高二数学

全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.

4．本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册第一章、第二章.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的．

1. 已知向量，，则的值为（    ）

A.  B. 9 C. －7 D. 7

【答案】D

【解析】

【分析】根据空间向量数量积坐标运算法则进行计算.

【详解】.

故选：D

2. 已知向是，，且，则实数m的值为（    ）

A. 2 B. 4 C. －2或4 D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出，再由垂直向量的坐标表示即可得出答案.

【详解】，由，

得，解得或－2．

故选：C.

3. 直线的倾斜角为（    ）

A.  B.  C.  D. 不存在

【答案】C

【解析】

【分析】根据倾斜角的定义可得结果

【详解】因为直线即直线垂直于轴,根据倾斜角的定义可知该直线的倾斜角为，

故选:C.

4. 在平行六面体中，设，，，M，P分别是，的中点，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据空间向量的基底表示以及线性运算表示向量.

【详解】由题意，，分别是，的中点，如图，

所以.

故选：C

5. 已知直线过点，且在两坐标轴的截距相等，则满足条件的直线有（    ）

A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条

【答案】B

【解析】

【分析】分类讨论截距为零和截距不为零两种情况，列出截距式计算即可.

【详解】分以下两种情况讨论：

①当直线过原点时，设直线的方程为时，，即；

②当直线不过原点时，设直线的方程为时，

则，即.

综上所述，直线共2条．

故选：B.

6. 关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】将问题转化为直线与且有两个交点，数形结合判断存在两个交点对应的m范围即可.

【详解】令且，则且，即圆的上半部分，

只需恒过的直线与且有两个交点即可，

如上图，当与半圆相切时，得，

当过时，，

当过时，，

综上，.

故选：C

7. 已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由时，恒成立，可得函数在区间上单调递增，再根据函数是偶函数，可得函数图象关于直线对称，根据函数的单调性与对称性即可得解.

【详解】解：因为当时，恒成立，

所以函数区间上单调递增，

由于函数是偶函数，故函数图象关于y轴对称，

所以函数图象关于直线对称，

所以，，

由，函数在区间上单调递增，

所以．

故选：B.

8. 在圆幂定理中有一个切割线定理：如图1所示，QR为圆O的切线，R为切点，QCD为割线，则．如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆上的任意一点，过点作直线BT垂直AP于点T，则的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先利用和余弦定理得到，可得，即可求，进而求得，再利用基本不等式即可得到答案

【详解】连接，

在中，因为是的中点，

所以，平方得，

将代入可得，

因为，所以，

所以，

在，，

所以，

当且仅当即时，取等号,

故选：A

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知两条平行直线：和：之间的距离小于，则实数m的值可能为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. －1

【答案】AC

【解析】

【分析】由两条平行直线间距离可求出实数m的取值范围，即可得出答案.

【详解】直线：和：平行，则，

两条平行直线间距离，解得且，

故0和2符合要求.

故选:AC．

10. 已知函数，则下列说法不正确的是（    ）

A. 若的最小正周期是，则

B. 当时，图象的对称中心的坐标都可以表示为

C. 当时，

D. 若在区间上单调递增，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A.根据正切函数最小正周期公式计算即可；对于B.整体代入正切函数的对称中心公式计算即可；对于C.写出函数解析式代入计算即可；对于D.整体代入正切函数的单调区间，求出关于的单增区间，再根据题意列出不等式计算出取值范围.

【详解】当的最小正周期是时，，则，故A选项正确；

当时，，所以令，，解得，，所以函数的对称中心的坐标为，故B选项不正确；

当时， ，，故C选项不正确；

令，，解得，所以函数的单调递增区间为，因为在区间上单调递增，所以，解得，，另一方面，，所以，又因为，所以由，得，由，得，所以的取值范围是，故D选项不正确．

故选:BCD

11. 过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则（    ）

A. 弦AB的长度的最小值为

B. 当弦AB最短时弦所在的直线方程为

C. 弦AB的长度的最小值为

D. 当弦AB最短时弦所在的直线方程为

【答案】CD

【解析】

【分析】根据圆的几何性质、最短弦长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】圆的圆心为，半径为，

，所以在圆内，，

当AB⊥PC时，弦AB最短，

最短弦长，A选项错误，C选项正确.

，所以当最短时，，

此时直线的方程为，B选项错误，D选项正确.

