高考数学第一轮复习讲练测(新教材新高考)专题2.2基本不等式及其应用(练)原卷版+解析

这是一份高考数学第一轮复习讲练测(新教材新高考)专题2.2基本不等式及其应用(练)原卷版+解析，共23页。试卷主要包含了【多选题】等内容，欢迎下载使用。

1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））已知，，则的（ ）
A．最大值是B．最大值是
C．最小值是D．最小值是
2．（2021·山东高三其他模拟）已知均为正实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（文））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积是 ，则的三个内角大小为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2021·浙江高三月考）已知实数，满足，则的最小值是（ ）
A． B．C．D．
5．（2021·北京高三二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器运转时间t(年数，)的关系为，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t为（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．（2021·四川成都市·高三三模（文））已知函数，恒过定点，过定点的直线与坐标轴的正半轴相交，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7.【多选题】（2021·福建南平市·高三二模）已知，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
8．【多选题】（2021·河北高三三模）已知正数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
9．【多选题】（2021·辽宁高三一模）已知，且，则下列不等式正确的（ ）
A．B．C．D．
10．（2021·天津高三二模）已知正实数，满足，则的最小值为______．
练提升TIDHNEG
1．（2021·江苏高三三模）在正方形中，为两条对角线的交点，为边上的动点.若，则的最小值为（ ）
A．2B．5C．D．
2．（2021·河北保定市·高三二模）已知圆弧与函数和函数的图象分别相交于，，其中且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
3．（2021·四川达州市·高三二模（理））已知是圆上的点，下列结论正确的是（ ）
A．B．最大值是
C．D．
4．（2021·江西上饶市·高三三模（理））己知A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且，则的最小值为（ ）
A．10B．9C．8D．4
5．（2021·浙江高三三模）已知正实数满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
6．【多选题】（2021·福建厦门市·高三三模）已知正数，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
7．【多选题】（2021·长沙市·湖南师大附中高三二模）关于函数有如下四个命题，其中正确的命题有（ ）
A．的图象关于轴对称
B．的图象关于原点对称
C．的图象关于直线对称
D．的值域为
8．【多选题】（2021·江苏高三其他模拟）若非负实数，，满足，则下列说法中一定正确的有（ ）
A．的最小值为B．的最大值为
C．的最大值为D．的最大值为
9．（2021·山东高三二模）最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”.如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地面b米，在离地面米的C处看此树，离此树的水平距离为___________米时看A，B的视角最大.
10．（2021·山东高三其他模拟）从①；②；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答.
问题：在中，分别为内角的对边，若，_________，求的周长的最大值.
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
练真题TIDHNEG
1．（2019年高考浙江卷）若，则“”是 “”的
A． 充分不必要条件B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件D． 既不充分也不必要条件
2．【多选题】（2020·海南高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（山东省高考真题）定义运算“”：（）.当时，的最小值是 .
4．（2020·天津高考真题）已知，且，则的最小值为_________．
5．（2020·江苏高考真题）已知，则的最小值是_______．
6.（2020·全国高考真题（文））设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．
专题2.2 基本不等式及其应用
练基础
1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））已知，，则的（ ）
A．最大值是B．最大值是
C．最小值是D．最小值是
【答案】B
【解析】
由题意得，再代入所求式子利用基本不等式，即可得到答案；
【详解】
因为，所以，
所以，等号成立当且仅当.
故选：B.
2．（2021·山东高三其他模拟）已知均为正实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
取可得由推不出，反过来，由基本不等式可得由能推出，然后可选出答案.
【详解】
取，则，但，所以由推不出，
反过来，若，则，当且仅当时取等号，
所以由能推出，所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：C
3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（文））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积是 ，则的三个内角大小为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
由的面积是，利用面积公式及基本不等式判断出，由b=c得.
【详解】
因为，所以（当且仅当b=c时取等号）.
而的面积是,
所以，即，所以，
因为A为三角形内角，所以.
又因为b=c，所以.
故选：B
4．（2021·浙江高三月考）已知实数，满足，则的最小值是（ ）
A． B．C．D．
【答案】D
【解析】
运用三角代换法，结合二倍角的正弦公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可.
【详解】
由，令，
因此，因为，所以，
因此的最小值是，
故选：D
5．（2021·北京高三二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器运转时间t(年数，)的关系为，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【解析】
根据题意求出年平均利润函数。利用均值不等式求最值.
