2022-2023学年湖南省长沙市四校联考高一下学期期末数学试题

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本试卷为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟
注意事项：1. 答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.
3. 考试结束后，将答题卡交回.
第I卷（选择题）
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意）
1. 已知复数，其中是虚数单位，则复数|z|等于（ ）
A. 3B. 2C. 10D.
2. 已知，且三点共线，则（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，若，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 某校有高一年级学生人，高二年级学生人，高三年级学生人，教职工人，学校根据疫情形势和所在地疫情防控政策要求，全校师生按比例分层抽样的方法抽取容量为的样本进行核酸抽测，则应抽取高一年级学生的人数为（ ）
A. B. C. D.
5. 设是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，且与所成的角和与所成的角相等，则
6. 已知某圆锥的侧面积为，该圆锥侧面的展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）．
A. B. C. D.
7. 如图，在正方体中，、分别为棱、中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
8. 对于函数和，设，，若存在，，使得，则称和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（每题有两个或者两个以上正确答案，每题5分，少选得3分，共20分）
9. 在锐角三角形ABC中，A，B，C为三个内角，a，b，c分别为A，B，C所对的三边，则下列结论成立的是（ ）
A. 若，则B. 若，则B的取值范围是
C. D.
10. 一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，2个白球，每次从中随机摸出1个球，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若不放回的摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率为
B. 若不放回的摸球2次，则第一次摸到红球的概率为
C. 若不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为
D. 若有放回的摸球3次，仅有前2次摸到红球的概率为
11. 在正方体中，棱长为1，点为线段上的动点（包含线段端点），则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，平面
B. 当为中点时，四棱锥的外接球表面为
C. 的最小值为
D. 当时，点是的重心
12. 钻石是金刚石精加工而成的产品，是世界上最坚硬的、成分最简单的宝石，它是由碳元素组成的、具有立方结构的天然晶体．如图，已知某钻石形状的几何体由上、下两部分组成，上面为一个正六棱台 （上、下底面均为正六边形，侧面为等腰梯形），下面为一个正六棱锥P-ABCDEF，其中正六棱台的上底面边长为a，下底面边长为2a，且P到平面的距离为3a，则下列说法正确的是（ ）
（台体的体积计算公式：，其中，分别为台体的上、下底面面积，h为台体的高）
A. 若平面平面，则正六棱锥P-ABCDEF的高为
B. 若，则该几何体的表面积为
C. 该几何体存在外接球，且外接球的体积为
D. 若该几何体的上、下两部分体积之比为7：8，则该几何体的体积为
第II卷（非选择题）
三、填空题（共4题，每题5分，共20分）
13. 已知，，若，则的最大值为_________
14. 已知向量，，且在上的投影数量等于，则___________.
15. 已知菱形的边长为2，.将沿折起，使得点至点的位置，得到四面体.当二面角的大小为120°时，四面体的体积为___________；当四面体的体积为1时，以为球心，的长为半径的球面被平面所截得的曲线在内部的长为_______________.
16. 三棱锥中，顶点在底面的射影恰好是内切圆的圆心，若三个侧面的面积分别为12，16，20，底面的最长边长为10，则点到平面的距离为________；三棱锥外接球的直径是________.
四．解答题
17. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若_____________．（请从①；②；③这三个条件中任选一个填入上空）
（1）求角C；
（2）若时，求周长的最大值．
18. 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，，…，后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计本次考试的第50百分位数；
（3）用分层抽样方法在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段内的概率．
19. 如图所示，已知在四棱锥中，底面ABCD是边长为2菱形，，侧棱，，过点A的平面与侧棱PB，PD，PC相交于点E，F，M，且满足：，．
（1）求证：直线平面PAD；
（2）求证：直线平面AEMF；
（3）求平面MDB与平面AEMF所成二面角的正弦值．
20. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，该摩天轮轮盘直径为米，设置有个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面米，匀速转动一周大约需要分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.
（1）经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中），求摩天轮转动一周的解析式；
（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到50米？
（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为米，求的最大值.
21. 平行四边形ABCD中，，，如图甲所示，作于点E，将沿着DE翻折，使点A与点P重合，如图乙所示．
（1）设平面PEB与平面PDC的交线为l，判断l与CD的位置关系，并证明；
（2）当四棱锥的体积最大时，求二面角的正切值；
（3）在（2）的条件下，G、H分别为棱DE，CD上的点，求空间四边形PGHB周长的最小值．
22. 已知区间D，若两个函数和对任意都有（其中，），则称函数是在区间D上的超k倍函数.
（1）已知命题“区间，函数是在区间D上超2倍函数”，试判断该命题的真假.若该命题为真命题，请予以证明；若为假命题，请举反例；
（2）若函数是在上的超k倍函数，求实数k的取值范围；
（3）已知区间，常数，若函数是在区间D上的超4倍函数，求实数c的取值范围.