【期中真题】甘肃省兰州第一中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题.zip

这是一份【期中真题】甘肃省兰州第一中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题.zip，文件包含期中真题甘肃省兰州第一中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题原卷版docx、期中真题甘肃省兰州第一中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
兰州一中2022-2023-1学期期中考试高二数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 数列1,,,，的第n项为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】分别分析底数和指数的变化规律，得到数列通项.【详解】底数构成等差数列，第n项为；指数构成等差数列，第n项为. 所以数列1,,,，的第n项为.故选：D2. 下列说法正确的是（    ）A. 若直线的斜率为，则该直线的倾斜角为B. 直线的倾斜角的取值范围是C. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率D. 直线的倾斜角越大，其斜率就越大【答案】B【解析】【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可逐一判断.【详解】对于A，若斜率为，但倾斜角不是，此时倾斜角为，故A错，对B，直线的倾斜角的取值范围是，当直线与轴重合或者平行时，倾斜角为，故B正确，对于C，当直线垂直于轴时，倾斜角为，但此时直线没有斜率，故C错误，对于D，当直线的倾斜角为锐角时，斜率为正值，但倾斜角为钝角时，斜率为负值，故D错误，故选：B3. 若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ）．A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得，从而可求得实数的取值范围详解】∵表示圆，则，∴，故选：B．4. 记为等比数列的前n项和.若，，则（    ）A.  B. 8 C. 7 D. 【答案】A【解析】【分析】利用等比数列前n项和的性质求解.【详解】∵为等比数列的前n项和，∴，，，成等比数列∴，∴，.∴，.故选：A5. 若两条平行直线与之间的距离是，则（    ）A. 0 B. 1 C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由两直线平行求得参数，再由距离求出后即得．【详解】由题意两直线平行，则，，又，而，所以．所以．故选：A．6. 已知数列满足，且，则（    ）A. -3 B. 3 C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据条件得到，从而得到数列是等差数列，且公差为2．利用等差数列的性质及对数运算法则计算出结果.【详解】∵，∴，即，∴数列是等差数列，且公差为2．∵，∴，解得：.∴．故选：A．7. 直线分别交轴和于点，为直线上一点，则的最大值是（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】【分析】先求得两点的坐标，求得关于对称点的坐标，根据三点共线求得的最大值.【详解】依题意可知，关于直线的对称点为，，即求的最大值，，当三点共线，即与原点重合时，取得最大值为，也即的最大值是.故选：A8. 4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；6，7．将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为（    ）A. 288 B. 336 C. 368 D. 412【答案】B【解析】【分析】由已知，可根据题意，分成当四位数不出现1时、当四位数出现一个1时、当四位数出现两个1时三种情况，分别列式求解即可.【详解】当四位数不出现1时，排法有：种；当四位数出现一个1时，排法有：种；当四位数出现两个1时，排法有：种；所以不同的四位数的个数共有：．故选：B．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的是（    ）A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2B. 点关于直线的对称点为C. 过，两点的直线方程为D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为【答案】AB【解析】【分析】对选项A，分别令和，求出直线与坐标轴交点，再结合面积公式判断即可；对选项B，求出对称点坐标即可判断；对选项C特殊情况不成立；对选项D，缺少过原点直线．【详解】A．令得，令得，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积，正确；B．设关于直线对称点坐标为，则，解得，正确；C．两点式使用的前提是，错误；D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线还有过原点的直线，错误．故选：AB．10. 将甲､乙､丙､丁4名志愿者分别安排到三个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，则下列选项正确的是（    ）A. 共有18种安排方法B. 若甲､乙被安排在同社区，则有6种安排方法C. 若社区需要两名志愿者，则有24种安排方法D. 若甲被安排在社区，则有12种安排方法【答案】BD【解析】【分析】A选项，先分组再分配，求出安排方法；B选项，先安排甲和乙，再把剩余两个社区和两名志愿者进行全排列即可；C选项，先安排A社区，再把剩余两个社区和两名志愿者进行全排列即可；D选项，分两种情况，A社区安排了两名志愿者和A社区只安排了甲志愿者，求出两种情况下的安排方法，再相加即可.【详解】对于：4名志愿者先分为3组，再分配到3个社区，所以安排方法为：，错误；对于：甲､乙被安排在同社区，先从3个社区中选1个安排甲与乙，剩余两个社区和剩余两名志愿者进行全排列，所以安排方法为：，正确；对于：A社区需要两名志愿者，所以先从4名志愿者中选择2名安排到A社区，再把剩余2名志愿者和2个社区进行全排列，所以安排方法为错误；对于D：甲安排在社区，分为两种情况，第一种为A社区安排了两名志愿者，所以从剩余3名志愿者中选择一个，分到A社区，再把剩余2名志愿者和2个社区进行全排列，安排方法有种；第二种是A社区只安排了甲志愿者，此时剩余3名志愿者分为两组，再分配到剩余的两个社区中，此时安排方法有种；所以一共有安排方法为正确.故选：.11. 已知过点的直线与圆交于A，B两点，O为坐标原点，则（    ）A. 的最大值为4B. 的最小值为2C. 点到直线的距离的最大值为D. 的面积为【答案】AC【解析】【分析】求得圆的圆心坐标为，半径为，结合圆的性质和圆的弦长公式，三角形面积公式，即可求解.