【期中真题】广东省中山市纪念中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题.zip

2021—2022 学年度纪念中学高二上期中考

数学科试卷

一．选择题（共8小题）

1. 抛物线上一点到其焦点的距离为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】结合已知条件，利用抛物线定义即可求解.

【详解】因为，即，

所以的准线为，

由抛物线定义可知，到其焦点的距离.

故选：A.

2. 已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的一般式方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据条件求出直线的斜率，然后可得答案.

【详解】因为直线的斜率为2

所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即

故选：A

3. 已知等差数列中，，则数列的前11项和等于（　　）

A. 66 B. 55 C. 44 D. 33

【答案】D

【解析】

【分析】结合已知条件，利用等差中项性质和等差数列的前项和公式即可求解.

【详解】因为，

所以.

故选：D．

4. 若椭圆和双曲线有相同的焦点P是两条曲线的一个交点，则的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由椭圆及双曲线的定义可得，解得、后即可得解.

【详解】不妨设，

由椭圆与双曲线的定义可得：，所以，

所以.

故选：A.

5. 已知复数，则下列结论正确的是（    ）

A. z在复平面对应的点位于第三象限 B.

C. z的虚部是 D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的运算法则，可得，结合复数的几何意义，复数的模、复数的概念及共轭复数的概念，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，复数，

可得复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限，所以A错误；

又由，所以B正确；

由复数基本概念，可得复数的虚部为，所以C错误；

由共轭复数的概念，可得，所以D错误.

故选：B.

6. 圆与直线的位置关系为（    ）

A. 相离 B. 相切

C. 相交 D. 以上都有可能

【答案】C

【解析】

【分析】确定圆心和半径，直线过定点，计算，得到关系.

【详解】，即，圆心，半径.

，当时，，即直线过定点，

，点在圆内，故直线与圆相交.

故选：C.

7. 若正四棱柱的底边长为2，，E是的中点，则到平面EAC的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用线面平行的判定定理证明∥平面EAC，则点到平面EAC的距离即为直线到平面EAC的距离，建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面AEC的法向量，由点到直线的距离公式求解即可．

【详解】解：由棱柱的几何性质可知，∥AC，

又⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，

则∥平面EAC，

所以点到平面EAC的距离即为直线到平面EAC的距离，

因为正四棱柱的底边长为2，，

则，

以点A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，

则A（0，0，0），，，，

所以，，，

设平面AEC的法向量为，

则，即，

令，则，，

故，

所以点到平面EAC的距离，

故到平面EAC的距离为．

故选：C．

8. 已知双曲线E:（a＞0,b＞0）与抛物线C:有共同的焦点,过E的左焦点且与曲线C相切的直线恰与E的一条渐近线平行,则E的离心率为（   ）．

A.  B.  C. 3 D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】根据双曲线和抛物线的焦点重合,建立双曲线和抛物线基本量之间的关系,再通过过双曲线左焦点且与一条渐近线平行的直线与抛物线相切,设直线联立抛物线方程,判别式等于零,建立等式,求出双曲线离心率.

【详解】解:抛物线的焦点,

双曲线的右焦点为,

由题意可得,,

双曲线的渐近线方程为,不妨取,

设过左焦点的直线方程为

联立,得,

由题意,,

可得,取,

又直线与平行,

,可得双曲线的离心率,

所以离心率为.

故选:B．

二．多选题（共4小题）

9. 下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ）

A. 若非零向量，，满足，，则有

B. 任意向量，，满足

C. 若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面

D. 已知向量，，若，则为锐角

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据共线向量的性质、共面向量定义、空间夹角的计算公式逐一判断即可.

【详解】A：因为，，是非零向量，所以由，，可得，因此本选项说法正确；

B：因为向量， 不一定是共线向量，因此不一定成立，所以本选项说法不正确；

C：因为，，是空间的一组基底，

所以三点不共线，又因为，

所以A，B，C，D四点共面，因此本选项说法正确；

D：，当时，

，若向量，同向，则有，

所以有，而，所以向量，不能同向，因此为锐角，故本选说法正确，

故选：ACD

10. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，以下命题正确的是（　　）

A. 的最大值为12

B. 数列是公差为的等差数列

C. 是4的倍数

D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据已知结合等差数列的通项公式和前项和公式及性质分析各选项即可判断．

【详解】设等差数列的首项为，则由，得

，解得,

所以等差数列的通项公式为

，故C正确；

等差数列的前项和为

由二次函数的性质知，当取与最接近的整数即或时，取最大值为

，故A正确；

，故D不正确；

，所以是关于的一次函数，

即数列是公差为的等差数列，故B正确

故选：ABC．

11. 下列说法正确的是（    ）

A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角

B. 不经过原点的直线都可以用方程表示

C. 直线，，则与直线与距离相等的直线方程为

D. 已知圆，圆心为，为直线上一动点，过点向圆引两条切线和，、为切点，则四边形的面积的最小值为

【答案】AC

【解析】

【分析】根据直线性质知A正确，当直线倾斜角为或时，B错误，根据平行和直线过中点得到C正确，计算，的最小值为，得到面积最小值，D错误，得到答案.

