2023-2024学年浙江省温州实验学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）(含解析)

这是一份2023-2024学年浙江省温州实验学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）(含解析)，共22页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年浙江省温州实验学校九年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一、选择题（有10小题，每小题4分，共40分）.
1．抛物线y＝﹣x2+3x﹣4与y轴的交点坐标是（　　）
A．（4，0） B．（﹣4，0） C．（0，﹣4） D．（0，4）
2．已知二次函数y＝﹣2（x+1）2+3，下列说法正确的是（　　）
A．对称轴为直线x＝1 B．顶点坐标为（1，3）
C．函数的最大值是3 D．函数图象开口向上
3．将抛物线y＝x2+3向左平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是（　　）
A．y＝x2+4 B．y＝x2+2 C．y＝（x﹣1）2+3 D．y＝（x+1）2+3
4．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则的值为（　　）

A． B． C． D．
5．把二次函数y＝2x2﹣8x+3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式应为（　　）
A．y＝2（x﹣2）2+5 B．y＝2（x﹣2）2﹣1
C．y＝2（x﹣2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2+7
6．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（　　）

A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
7．已知二次函数y＝a（x﹣m）2（a＞0）的图象经过点A（﹣1，p），B（3，q），且p＜q，则m的值不可能为（　　）
A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．2
8．如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（m，0），且1＜m＜2，有下列结论：①b＜0；②b＝a+c；③a＞﹣c＞0；④a+b＞0．其中正确结论的序号是（　　）

A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④
10．设二次函数y＝ax2+c（a，c是常数，a＜0），已知函数值y和自变量x的三对对应值如表所示，若方程ax2+c﹣m＝0的一个正实数根为5．则下列结论正确的是（　　）
x
…
﹣3
2
4
…
y
…
0
p
q
…
A．m＞p＞0 B．m＜q＜0 C．p＞m＞0 D．q＜m＜0
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．若＝，则＝　 　．
12．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则口袋中白球有 　 　个．
13．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则AE的长为 　 　．

14．已知二次函数y＝x2﹣4x﹣6，当﹣3≤x≤4时，该函数的最大值与最小值的差为 　 　．
15．如果一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征三角形”．如图，已知y＝x2+bx（b＞0）的“特征三角形”是等边△AOB，那么b的值为 　 　．

16．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高8m时，水柱落点距O点为 　 　m．

三、解答题（本题有6小题，共56分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，2）和B（0，﹣3）．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
（2）当y≤﹣3时，请根据图象直接写出x的取值范围．

18．班级联欢会上有一个抽奖活动，每位同学均参加一次抽奖，活动规则如下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上，每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色后放回，重新打乱杯子的摆放位置，再从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色．若两次中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖．用画树状图（或列表）的方法，求某同学获一等奖的概率．

19．综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，到树EG的距离AF＝11m，BH＝20cm．求树EG的高度（结果精确到0.1m）．
​

20．如图窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形，现在制作一个窗户边框的材料总长度为6米．（ π取3）
（1）若设扇形半径为x，请用含x的代数式表示出AB．并求出x的取值范围．
（2）当x为何值时，窗户透光面积最大，最大面积为多少？（窗框厚度不予考虑）

21．在平面直角坐标系内，设二次函数y＝（x﹣a）2+a﹣1（a为常数）．
（1）若函数y的图象经过点（1，2），求函数y的表达式．
（3）若二次函数y＝（x﹣a）2+a﹣1在1≤x≤4时，y有最小值2，求a的值．
（3）已知（m，n）（m＞0）在函数y的图象上，当m＞2a时，求证：n＞﹣．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0）和B两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式．
（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标．
（3）在（2）中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．请在平移后的抛物线上确定点N，使得以A，P，M，N顶点的四边形是以AP为一边的平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标．



