2022-2023学年广东省深圳市翠园中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省深圳市翠园中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由交集定义可直接得到结果.

【详解】由交集定义得：.

故选：B.

2．已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上的对应点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】利用复数除法运算和复数几何意义可求得对应点的坐标，由此可得结果.

【详解】，对应的点为，位于第三象限.

故选：C.

3．已知向量，，且，则实数等于（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】A

【分析】根据空间向量垂直的坐标运算得到方程，解之即可求出结果.

【详解】，得.

故选：A.

4．过点且方向向量为的直线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程；

【详解】解：因为直线的方向向量为，所以直线的斜率，又函数过点，所以直线方程为，即；

故选：B

5．若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据不等式的性质依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，，，又，，A错误；

对于B，，，又，，B错误；

对于C，，，又，，C错误；

对于D，，，，D正确.

故选：D.

6．已知函数的部分图象如图，则（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】B

【分析】根据余弦型函数的图象、五点法求函数解析式，再将代入求值.

【详解】由题图：，且，则，可得，

则，且，

所以，，则，，不妨令，

则，故．

故选：B

7．如图，四边形ABCD为平行四边形，，，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】选取、为基底，利用向量的减法得到，再利用向量的加法与数乘将化为，根据向量、不共线可得，.

【详解】选取、为基底，则，

由知，，所以.

由向量加法法则可得，，，

又，

所以，

又向量，不共线，所以.

故选：D.

8．已知函数若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据分段函数每一段的单调性及端点值判断函数在定义域内的单调性，再利用单调性解抽象不等式即可.

【详解】因为，当时单调递减，且，

当时，单调递减，且，

所以函数在定义域上单调递减，因为，

所以，解得，即实数的取值范围为：.

故选：A.

二、多选题

9．一组数据6，7，8，a，12的平均数为8，则此组数据的（    ）

A．众数为8 B．极差为6 C．中位数为8 D．方差为

【答案】BD

【分析】利用平均数公式可求，然后逐项分析即得.

【详解】由题可得，

∴，

∴此组数据众数为7，极差为，中位数为7，

方差为.

故选：BD.

10．若，，与的夹角为120°，则的值为（    ）

A． B．17 C．1 D．

【答案】BD

【分析】由空间向量夹角的坐标表示求解

【详解】由题意得

解得或

故选：BD

11．设圆：，点，若圆上存在两点到的距离为2，则的可能取值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】BCD

【分析】将问题转化为以为圆心，为半径的圆与圆相交问题，再根据圆与圆的位置关系求解即可得答案.

【详解】根据题意设以为圆心，2为半径的圆为圆，

所以圆：，圆心为，半径为，则两圆圆心距为：，

因为圆上存在两点到的距离为2，所以圆与圆相交，

所以，解得：.

又，所以的可能取值为4,5,6

故选：BCD

12．如图所示，长方体的底面是边长为1的正方形，长方体的高为2，､分别在､上，且，.则下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．异面直线与所成角的余弦值为

D．二面角的正切值为

【答案】BCD

【分析】以为x、y、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，对于A：利用，即可判断；对于B：利用，即可判断；对于C：直接利用向量法求异面直线与所成的角；对于D：直接利用向量法求二面角的平面角余弦值，再求正切值.

【详解】以为x、y、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，，则，，，，，.

因为，所以不正确，即A不正确；

因为，且与不在同一条直线上，所以，即B正确；

因为，故C正确；

，，令平面的一个法向量为，

则，不妨取，则，

又平面的一个法向量，

显然二面角的平面角为锐角，设为

所以，

所以，则，∴D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．经过点和的直线的斜率为___________.

【答案】

【分析】由斜率公式计算．

【详解】由已知所求直线斜率为．

故答案为：．

14．若向量，的夹角为120°，，则|___________.

【答案】

【分析】将平方，利用向量数量积的定义即可求解.

【详解】∵，

∴.

故答案为：

15．已知函数，且，则________．

【答案】11

【分析】由题，即，根据正弦函数的奇偶性代值求解.

【详解】由题知，所以，

从而.

故答案为：11

16．有平面点集D和实数集R，若按照某对应法则f，使得D中每一点都有唯一的实数z与之对应，则称f为在D上的二元函数，且称D为f的定义域，P对应的值z为f在点P的函数值，记作.若二元函数，其中，，则二元函数的最小值为___________.