【详解】坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角，A正确；

当直线倾斜角为或时，不能用表示，B错误；

设直线方程为，取上一点，取上一点，则两点中点为，代入直线方程得到，即，C正确；

，即，圆心，半径，

，故最小时面积最小，

的最小值为，故面积的最小值为，D错误.

故选：AC.

12. 已知两点，若直线上存在点P，使得，则称该直线为“点定差直线”下列直线中，是“点定差直线”的有（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据双曲线的定义，得的双曲线的方程为，转化为点既在双曲线的右支上，又在直线上，即直线与双曲线有公共点，结合双曲线的渐近线方程和选项，即可求解.

【详解】由题意，两点，若直线上存在点P，使得，

所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，

其中焦点坐标为，则，

又由，则，所以，

所以双曲线的方程为，

由题意点既在双曲线的右支上，又在直线上，即直线与双曲线有公共点，

因为双曲线的渐近线方程为，

对于A中，由，所以直线与双曲线的右支有交点，符合题意；

对于B中，直线与双曲线的右支只有一个公共点，符合题意；

对于C中，直线与双曲线的右支没有公共点，不符合题意；

对于D中，直线与双曲线的右支只有一个公共点，符合题意.

故选：ABD

三．填空题（共4小题）

13. 圆关于直线对称的圆的方程是___________.

【答案】

【解析】

【分析】先求出已知圆的圆心关于直线的对称点，进而求出所求圆的方程.

【详解】设圆心关于直线对称点为，则，线段PQ的中点为，于是，则圆Q的方程为：.

故答案为：.

14. 已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若，则_______．

【答案】

【解析】

【分析】若与轴垂直，则，不符合题意，所以可设所求直线的方程为．与抛物线方程联立可得，由根与系数的关系，焦点弦公式即可求解

【详解】易知抛物线的焦点坐标为，

若与轴垂直，则，不符合题意，

则可设所求直线的方程为．

由，可得，

由根与系数关系，可得．

又AB过焦点，可知，

则，解得．

故答案为：

15. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________．

【答案】

【解析】

【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到直线的距离．

【详解】

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则

点到直线的距离：

．

点到直线的距离为．

故答案为：．

16. 已知数列的通项公式，若数列为递增数列，则实数的取值范围是__________

【答案】

【解析】

【分析】结合已知条件，利用数列的单调性即可求解.

【详解】因为数列为递增数列，

所以对恒成立，

化简整理得，对恒成立，

因为当时，有最小值，即，

所以，

故实数的取值范围是.

故答案为：.

四．解答题（共7小题）

17. 已知抛物线C：，直线l过抛物线焦点F，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点M的纵坐标为1.

（1）求直线l的方程；

（2）求（O为坐标原点）的面积.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设出直线方程，与抛物线联立，根据中点纵坐标即可建立关系求解；

（2）利用弦长公式求出，再求出点到直线距离，即可求出面积.

【小问1详解】

由题可得，易知直线斜率不为0，可设直线方程为，

联立方程组，可得，

设，则，

则，解得，

所以直线方程为，即；

【小问2详解】

因为，

点到直线的距离为，

所以.

18. 如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，是的中点，在上，且.

（1）用表示；

（2）求向量与向量所成角的余弦值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）由向量的线性运算即可得到结果；

（2）由向量的数量积公式即可算出夹角的余弦值.

【详解】解：（1）因为是的中点，在上，且，所以，，

于是

（2）由（1）知

，

，，所以.

19. 已知圆.

（1）过点向圆引切线，求切线的方程；

（2）记圆与、轴的正半轴分别交于，两点，动点满足，问：动点的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由.

【答案】（1）或.   

（2）有两个公共点，

【解析】

【分析】（1）切线斜率不存在，方程为符合题意，当斜率存在时，设切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求得的值即可求解.

（2）求出，两点坐标，再由两点间距离公式可得点的轨迹方程，由圆心距与半径之和、半径之差的关系可判断两圆是否有两个公共点，两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，由圆心到直线的距离以及半径，由几何法可得公共弦长.

【小问1详解】

由圆可得圆心，半径为，

若切线斜率不存在，则方程为与圆相切，所以符合题意；  

若斜率存在，设方程为，即，

则圆心到切线的距离，解得：，

切线方程为即，

综上所述：切线方程为或.

【小问2详解】

因为圆，所以，，

设，由可得：，

化简得：，即，

所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，   

所以圆心距，

因为，所以两圆有两个公共点，      

由两圆方程相减得公共弦所在直线方程为，

圆心到直线的距离，

所以公共弦长为.