参考答案
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．抛物线y＝﹣x2+3x﹣4与y轴的交点坐标是（　　）
A．（4，0） B．（﹣4，0） C．（0，﹣4） D．（0，4）
【分析】令x＝0，求出y的值即可．
解：令x＝0，则y＝﹣4，
∴抛物线y＝﹣x2+3x﹣4与y轴的交点坐标为（0，﹣4）．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知y轴上点的坐标特点是解答此题的关键．
2．已知二次函数y＝﹣2（x+1）2+3，下列说法正确的是（　　）
A．对称轴为直线x＝1 B．顶点坐标为（1，3）
C．函数的最大值是3 D．函数图象开口向上
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标和最值，进而求解．
解：∵y＝﹣2（x+1）2+3，
∴抛物线开口向下，对称轴为值x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，3），
∴函数最大值为3，故C符合题意，A、B、D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
3．将抛物线y＝x2+3向左平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是（　　）
A．y＝x2+4 B．y＝x2+2 C．y＝（x﹣1）2+3 D．y＝（x+1）2+3
【分析】抛物线平移不改变a的值．
解：原抛物线的顶点为（0，3），向左平移1个单位长度，那么新抛物线的顶点为（﹣1，3）．可设新抛物线的解析式为y＝（x﹣h）2+k，代入得y＝（x+1）2+3．
故选：D．
【点评】解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
4．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出＝，根据已知即可求出答案．
解：∵l1∥l2∥l3，，
∴＝＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．
5．把二次函数y＝2x2﹣8x+3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式应为（　　）
A．y＝2（x﹣2）2+5 B．y＝2（x﹣2）2﹣1
C．y＝2（x﹣2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2+7
【分析】利用配方法把二次函数一般式化为顶点式．
解：y＝2x2﹣8x+3
＝2x2﹣8x+8﹣8+3
＝2（x2﹣4x+4）﹣5
＝2（x﹣2）2﹣5，
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把二次函数一般式化为顶点式是解题的关键．
6．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（　　）

A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y＝﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案．
解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣x2+4x，
∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y＝﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，
∴y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴顶点坐标为：（2，4），
∴喷水的最大高度为4米，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．
7．已知二次函数y＝a（x﹣m）2（a＞0）的图象经过点A（﹣1，p），B（3，q），且p＜q，则m的值不可能为（　　）
A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．2
【分析】二次函数y＝a（x﹣m）2（a＞0）开口向上，对称轴为直线x＝m，根据抛物线上的点与直线x＝m的距离越小对应的y值就越小即可得到m的取值范围．根据m的取值范围判断不可能的m值．
解：∵y＝a（x﹣m）2（a＞0），
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝m，
∴当抛物线上的点与直线x＝m的距离越小，对应的y值就越小，
∵A（﹣1，p），B（3，q），且p＜q，
∴A点到直线x＝m的距离小于B点到直线x＝m的距离，
∴m≤﹣1，或m+1＜3﹣m，
解得m＜1，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键．
8．如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】先罗列出所有等可能结果，从中找到“平稳数”的结果，再根据概率公式求解即可．
解：用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数出现的等可能结果有：
123、132、213、231、312、321，
其中恰好是“平稳数”的有123、321，
所以恰好是“平稳数”的概率为＝，
故选：C．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（m，0），且1＜m＜2，有下列结论：①b＜0；②b＝a+c；③a＞﹣c＞0；④a+b＞0．其中正确结论的序号是（　　）

A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④
【分析】利用函数图象，由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线的对称轴位置得b＜0，由抛物线与y轴的交点位置得c＜0，再根据二次函数的性质和图象分别判断即可得出答案．
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＜0，故①正确，符合题意；
∵抛物线经过点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c＝b﹣a，
故②正确，符合题意；
∵a﹣b+c＝0，
∴a+c＝b，
∵b＜0，
∴a+c＜0，
∴0＜a＜﹣c，
故③不正确，不符合题意；
∵当x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，
∴4a+2b+b﹣a＞0，
∴3a+3b＞0，
∴a+b＞0，故④正确，符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质．
10．设二次函数y＝ax2+c（a，c是常数，a＜0），已知函数值y和自变量x的三对对应值如表所示，若方程ax2+c﹣m＝0的一个正实数根为5．则下列结论正确的是（　　）
x
…
﹣3
2
4
…
y
…
0
p
q
…
A．m＞p＞0 B．m＜q＜0 C．p＞m＞0 D．q＜m＜0
【分析】由表格数据和函数的对称性，画出函数的大致图象即可求解．
解：由表格数据和函数的对称性，画出函数的大致图象如下：

从图象看m＜q＜0，
故选：B．
【点评】本题考查抛物线和x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的图象和性质解答．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．若＝，则＝　　．
【分析】根据比例设a＝3k，b＝4k（k≠0），然后代入比例式进行计算即可得解．
解：∵＝，
∴设a＝3k，b＝4k（k≠0），
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．
12．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则口袋中白球有 　12　个．
【分析】由摸到红球的频率稳定在25%附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．
解：设白球个数为x个，
∵摸到红球的频率稳定在0.25附近，
∴口袋中得到红球的概率为0.25，
∴＝0.25，
解得：x＝12，
故白球的个数为12个．
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率是解题关键．
13．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则AE的长为 　　．