故选：CD

12. 已知正方体的边长为2，E､F､G､H分别为､､､的中点，则下列结论正确的是（    ）

A.  B. 平面

C. 点到平面的距离为2 D. 二面角的大小为

【答案】ABC

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，根据线线垂直、线面平行、点面距离、二面角等知识对选项进行分析，由此确定正确答案.

【详解】建立空间直角坐标系如下图所示，

，

，所以，A选项正确.

，

设平面的法向量为，

则，故可设，，

由于平面，所以平面，B选项正确.

，所以到平面的距离为，C选项正确.

平面的法向量为,

设二面角的平面角为，由图可知，为锐角.

，所以不是，D选项错误.

故选：ABC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 过点作圆的切线，则切线方程为___________．

【答案】或

【解析】

【分析】考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径列出方程，求出切线方程.

【详解】①直线的斜率不存在时满足，

②直线斜率存在时，设切线方程为，则，

所以切线方程为，即．

故答案为：或.

14. 已知圆关于直线（a，b为大于0的数）对称，则的最小值为___________．

【答案】

【解析】

【分析】由题意得直线过圆心，从而得到，利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.

【详解】圆的圆心为，

由题意得：直线过圆心，

所以，又，，

所以．（当且仅当，时，取“＝”）．

故答案为：.

15. 已知，，且，则实数___________．

【答案】－2

【解析】

【分析】根据可以判断，均为实数得出，再根据不等式限制取值范围即可

【详解】由题意知，均为实数，则，即或．又，则，则，故．

故答案为：－2

16. 如图，已知正方体的棱长为4，，，分别是棱，，的中点，设是该正方体表面上的一点，若，则点的轨迹围成图形的面积是______；的最大值为______．

【答案】    ①.     ②. 12

【解析】

【分析】如图，分别取，，的中点，，，连接，可证明六边形为正六边形，从而可求其面积，利用向量数量积的几何意义可求的最大值.

【详解】∵，∴点在平面上，

如图，分别取，，的中点，，，

连接，

因为为中点，故，

又由正方体可得，，

故，故四边形为平行四边形，故，

故，故四点共面，同理可证四点共面，

故五点共面，同理可证四点共面，

故六点共面，由正方体的对称性可得六边形为正六边形.

故点的轨迹是正六边形，

因为正方体的棱长为4，所以正六边形的边长为，

所以点的轨迹围成图形的面积是．

如图，

，

∴的最大值为12．

故答案为：，12．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17. 已知点，，，H是的垂心．

（1）求点C的坐标；

（2）求的外接圆的方程．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，求出直线的方程，联立方程组求出两直线的交点C的坐标；

（2）先得到边和边的中垂线方程，进行联立得圆心坐标，再利用两点距离公式算出半径，即可得到答案

【小问1详解】

因为点，，，H是△ABC的垂心，

所以，所以，

∴直线的方程为即，

又∵，∴所在直线与x轴垂直，故直线BC的方程为，

联立直线与的方程得点的坐标为；

【小问2详解】

边的中垂线方程为，

因为，所以边的中垂线的斜率等于，

因为边的中点为，

故边的中垂线的方程为：，

所以联立两条中垂线得解得，

所以圆心坐标为，半径，

则的外接圆的标准方程为.

18. 如图，在正方体中，E为的中点，F为的中点．

（1）求证：EF//平面ABCD；

（2）求直线DE，BF所成角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）．

【解析】

【分析】（1）根据平行线的传递先证明线线平行，继而证明线面平行；

（2）以D为坐标原点，向量，，方向分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，根据空间角的计算公式计算即可.

【小问1详解】

证明：如图连

∵几何体为正方体，

∴，

∴EF∥BD

∵EF∥BD，平面ABCD，平面ABCD，

∴平面ABCD；

小问2详解】

解：以D为坐标原点，向量，，方向分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系

令，可得点D的坐标为，点E的坐标为，点F的坐标为，点B的坐标为，

，

DE，BF所成角的余弦值为

19. 2022年11月卡塔尔世界杯即将到来，这是世界足球的一场盛宴．为了了解全民对足球的热爱程度，组委会在某场比赛结束后，随机抽取了1000名观众进行对足球“喜爱度”的调查评分，将得到的分数分成6段：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求m的值并估计这1000名观众评分的中位数；

（2）若评分在“90分及以上”确定为“足球发烧友”，现从“足球发烧友”中按区间与两部分按比例分层抽样抽取5人，然后再从中任意选取两人作进一步的访谈，求这两人中至少有1人的评分在区间的概率．

【答案】（1），87.5   

（2）．

【解析】

【分析】（1）根据频率之和为求得，根据中位数的求法求得中位数.