【答案】7

【分析】设，，，根据平面到两点距离之和的最小值的结论，确定线段与线段相交，交点即为最小值点．

【详解】设，，，，则，∵线段与y轴交点为，在线段上，

∴，，∴（到时取得最小值）．

故答案为：7．

四、解答题

17．已知的内角、、的对边分别为、、，且满足.

（1）求；

（2）若，，求.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）本题首先可根据正弦定理边角互换得出，然后根据得出，最后根据即可得出结果；

（2）本题可通过余弦定理得出结果.

【详解】（1）由正弦定理易知，即，

因为，所以，，，

因为，所以.

（2）由余弦定理易知，，

则，解得.

18．已知函数.

(1)求的最小正周期及最大值；

(2)讨论在上的单调性.

【答案】(1)，

(2)时，函数单调递增，时，函数单调递减.

【分析】（1）化简得到，根据周期公式和最值公式计算得到答案.

（2）确定，根据正弦函数的单调性计算得到答案.

【详解】（1），故最小正周期为，

当，即时，函数有最大值为.

（2）当时，，

当，即时，函数单调递增；

当，即时，函数单调递减.

综上所述：时，函数单调递增，时，函数单调递减.

19．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，，分别是，的中点.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

【答案】(1)见解析;(2).

【详解】分析：依题意可知两两垂直，以点为原点建立空间直角坐标系，

（1）利用直线的方向向量和平面的法向量垂直，即可证得线面平面；

（2）求出两个平面的法向量，利用两个向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值.

详解：依条件可知、、两两垂直，

如图，以点为原点建立空间直角坐标系.

根据条件容易求出如下各点坐标：，，，，，，，.

（Ⅰ）证明：∵，，

是平面的一个法向量，且，

所以.

又∵平面，∴平面；

（Ⅱ）设是平面的法向量，

因为，，

由，得.

解得平面的一个法向量，

由已知，平面的一个法向量为，

，

∴二面角的余弦值是.

点睛：本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

20．对同时从五个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取件样品进行检测．

(1)求抽出的件商品中，来自各地区的数量；

(2)在三个地区被抽检的几件样品中，再随机取件，做进一步检测，求这件商品来自相同地区的概率．

【答案】(1)来自地区的有件，地区的有件，地区的有件

(2)

【分析】（1）根据分层抽样原则直接计算即可得到结果；

（2）列举出所有可能的基本事件，并确定满足题意的基本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果.

【详解】（1）根据分层抽样原则知：抽取的件商品中，来自地区的有件；来自地区的有件；来自地区的有件；

来自地区的有件，地区的有件，地区的有件.

（2）记地区的两件样品为，地区的样品为，地区的样品为，

则从中随机取件，所有可能的结果为，，，，，，，，，，，，，，，共个；

其中件样品来自同一地区的有：，，，，共个；

所求概率.

21．已知两圆,，直线，

（1）当圆与圆相交且公共弦长为4时，求r的值；

（2）当r =1时，求经过圆与圆的交点且和直线l相切的圆的方程．

【答案】（1）3；(2)

【分析】（1）根据圆的方程得两圆的相交弦的方程，再由圆与圆相交且公共弦长为4，得到相交弦过圆心，代入即可求解.

（2）设过圆与圆的圆系方程为，根据由圆心到直线的距离等于圆的半径，求得，即可得到圆的方程.

【详解】（1）由题意，圆，则圆心坐标，半径为，

又由圆，可得，

两式相减可得相交弦的方程，

因为圆与圆相交且公共弦长为4，此时相交弦过圆心，

即，解得；

（2）设过圆与圆的圆系方程为

即，

所以，

又由圆心到直线的距离等于圆的半径，可得，

解得，故所求圆的方程为.

【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的位置关系和直线与圆的位置关系，得出相交弦的方程和利用点到直线的距离公式，合理列出方程求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

22．如图①，在中，，，，垂足为，是的中点，现将沿折成直二面角，如图②.

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）线段上是否有一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）存在，位于线段上靠近点的三等份点.

【分析】（1）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得，，利用空间向量夹角公式求解即可.

（2）设，求出平面的法向量，再利用空间线面角的求法列出分程，求解即可.

【详解】（1）由题知，在中，，，知，，

利用等面积法，知，，.

以､､分别为轴､轴､轴，为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系.

则，，，，，

，，又异面直线所成角的范围为,

，

所以异面直线与所成角的余弦值为.

（2）存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，

，设，有

，

设平面的法向量为，则，

取，，，，

，解得或，

由，故，

故这样的点存在，位于线段上靠近点的三等分点.