【分析】根据题意可得AB＝3，AC∥BD，所以△AEC∽△BED，进而可以解决问题．
解：根据题意可知：AB＝3，AC∥BD，AC＝2，BD＝3，
∴△AEC∽△BED，
∴＝，
∴＝，
解得AE＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
14．已知二次函数y＝x2﹣4x﹣6，当﹣3≤x≤4时，该函数的最大值与最小值的差为 　25　．
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，即可得到当x＝2时，y最小值＝﹣10，当x＝﹣3时，y最大值＝15，从而求得结论．
解：∵二次函数y＝x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣10，
∴该抛物线的对称轴为x＝2，且a＝1＞0，
∴当x＝2时，二次函数有最小值﹣10，
∵|﹣3﹣2|＞|2﹣4|，
∴当x＝﹣3时，二次函数有最大值为：（﹣3﹣2）2﹣10＝15，
∴函数的最大值与最小值的差为15﹣（﹣10）＝25．
故答案为：25．
【点评】本题考查了二次函数的性质，考查了二次函数的最值问题，本题中求得二次函数的对称轴是解题的关键．
15．如果一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征三角形”．如图，已知y＝x2+bx（b＞0）的“特征三角形”是等边△AOB，那么b的值为 　　．

【分析】根据抛物线的“特征三角形”是等边三角形建立方程求解即可．
解：设抛物线y＝x2+bx与x轴的交点坐标为O，A，顶点B，
∴O（0，0），A（﹣b，0），B（﹣，﹣），
∵抛物线y＝x2+bx对应的“特征三角形”是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB，
∴OA2＝OB2，即（）2＝（）2+（）2；
解得：b＝±，
∵b＞0，
∴b＝，
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点和抛物线的“特征三角形”的特点，关键是利用“特征三角形”是等边三角形建立等量关系．
16．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高8m时，水柱落点距O点为 　4　m．

【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1＝0；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y＝ax2+bx+h，将h＝8代入可求出x．
解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，
将（2.5，0）代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5＝0，
整理得2.5a+b+1＝0①；
喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；
将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0②，
联立可求出a＝﹣，b＝，
设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，
∴此时的解析式为y＝﹣x2+x+h，
将h＝8代入可得﹣x2+x+8＝0，
解得x＝4或﹣3（舍去）．
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．
三、解答题（本题有6小题，共56分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，2）和B（0，﹣3）．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
（2）当y≤﹣3时，请根据图象直接写出x的取值范围．

【分析】（1）用待定系数法求出函数表达式，配成顶点式即可得顶点坐标；
（2）求出B关于对称轴的对称点坐标，由图象直接可得答案．
解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣3＝（x+2）2﹣7，
则抛物线的顶点坐标为：（﹣2，﹣7）；
（2）过点B作直线l：y＝﹣3，
根据点的对称性，点B关于抛物线的对称轴的对称点坐标为：（﹣4，﹣3），

则当y≤﹣3时，请根据图象直接写出x的取值范围为：﹣4≤x≤0．
【点评】本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是掌握待定系数法求出函数表达式．
18．班级联欢会上有一个抽奖活动，每位同学均参加一次抽奖，活动规则如下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上，每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色后放回，重新打乱杯子的摆放位置，再从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色．若两次中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖．用画树状图（或列表）的方法，求某同学获一等奖的概率．

【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次中的彩蛋颜色不同的结果有4种，再由概率公式求解即可．
解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中两次中的彩蛋颜色不同的结果有4种，
∴某同学获一等奖的概率为．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，到树EG的距离AF＝11m，BH＝20cm．求树EG的高度（结果精确到0.1m）．
​

【分析】由题意可知，∠BAE＝∠MAF＝∠BAD＝90°，FG＝1.8m，易知∠EAF＝∠BAH，可得tan∠EAF＝＝tan∠BAH＝，进而求得，利用EG＝EF+FG即可求解．
解：由题意可知，∠BAE＝∠MAF＝∠BAD＝90°，FG＝1.8m，
则∠EAF+∠BAF＝∠BAF+∠BAH＝90°，
∴∠EAF＝∠BAH，
∵AB＝30cm，BH＝20cm，
则tan∠EAF＝＝，
∴tan∠EAF＝＝tan∠BAH＝，
∵AF＝11m，
则，
∴EF＝，
∴EG＝EF+FG＝1.8≈9.1m．
答：树EG的高度为9.1m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，得到∠EAF＝∠BAH是解决问题的关键．
20．如图窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形，现在制作一个窗户边框的材料总长度为6米．（ π取3）
（1）若设扇形半径为x，请用含x的代数式表示出AB．并求出x的取值范围．
（2）当x为何值时，窗户透光面积最大，最大面积为多少？（窗框厚度不予考虑）