（2）根据分层抽样的知识求得与两部分抽取的人数，然后结合古典概型概率计算公式计算出正确答案.

【小问1详解】

因为，

所以．

设y为观众评分的中位数，

由前三组的概率和为0.375，前四组的概率和为0.625，知，

所以，则；

【小问2详解】

以样本的频率作为概率，评分在“90分及以上”确定为“足球迷发烧友”，

现从“足球速发烧友”中按分层抽样抽取5人，

则从评分在区间的“足球速发烧友”中抽取3人，记为A，B，C，

从评分在区间的“足球速发烧友”中抽取2人，记为a，b．

从5人中选取2人作进一步的访谈的所有事件为：

AB，AC，BC，Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，ab，共10个基本事件，

这两人中至少有1人的评分在区间的基本事件有：

AB，AC，BC，Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，共9个基本事件，

则选取的2人中至少有1人的评分在区上的概率．

20. 如图，在四棱锥中，，，平面平面PAD，E是的中点，F是DC上一点，G是PC上一点，且，.

（1）求证：平面平面PAB；

（2）若，，求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

【分析】（1）从线面垂直的证明入手，证明平面PAB，从而证得平面平面PAB；（2）添加辅助线，找到直线PB与平面ABCD所成的角，再在直角三角形中求其正弦值，也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量法进行求解.

【详解】（1）如图，取的中点M，连接MD，ME，

则，.

又，，所以，，

所以四边形MDFE是平行四边形，所以.

因为，所以.

因平面平面PAD，平面平面，，所以平面PAD.

因为平面PAD，所以.

因为，所以平面PAB，

所以平面PAB.

又平面EFG，所以平面平面PAB.

（2）解法—：过点P作于点H，则平面ABCD，以H为坐标原点，HA所在直线为x轴，过点H且平行于AB的直线为y轴，PH所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

在等腰三角形PAD中，，，因为，所以，解得，则，

所以，，所以.

易知平面ABCD的一个法向量为，

所以，

所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.

解法二：由（1）可知平面PAD，

因为平面PAD，所以.

在直角三角形PAB中，由勾股定理可得.

过点P作于点H，则平面ABCD，连接HB，则是直线PB与平面ABCD所成的角.

在等腰三角形PAD中，，，

因为，所以，解得，在直角三角形PHB中，.

所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.

【点睛】本题考查面面垂直的证明以及直线与平面所成角的正弦值的求解，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属于中档题.

试题要求考生能根据题干中的信息正确分析出图形中点、线、面之间的位置关系，对逻辑推理、直观想象等核心素养要求较高.

21. 已知的内角A，，的对边分别是，，，点是边上的中点，，且的面积为．

（1）求A的大小及的值；

（2）若，求的长．

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理求得A,根据面积求出，根据数量积的定义计算可得答案；

（2）由已知结合（1）的结论求得b,利用余弦定理求得BC的长，在和中分别用余弦定理，即可求得答案.

【小问1详解】

在中，，

由正弦定理得，

可得，又，，                            

，

，解得，                                                 

；

小问2详解】

由已知，由（1）得，，

在中，用余弦定理得，

则，，                                                      

在和中分别用余弦定理，

①+②，由，，得，

即，

解得．

22. 如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为A，B

（1）求直线AB的方程，并写出直线AB所经过的定点的坐标；

（2）求线段AB中点的轨迹方程；

（3）若两条切线与轴分别交于两点，求的最小值.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）把直线看成圆和圆公共弦所在的直线，求出直线方程即可得到定点；

（2）利用几何的知识得到中点的轨迹，根据轨迹求方程即可；

（3）设切线方程，利用圆心到切线的距离为半径得到，，再把表示出来求最小值即可.

【小问1详解】

因为，为圆的切线，所以，所以点在以为直径的圆上，又点在圆上，所以线段AB为圆和圆的公共弦，

因为圆：①，所以，，中点为，

则圆：，整理得②，

②-①得直线AB的方程为，所以，所以直线AB过定点.

【小问2详解】

∵直线AB过定点，AB的中点为直线AB与直线MP的交点，

设AB的中点为点，直线AB过的定点为点，

易知HF始终垂直于FM，所以点的轨迹为以HM为直径的圆，，，

∴点轨迹方程为；

【小问3详解】

设切线方程为，即，

故到直线的距离，即，

设PA，PB的斜率分别为，，则，，

把代入，得，

则，

故当时，取得最小值为．