2021-2022学年广东省东莞市光明中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年广东省东莞市光明中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．直线l：经过定点A，则A的纵坐标为（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】A

【分析】转化直线方程为，令，即得解

【详解】由，得，

令，得.

故选：A

2．若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（    ）

A．点P在圆上 B．点P在圆外

C．点P在圆内 D．以上都有可能

【答案】B

【分析】由题意可得圆心到直线的距离小于半径1，从而可得，进而可得结论

【详解】因为直线与圆有两个公共点，

所以圆心到直线的距离小于半径1，即

，

所以，所以，

所以点与圆外，

故选：B

3．设双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则该双曲线的离心率为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】分析：根据题意可求得a和b的关系式，进而利用c=求得c和b的关系，最后求得a和c的关系即双曲线的离心率．

解答：解：依题意可知=，求得a=2b

∴c==b

∴e==

故选C．

4．圆与圆的位置关系为

A．内切 B．相交 C．外切 D．相离

【答案】B

【分析】试题分析：两圆的圆心距为，半径分别为 ，，所以两圆相交 ．故选B．

【解析】圆与圆的位置关系．

5．已知平面的一个法向量为，点为内一点，则点到平面的距离为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】D

【分析】利用空间向量的数量积以及点到面的距离向量求法即可求解.

【详解】因为，，

所以，，

则点P到平面的距离.

故选：D

6．方程表示圆，则a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】将一般式转化为标准式，然后利用列不等式，解不等式即可.

【详解】方程，即为，

若它表示圆，需满足，故.

故选：A．

7．在三棱柱中，E是棱的三等分点，且，F是棱的中点，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】取的中点D，连接，进而表示，再根据求解即可.

【详解】取的中点D，连接.

所以.

因为，

所以.

故选：D

8．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为，，，则△ABC的欧拉线方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求出重心坐标，求出AB边上高和AC边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程.

【详解】由题可知，△ABC的重心为，

可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为，则方程为，

直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为2，则方程为，

联立方程可得△ABC的垂心为，

则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为，

故△ABC的欧拉线方程为.

故选：A.

二、多选题

9．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】AD

【分析】根据直线的方向向量和平面的法向量，以及线面的位置关系求得正确答案.

【详解】若，则，即有，即，即有，故A正确，C错误；

若，则，即有，可得，

解得，则，故B错误，D正确．

故选：AD

10．已知直线，则下列结论正确的是（    ）

A．直线的倾斜角是

B．若直线，则

C．点到直线的距离是2

D．过与直线平行的直线方程是

【答案】CD

【分析】求出直线的斜率可得倾斜角，即可判断A；利用两直线垂直的条件可判断B；利用点到直线的距离公式可判断C；利用两直线平行的条件可判断D，进而可得正确选项.

【详解】由可得，所以直线的斜率为，

对于A：因为直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，可得，

故选项A不正确；

对于B：直线的斜率为，因为，所以不成立，故选项B不正确；

对于C：点到直线的距离是，故选项C正确；

对于D：设与直线平行的直线方程是，则，

可得，所以过与直线平行的直线方程是，故选项D正确；

故选：CD.

11．已知，，，则（    ）

A．直线与线段有公共点

B．直线的倾斜角大于

C．的边上的中线所在直线的方程为

D．的边上的高所在直线的方程为

【答案】BCD

【分析】因为，，所以可以判断A错误；因为，所以直线的倾斜角大于，B正确；因为求出直线方程可判断C、D.

【详解】、

因为，，所以直线与线段无公共点，A错误；

因为，所以直线的倾斜角大于，B正确；

因为线段的中点为，所以边上的中线所在直线的方程为，C正确；

因为，所以上的高所在直线的方程为，即，D正确.

故选：BCD

12．正方体的棱长为2，且，过P作垂直于平面的直线l，分别交正方体的表面于M，N两点.下列说法不正确的是（    ）

A．平面

B．四边形面积的最大值为

C．若四边形的面积为，则

D．若，则四棱锥的体积为

【答案】ACD

【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量坐标表示求解.

【详解】因为与不垂直.所以与平面不垂直.A不正确.如图，以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，.因为.所以.因为平面，所以，则，.若平面，则，即，，；若平面.则，即，，.因为，所以四边形的面积当时，四边形的面积最大，且最大值为，点B到直线的距离为，即点B到平面的距离为，故四棱锥的体积，B正确，D不正确.若四边形的面积为.则或，解得或，C不正确.

三、填空题

13．已知两点和，则以为直径的圆的方程是__________

【答案】

【分析】根据点，的坐标得到圆心和半径，然后写圆的方程即可.

【详解】线段的中点为圆心，所以圆心坐标为，又，

所以圆的半径为，

所以圆的标准方程为.

故答案为：.

14．过椭圆的一个焦点的直线与椭圆相交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一个焦点构成的的周长等于__________

【答案】

【分析】根据椭圆的定义和椭圆方程求周长即可.