【详解】
因为每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器运转时间t(年数，)的关系为，
所以年平均利润
当且仅当时等号成立，
即年平均利润最大，则每台机器运转的年数t为8，
故选：D
6．（2021·四川成都市·高三三模（文））已知函数，恒过定点，过定点的直线与坐标轴的正半轴相交，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
求出，代入直线方程，再根据基本不等式可求出结果.
【详解】
令，即，得，则，
则且，，
由．
当且仅当，时，等号成立，
故选：C
7.【多选题】（2021·福建南平市·高三二模）已知，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】
由、结合条件等式可判断A、B，由结合条件等式可判断C、由结合条件等式可判断D.
【详解】
对于A，B，由，，利用基本不等式，可得，解得，
又（当且仅当时，等号成立），而，所以，所以，故B正确，A错误：
对于C，由，，利用基本不等式，
变形得（当且仅当时，等号成立），解得，
即，故C正确；
对于D，由，，利用基本不等式化简
得（当且仅当时，等号成立），
解得，故D错误；
故选：BC
8．【多选题】（2021·河北高三三模）已知正数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】
A：由条件等式得，结合基本不等式即可判断正误；B：由题设及A得，令有即可判断正误；C：结合A，易得，由基本不等式即可判断正误；D：通过基本不等式证，进而可判断D的正误.
【详解】
A：由，又，得，所以，正确；
B：由，当时有，此时，错误；
C：由，所以，正确；
D：由，所以，正确.
故选：
9．【多选题】（2021·辽宁高三一模）已知，且，则下列不等式正确的（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】
利用基本不等式证明判断．
【详解】
因为，
，当且仅当时等号成立，所以，A正确；
由得，，同理，
，当且仅当，即时等号成立，B正确；
满足题意，但，C错；
由得，所以，当且仅当即时等号成立，所以．D正确．
故选：ABD
10．（2021·天津高三二模）已知正实数，满足，则的最小值为______．
【答案】10
【解析】
先把整理为，对，利用基本不等式求出最小值，即可求出的最小值.
【详解】
∵正实数，满足，
∴（当且仅当，即时取等号）
∴.
故答案为：10.
练提升TIDHNEG
1．（2021·江苏高三三模）在正方形中，为两条对角线的交点，为边上的动点.若，则的最小值为（ ）
A．2B．5C．D．
【答案】C
【解析】
以点为原点，以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，求出已知点的坐标，然后设出点的坐标，代入已知关系式，即可求出，的关系式，然后根据基本不等式即可求解．
【详解】
如图所示，以点为原点，以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，
设正方形的边长为1，则，，，，
则根据中点坐标公式可得，设点的坐标为，
则由，可得，，，
所以，则，
当且仅当，即时取等号，
此时的最小值为，
故选：C
2．（2021·河北保定市·高三二模）已知圆弧与函数和函数的图象分别相交于，，其中且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】B
【解析】
由函数与函数互为反函数可得，然后可得，然后利用基本不等式的知识求解即可.
【详解】
因为函数与函数互为反函数，所以关于对称
所以
因为，在圆弧上
所以，所以
所以
当且仅当，即时等号成立
故选：B
3．（2021·四川达州市·高三二模（理））已知是圆上的点，下列结论正确的是（ ）
A．B．最大值是
C．D．
【答案】C
【解析】
根据基本不等式，可得判定A、B不正确；根据指数函数与对数函数的性质，结合不等式的性质，可判定C正确，D不正确.
【详解】
根据题意，点是圆上的点，可得，
由，可得，当且仅当时等号成立，所以A不正确；
由，当且仅当，即时等号成立，即最小值是，所以B不正确；
由，可得，则，
又由，所以，根据指数函数的性质，可得成立，所以C正确；
由，又由，
因为，可得符合不确定，所以和大小不确定，
所以D不正确.
故选：C.
4．（2021·江西上饶市·高三三模（理））己知A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且，则的最小值为（ ）
A．10B．9C．8D．4
【答案】C
【解析】
先根据三点共线，求出，利用基本不等式求最值.
【详解】
因为A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且，
所以
当且仅当，即时等号成立．
故选：C
5．（2021·浙江高三三模）已知正实数满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
根据已知等式把代数式进行变形为，再结合已知等式，利用基本不等式进行求解即可.
【详解】
，因为，
所以，
因为，所以，
因此，
因为是正实数，所以，（当且仅当时取等号，即时取等号，即时取等号），
故选：A
6．【多选题】（2021·福建厦门市·高三三模）已知正数，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】
利用基本不等式证明不等式，判断选项AC的正误；利用，根据选项BD分别构造函数，利用导数研究单调性和最值情况来判断选项BD的正误.