【分析】（1）根据2AB+7半径+弧长＝6列出代数式即可；
（2）设面积为S，列出关于x的二次函数求得最大值即可．
解：（1）根据题意得：2AB+7x+πx＝2AB+10x＝6，
整理得：AB＝3﹣5x；
根据3﹣5x＞0，
所以x的取值范围是：0＜x＜；

（2）设面积为S，则S＝2x（3﹣5x）+x2＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣）2+，
当x＝时，S最大＝．
【点评】本题考查的是二次函数的实际应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决最值问题，会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
21．在平面直角坐标系内，设二次函数y＝（x﹣a）2+a﹣1（a为常数）．
（1）若函数y的图象经过点（1，2），求函数y的表达式．
（3）若二次函数y＝（x﹣a）2+a﹣1在1≤x≤4时，y有最小值2，求a的值．
（3）已知（m，n）（m＞0）在函数y的图象上，当m＞2a时，求证：n＞﹣．
【分析】（1）用待定系数法可得答案；
（2）分三种情况讨论即可；
（3）由m＞2a，可得|a﹣0|＜|a﹣m|，即知yx＝0＜yx＝m，故a2+a﹣1＜n，从而可得n＞﹣．
解：（1）把（1，2）代入y＝（x﹣a）2+a﹣1得：
2＝（1﹣a）2+a﹣1，
解得a＝2或a＝﹣1，
∴函数y的表达式为y＝（x﹣2）2+1或y＝（x+1）2﹣2；
（2）抛物线y＝（x﹣a）2+a﹣1开口向上，对称轴是直线x＝a，
当a＜1时，x＝1时y取最小值2，
∴（1﹣a）2+a﹣1＝2，
解得a＝2（舍去）或a＝﹣1；
当1≤a≤4时，x＝a时y取最小值2，
∴a﹣1＝2，
解得a＝3，
当a＞4时，x＝4时y取最小值2，
∴（4﹣a）2+a﹣1＝2，
方程无实数解，
综上所述，二次函数y＝（x﹣a）2+a﹣1在1≤x≤4时，y有最小值2，a的值为﹣1或3；
（3）∵m＞2a，
∴＞a，
∴|a﹣0|＜|a﹣m|，
∴yx＝0＜yx＝m，
∴a2+a﹣1＜n，
∴n＞（a+）2﹣，
∵（a+）2﹣≥﹣，
∴n＞﹣．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法等知识，灵活运用二次函数的性质是本题的关键．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0）和B两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式．
（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标．
（3）在（2）中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．请在平移后的抛物线上确定点N，使得以A，P，M，N顶点的四边形是以AP为一边的平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标．

【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由△PDE周长的最大值＝PE（1+sin∠PED+cos∠PED），即可求解；
（3）当AP是对角线时，由中点坐标公式和AM＝AN，列出方程组即可求解；当AM或AN是对角线时，同理可解．
解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）令y＝﹣x2+x+2＝0，
解得：x＝4或﹣1，即点B（4，0），
∵PE∥y轴，则∠PED＝∠OCB，
则tan∠PED＝tan∠OCB＝2，则sin∠PED＝，cos∠PED＝，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+2，
则PE＝﹣x2+x+2+x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2≤2，
即PE的最大值为2，此时，点P（2，3），
则△PDE周长的最大值＝PE（1+sin∠PED+cos∠PED）＝（1++）PE＝，
即△PDE周长的最大值为，点P（2，3）；
（3）抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，相当于向右平移2个单位向下平移1个单位，
则平移后抛物线的对称轴为x＝，
设点M（，m），点N（s，t），
由点A、P的坐标得，AP2＝18，
当AP是对角线时，由中点坐标公式和AM＝AN得：
，
解得：，
即点N的坐标为：（﹣，）；
当AM或AN是对角线时，由中点坐标公式和AN＝AP或AM＝AP得：
或，
解得：（不合题意的值已舍去），
即点N的坐标为：（，）；
综上，点N的坐标为：（，﹣）或（，）或（﹣，）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、菱形的性质、平行四边形的性质、解直角三角形等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．