【详解】

椭圆，即，故焦点在y轴，，

由椭圆定义知，故的周长为.

故答案为：．

15．已知点，，，则为____________

【答案】（或60⁰）

【分析】利用向量的内积公式，直接列出公式求解即可.

【详解】由已知得，，，则

，又因为

所以，

故答案为：（或60⁰）

四、双空题

16．已知不经过坐标原点的直线与圆：交于A，B两点，若锐角的面积为，则___________， ___________.

【答案】          或

【分析】根据已知利用面积公式可求得，即可求得，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半及圆内接四边形的对角互补，可求得或150°，计算即可得出结果.

【详解】因为圆C的半径，

所以的面积，

所以.又为锐角三角形，所以，

.

因为点O在圆C上，所以或150°，

故或.

故答案为：；或

五、解答题

17．已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆的长轴端点、焦点，求双曲线C的方程及其渐近线方程．

【答案】双曲线方程为，渐近线方程为．

【分析】根据椭圆的知识求得双曲线的，从而求得双曲线的方程以及渐近线方程.

【详解】由椭圆知，，

故长轴端点分别为和，焦点是，

由此可知，双曲线的焦点为，顶点为，

设双曲线的方程为，焦距为，

即，则，所以双曲线方程为，

渐近线方程为，即．

18．分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程．

(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，其离心率为，焦距为8；

(2)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10；

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的标准方程.

（2）结合椭圆的定义求得，由此求得椭圆的标准方程.

【详解】（1）由题意知，，∴，∴，从而，

又∵焦点在y轴上，∴椭圆的标准方程是.

（2）因为椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为

椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10，故，

∴，又∵，，

∴所求椭圆的标准方程为．

19．如图，三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N和P分别是，BC和的中点.

(1)证明：平面；

(2)求异面直线AN与PM所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取AC的中点D，连接ND，，通过证明四边形为平行四边形可得；

（2）以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出，利用向量关系即可求出.

【详解】（1）证明：取AC的中点D，连接ND，.

因为N和P分别是BC和的中点，所以，，，

因为，，所以，，

所以四边形为平行四边形，则.

因为平面，平面，所以平面.

（2）以点A为坐标原点，分别以AC，，AB所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，

则，，，，

，，

设AN与PM所成角为，

所以,

故AN与PM所成角的余弦值为.

20．已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【详解】试题分析：（1）依题意，由点到直线的距离公式可得，又有，联立可求离心率；

（2）由（1）设椭圆方程，再设直线方程，与椭圆方程联立，求得，令，可得，即得椭圆方程.

试题解析：（Ⅰ）过点的直线方程为，

则原点到直线的距离，

由，得，解得离心率.

（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为.

依题意，圆心是线段的中点，且.

易知，不与轴垂直.

设其直线方程为，代入（1）得

.

设，则，.

由，得，解得.

从而.

于是.

由，得，解得.

故椭圆的方程为.

21．已知圆，直线l过原点．

(1)若直线l与圆M相切，求直线l的方程；

(2)若直线l与圆M交于P，Q两点，当的面积最大时，求直线l的方程．

【答案】(1)或

(2)或．

【分析】（1）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合圆心到直线的距离等于半径来求得直线的方程.

（2）设出直线的方程，由点到直线的距离公式、弦长公式求得三角形面积的表达式，结合二次函数的性质求得的面积最大时直线的方程.

【详解】（1）①当直线l的斜率不存在时，直线l为，显然符合直线与圆相切，

②当斜率存在时，设直线为，圆M的圆心坐标，

圆心到直线的距离，

由题意得：直线l与圆M相切，则，解得：，

所以直线l的方程为：，

综上所述，直线l的方程为：或

（2）直线l的斜率不存在时，直线l为与圆相切，不符合题意，故直线l斜率必存在，

设直线l的方程为：，

圆心到直线的距离，弦长，

所以，

当时，面积S最大，

这时，整理得，解得，或，

所以直线l的方程：或．

22．如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，且，分别是线段的中点，，平面平面．

(1)证明：平面；

(2)求平面与平面夹角的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点，连接，则四边形是平行四边形，由是线段的中点，则，．由面面垂直的性质得平面，即可证明平面；

（2）易知两两垂直，分别以，，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，进而利用坐标法求解即可.

【详解】（1）证明：取的中点，连接，

因为

所以．

因为四边形是等腰梯形，

所以，，

所以，四边形是平行四边形．

因为是线段的中点，

所以是的中点，

所以．

因为，为的中点，

所以．

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面．

因为，

所以平面．

（2）解：因为，四边形是平行四边形．

所以四边形是菱形，

所以，

所以，两两垂直，

故以为原点，分别以，，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

因为在等腰梯形中，，

所以，

设，，

则，，，，，

所以，，．

设平面的法向量为，

则，令，则．

平面的一个法向量为．

设平面与平面夹角为，

则．

因为，

所以，所以．

因为，

所以,即平面与平面夹角的取值范围是