【详解】
正数，满足，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故A错误；
由知，，
构造函数，则，
故时，，单调递减；时，，单调递增.
所以，故时，有，B正确；
由，当且仅当时等号成立，故，
故，当且仅当时取等号，而，所以，C正确；
由知，，构造函数，
则，由指数函数性质可知单调递增，又，
故时，，单调递减；时，，单调递增.
故，即，D正确.
故选：BCD.
7．【多选题】（2021·长沙市·湖南师大附中高三二模）关于函数有如下四个命题，其中正确的命题有（ ）
A．的图象关于轴对称
B．的图象关于原点对称
C．的图象关于直线对称
D．的值域为
【答案】AD
【解析】
对于A，B，先求出函数的定义域，然后判断函数的奇偶性，从而可得结论；对于C，分别求解和，若相等，则的图象关于直线对称，否则的图象不关于直线对称；对于D，利用基本不等式判断即可
【详解】
由题意知的定义域为，且关于原点对称.又，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，所以A正确，B错误.
因为，，所以，所以函数的图象不关于直线对称，C错误.
当时，，当且仅当 ，即时取等号，所以，
当时，，当且仅当，即时取等号，所以 ，所以的值域为，所以D正确.
故选：AD
8．【多选题】（2021·江苏高三其他模拟）若非负实数，，满足，则下列说法中一定正确的有（ ）
A．的最小值为B．的最大值为
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】ACD
【解析】
由已知条件结合基本不等式及相关结论，即可作出判断．
【详解】
对于A，由，，，得，两边同时加上，可得，所以，当且仅当时取等号，所以A正确.
对于B，易得，所以，
当且仅当，时取等号，所以B不正确.
对于C，由，两边同时加上，得，所以，当且仅当时取等号，所以C正确.
对于D，易得，令，，所以，
记，，利用导数易求得，所以D正确.
故选：ACD
9．（2021·山东高三二模）最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”.如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地面b米，在离地面米的C处看此树，离此树的水平距离为___________米时看A，B的视角最大.
【答案】
【解析】
根据题意，，分别求得，表达式，即可求得表达式，结合基本不等式，即可得答案.
【详解】
过C作，交AB于D，如图所示：
则，
设，
在中，，
在中，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以取最大值时，最大，
所以当离此树的水平距离为米时看A，B的视角最大.
故答案为：
10．（2021·山东高三其他模拟）从①；②；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答.
问题：在中，分别为内角的对边，若，_________，求的周长的最大值.
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】答案见解析.
【解析】
若选条件①，由正弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系式求得的值，由此求得，利用余弦定理以及基本不等式求得的最大值，从而求得三角形的周长的最大值. 若选条件②，利用余弦定理求得的值，进而求得，利用余弦定理以及基本不等式求得的最大值，从而求得三角形的周长的最大值. 若选条件③，利用同角三角函数的基本关系式、余弦定理求得的值，进而求得，利用余弦定理以及基本不等式求得的最大值，从而求得三角形的周长的最大值.
【详解】
若选条件①，由正弦定理得，
因为，所以，所以，
所以，
整理得，所以，
因为，所以.
因为，由余弦定理得，
所以，
所以，即，当且仅当时取等号，
所以周长的最大值为.
若选条件②，因为，所以，
整理得，
所以，
因为，所以.
因为，由余弦定理得，
所以，
所以，即，当且仅当时取等号，
所以周长的最大值为.
若选条件③，因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以.
因为，由余弦定理得，
所以，
所以，即，当且仅当时取等号，
所以周长的最大值为.
练真题TIDHNEG
1．（2019年高考浙江卷）若，则“”是 “”的
A． 充分不必要条件B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件D． 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，当且仅当时取等号，则当时，有，解得，充分性成立；
当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
2．【多选题】（2020·海南高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】
根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】
对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
3．（山东省高考真题）定义运算“”：（）.当时，的最小值是 .
【答案】
【解析】
由新定义运算知，，因为，，
所以，，当且仅当时，的最小值是.
4．（2020·天津高考真题）已知，且，则的最小值为_________．
【答案】4
【解析】
根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】
，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
5．（2020·江苏高考真题）已知，则的最小值是_______．
【答案】
【解析】
根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解.
【详解】
∵
∴且
∴，当且仅当，即时取等号.
∴的最小值为.
故答案为：.
6.（2020·全国高考真题（文））设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由结合不等式的性质，即可得出证明；
（2）不妨设，由题意得出，由，结合基本不等式，即可得出证明.
【详解】
（1），
.
均不为，则，；
（2）不妨设，
由可知，，
，.
当且仅当时，取等号，
，即.