【详解】解：由题意，圆的圆心坐标为，半径为，又由点在圆内部，因为过点的直线与圆交于两点，所以的最大值为，所以A正确；因为，当直线与垂直时，此时弦取得最小值，最小值为，所以B错误；当直线与垂直时，点到直线的距离有最大值，且最大值为，所以C正确；由，可得，即，所以的面积为，所以D错误.故选：AC.12. 记为等差数列的前n项和，公差为d，若，则以下结论一定正确的是（    ）A.  B.  C.  D. 取得最大值时，【答案】AB【解析】【分析】对于A BC，根据等差数列的通项公式及前n项和公式化简求解；对于D，根据等差数列的通项公式及各项正负判断.【详解】由，得即，又，所以，选项A正确；由； ，得，选项B正确；由，得，又，所以，选项C错误；，令，得，解得，又，所以，即数列满足：当时， ，当时， ，所以取得最大值时，，选项D错误．故选：AB．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知一直线的倾斜角为，且，则该直线的斜率的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由倾斜角和斜率的关系进行求解.【详解】因为直线的倾斜角为，且，当时，；当时，；即该直线的斜率的取值范围是.故答案为：.14. 已知数列的通项公式为，，则其前项的和为______.【答案】【解析】【分析】利用分组求和直接计算.【详解】由，当时，，当时，，所以，故答案为：.15. 已知一束光线从点射出，经y轴反射后，反射光线所在直线与直线垂直，则反射光线所在直线l的方程为_________．【答案】【解析】【分析】根据反射的性质，结合互相垂直的直线的性质进行求解即可.【详解】因为反射光线所在直线与直线垂直，所以可设反射光线所在直线方程为：，点关于y轴对称的点的坐标为，显然点在直线上，所以，即，故答案为：16. 朱载堉（1536-1611）是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为，第七个音的频率为，则______．【答案】【解析】【分析】将每个音的频率看作等比数列，利用等比数列知识可求得结果.【详解】由题知：一个八度13个音，且相邻两个音之间的频率之比相等，可以将每个音的频率看作等比数列，一共13项，且，最后一个音是最初那个音的频率的2倍，，，，．故答案为：【点睛】关键点点睛：构造等比数列求解是解题关键.四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知三个顶点坐标分别为，，．（1）试判断的形状；（2）求中的角B的角平分线所在直线的一般方程．【答案】（1）是以为直角的等腰直角三角形    （2）【解析】【分析】（1）根据斜率公式与两点间的距离公式求出，，，，即可判断；（2）由（1）可得角的角平分线即为边上的中线，求出、的中点的坐标，再根据斜率公式求出，最后由点斜式求出直线方程，再化为一般式即可.【小问1详解】解：因为，，，所以的斜率，，的斜率，，则，所以且，所以是以为直角的等腰直角三角形；【小问2详解】解：由（1）知是以为直角的等腰直角三角形，所以角的角平分线即为边上的中线，易求中点坐标，所以直线的斜率，故角的角平分线为，化为一般式为．18. 高三毕业时，甲乙丙丁四名同学找班主任老师站成一排拍照.（1）若甲乙必须站一起，则共有多少种不同的排法？（2）若最左端只能站甲或乙，且最右端不能站甲，则共有多少种不同的排法？（3）求班主任老师必须站正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻的排法？【答案】（1）48；    （2）42；    （3）16.【解析】【分析】（1）运用捆绑法进行求解即可；（2）运用分类计数原理，结合排列的定义进行求解即可；（3）先对乙、丙进行排列，再对剩下二个同学进行排列即可.【小问1详解】甲乙站一起共有不同的排法数为；【小问2详解】当最左端站甲时，不同的排法数为，当最左端站乙时，因为最右端不能站甲，所以不同的排法数为，因此最左端只能站甲或乙，且最右端不能站甲，共有不同的排法数为；【小问3详解】因为班主任老师必须站正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，所以乙、丙两位同学在教师的两侧，因此不同的排法数为.19. 已知数列满足（，且），且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】(1)由 可知是公比为2的等比数列，再由成等差数列求出，即可得数列通项.(2) ，利用分组求和法求数列的前n项和.【小问1详解】在数列中，由得，而，则数列是公比为2的等比数列，因成等差数列，即，有，解得，所以数列的通项公式为【小问2详解】由（1）得=20. 已知圆过直线与的交点，圆心为点.（1）求圆标准方程；（2）若直线：始终平分圆的周长，求的最小值.【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）先联立直线方程，求出交点坐标，从而计算出半径，写出圆的标准方程；（2）直线经过圆的圆心，求出，再用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【小问1详解】，解得：，所以圆过点，则圆的半径为，所以圆的标准方程为；【小问2详解】由题意得：直线：经过圆圆心，将其代入，，因为，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.21. 设数列的前n项和为，若．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）根据及等比数列的定义即可求得答案；（2）由错位相减法即可求得答案.【小问1详解】因为．所以，解得．当时，，所以，所以，即．因为也满足上式，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以．【小问2详解】由（1）知，所以，所以…①…②①-②得，所以．22. 圆C：．（1）若圆C与y轴相切，求圆C的方程；（2）已知，圆C与x轴相交于两点M、N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条直线与圆O：相交于两点A、B问：是否存在实数a，使得？若存在，请说明理由．【答案】（1）或．    （2）存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）由判别式即可求解.（2）联立直线AB与圆的方程，利用韦达定理，结合，即可求得结果.【小问1详解】由得，因圆与轴相切，所以，解得或4，故所求圆C的方程为或．【小问2详解】令得，解得或，而，即，．假设存在实数a，设，，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为，由得，根据韦达定理有， 又，即NA、NB的斜率互为相反数，，即，即所以，解得.当直线AB与x轴垂直时，仍然满足，即NA、NB的斜率互为相反数．综上所述，存在，使得．【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．