20. 数列的前项和为，若，点在直线上．

（1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

【答案】（1）证明见解析，   

（2）

【解析】

【分析】(1)将点代入直线并化简即可证明；利用等差数列的通项公式求出的通项公式，然后利用与之间的关系即可求解；(2)结合(1)中结论，通过分析的符号即可求解.

【小问1详解】

因为点在直线上，

所以，

从而，

因为，

所以数列是首项为，公差为2的等差数列；

故，即    ①，

当时，    ②，

由①②相减可得，，

当时，也满足题意，

故的通项公式为：.

【小问2详解】

因为，

所以，

当时，；当时，，

由(1)中结论可知，当时，；

当时，，

从而

21. 三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC＝90°，AB＝BC＝BB1＝2，M，N分别是AB，A1C的中点．

（1）求证：MN∥平面BCC1B1；

（2）求证：MN⊥平面A1B1C；

（3）求平面MB1C和平面B1CA1的夹角的余弦值．

【答案】（1）证明过程见详解   

（2）证明过程见详解    （3）

【解析】

【分析】(1)证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线的平行寻找与论证往往需要利用平面几何知识，如本题就是利用中位线定理得；

(2)利用空间向量证明线面垂直，实际就是以算代证，即先求平面的一个法向量，再利用与法向量关系求证；

(3)求二面角的大小，一般利用空间向量的数量积求解，先建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面的法向量，利用向量数量积求法向量的夹角余弦值，最后根据二面角与法向量夹角之间关系求值.

【小问1详解】

证明：连接BC1，AC1，

在△ABC1中，因为M，N分别是AB，A1C的中点，则MN∥BC1，

又MN⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，

所以MN∥平面BCC1B1；

【小问2详解】

证明：以点B1为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，

则B1（0，0，0），C（0，2，2），A1（﹣2，0，0），M（﹣1，0，2），N（﹣1，1，1），

所以，，，

则，，

所以MN⊥B1C，MN⊥A1B1，

又B1C∩A1B1＝B1，又因为B1C，A1B1⊂平面A1B1C，

故MN⊥平面A1B1C；

【小问3详解】

解：设平面B1CM的法向量为，

因为，

所以，

令x＝2，则z＝1，y＝﹣1，

则，

由（2）可知，是平面A1B1C的法向量，

故．

由图可知，二面角M﹣B1C﹣A1的平面角是锐角，

故二面角M﹣B1C﹣A1的余弦值是．

【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：

(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．

(2)设分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．

22. 已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，两焦点与短轴两顶点围成的四边形的面积为4．

（1）若P为椭圆C上一点，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积；

（2）我们称圆心在椭圆C上运动，半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”，过原点O作椭圆C的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C于A，B两点，若直线OA，OB的斜率存在，记为k1，k2．

①求证：k1k2为定值；

②试问|OA|2+|OB|2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【答案】（1）   

（2）①证明见解析；②是定值，8．

【解析】

【分析】（1）先由条件求出椭圆的标准方程，再由椭圆的定义、余弦定理与面积公式求解

（2）设圆心坐标，由直线与圆的位置关系列方程，由韦达定理得出

联立直线与椭圆方程，得出坐标后，计算后由关系化简

【小问1详解】

由题意可得，解得：a2＝6，b2＝2，c＝2，

所以椭圆C的方程为：1；

则可得由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a＝2，

|F1F2|＝2c＝2×2＝4，

由余弦定理可得cos∠F1PF2，

因为∠F1PF2＝60°，所以，

解得：|PF1||PF2|，

所以S|PF1||PF2|sin60°；

【小问2详解】

①证明：直线OA，OB的方程为y＝k1x，y＝k2x，设椭圆C的“卫星椭圆”的圆心（x0，y0），

因为直线OA，OB是圆的切线，所以，

化简可得（2x02﹣3）k12﹣4k1x0y0+2y02﹣3＝0，（2x02﹣3）k22﹣4k2x0y0+2y02﹣3＝0，

所以k1，k2是（2x02﹣3）k2﹣4kx0y0+2y02﹣3＝0的两个根，

所以k1k2，

因为（x0，y0）在椭圆上，所以1，

所以k1k2，

可证得：k1k2为定值；

②设A（x1，y1），B（x2，y2），

，

解得x12，x22，

所以|OA|2+|OB|2＝（1+k12）（1+k22），

因为k1k2，

所以k22，

所以|OA|2+|OB|28，

可证得|OA|2+|OB|2是定值，且为8．

附加题：

23. 如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、，设是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、．设、分别为、的内切圆半径，求的最大值．

【答案】

【解析】

【分析】联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理利用等面积法得到内切圆半径的表达式，据此得到的表达式，然后利用基本不等式求最值即可．

【详解】解：设，直线方程为，

将其代入椭圆的方程可得，

整理可得，

则，得，，

故．

当时，直线的方程为，

将其代入椭圆方程并整理可得，

同理，可得，

因为，，

所以

，

当且仅当，时，等号成立．

当轴时，易知，，，

此时，

综上，的最大值为．