2023-2024学年浙江省温州市洞头区海霞中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省温州市洞头区海霞中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知⊙O的半径为8cm，点P在⊙O上，则OP的长为( )
A. 2cmB. 4cmC. 8cmD. 16cm
2.下列函数解析式中，是二次函数的是( )
A. y=3(x−1)2+1B. y=3x−1
C. y=x(x2+1)D. y=x2+1x
3.在一个不透明的口袋里装有2个白球，3个黑球和3个红球，它们除颜色外其余都相同，现随机从袋里摸出1个球，则摸出白球的概率是( )
A. 12B. 38C. 13D. 14
4.将抛物线y=2x2向左平移3个单位得到的抛物线的表达式是
( )
A. y=2x2+3B. y=2x2−3C. y=2(x+3)2D. y=2(x−3)2
5.如图四个圆形网案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转72°后，能与原图形完全重合的是( )
A. B. C. D.
6.动物学家通过大量的调查估计，某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，那么，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是( )
A. 0B. 1C. 12D. 58
7.已知抛物线y=−x2+2x+c，若点(−1,y1)，(0,y2)，(4,y3)都在该抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y3>y1>y2B. y3y2>y1
8.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果AB=20，CD=16，那么线段OE的长为( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 9
9.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，则当水面宽8米时，水面下降了( )
A. 329米B. 2米C. 169米D. 149米
10.如图，点A为x轴上一点，点B的坐标为(a,b)，以OA，AB为边构造▱OABC，过点O，C，B的抛物线与x轴交于点D，连结CD，交边AB于点E，若AE=BE，则点C的横坐标为( )
A. a−bB. b2C. a3D. a4
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.抛物线y=x2−2x−3与y轴的交点坐标是______．
12.已知直角三角形的斜边长为6cm，则该三角形的外接圆半径为______cm．
13.做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如表数据：
估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上的概率是______．
14.如图，转盘中黄色扇形的圆心角为90°，绿色扇形的圆心角为270°，现让转盘自由转动两次，则两次指针都落在绿色区域的概率为______.(注：当指针恰好指在分界线上时，无效重转)
15.抛物线y=x2−6x+n与x轴有两个交点，则n的取值范围是______．
16.如图，在△ABC中，CA=CB=5，AB=8，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连结CD，则CD的长为______．
17.函数y=ax2−8ax(a为常数，且a>0)在自变量x的值满足2≤x≤3时，其对应的函数值y的最大值为−3，则a的值为______．
18.如图抛物线y=−x2−2x+3与x轴交于A，B，与y轴交于点C，点P为顶点，线段PA上有一动点D，以CD为底边向下作等腰三角形△CDE，且∠DEC=90°，则AE的最小值为______．
三、解答题：本题共6小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5.把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张．
(1)列表或画树状图表示所有取牌的可能性；
(2)取牌数字之和为偶数的概率．
20.(本小题6分)
“校园手机”现象越来越受到社会的关注．九(1)班学生在“统计实习”实践活动中随机调查了学校若干名学生家长对“中学生带手机到学校”现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图：
(1)在图②中，AB是⊙O的直径，求这次调查的家长总人数，并补全图①；
(2)求图②中表示家长“基本赞成”的圆心角的度数；
(3)从这次接受调查的家长中，随机抽查一个，恰好是“无所谓”态度的家长的概率是多少？
21.(本小题7分)
已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A(0,2)，B(1,−3)两点．
(1)求b和c的值；
(2)试判断点P(−1,4)是否在此函数图象上？
(3)求该二次函数的对称轴及顶点坐标．
22.(本小题7分)
如图，⊙O的两条弦AB//CD(AB不是直径)，点E为AB中点，连结EC，ED
(1)直线EO与AB垂直吗？请说明理由；
(2)求证：EC=ED．
23.(本小题9分)
新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，销售定价为140元，一天可以销售20套.为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施.若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套.设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？
(3)当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？
24.(本小题11分)
如图，二次函数y=(t−1)x2+(t+1)x+2(t≠1)，x=0与x=3时的函数值相等，其图象与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点．
(1)求二次函数的解析式．
(2)在第一象限的抛物线上求点P，使得S△PBC最大．
(3)点P是抛物线上x轴上方一点，若∠CAP=45°，求P点坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵点P在⊙O上，
∴OP=8cm．
故选：C．
根据点在圆上，点到圆心的距离等于圆的半径求解．
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d2.【答案】A
【解析】解：A、是二次函数，故此选项符合题意；
B、是一次函数，故此选项不合题意；
C、不是二次函数，故此选项不合题意；
D、不是函数，故此选项不合题意．
故选：A．
一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．
此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
3.【答案】D
【解析】解：∵口袋里装有2个白球，3个黑球和3个红球，
∴口袋里共有8个球，
∴摸出白球的概率是28=14；
故选：D．
让白球的个数除以球的总个数即为所求的概率．
此题考查了概率的定义：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
4.【答案】C
【解析】解：将抛物线y=2x2向左平移3个单位所得抛物线解析式为：y=2(x+3)2，
故选：C．
根据图象平移的法则“左加右减”进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A图形顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合，A不正确；
B图形顺时针旋转90°后，能与原图形完全重合，B不正确；
C图形顺时针旋转180°后，能与原图形完全重合，C不正确；
D图形顺时针旋转72°后，能与原图形完全重合，D正确，
故选：D．
观察图形，从图形的性质可以确定旋转角，然后进行判断即可得到答案．
本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
6.【答案】D
【解析】解：设共有这种动物x只，则活到20岁的只数为0.8x，活到25岁的只数为0.5x，
故现年20岁到这种动物活到25岁的概率为．
故选：D．
先设出所有动物的只数，根据动物活到各年龄阶段的概率求出相应的只数，再根据概率公式解答即可．
考查了概率的意义，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．注意在本题中把20岁时的动物只数看成单位1．
7.【答案】C
【解析】解：∵y=−x2+2x+c=−(x−1)2+1+c，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，
∵1−0<1−(−1)<4−1，点(−1,y1)，(0,y2)，(4,y3)都在该抛物线上，
∴y2>y1>y3，
故选：C．
由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据三点与对称轴的距离大小关系即可判断y1，y2，y3的大小关系．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，明确抛物线开口向下时离对称轴越近y越大是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了垂径定理和勾股定理．
根据垂径定理可得，DE=12CD，在Rt△DOE中，根据勾股定理，OE= OD2−DE2，计算即可得出答案．
【解答】
解：∵AB=20，
∴OD=10，
∵CD⊥AB，
∴DE=12CD=12×16=8，
在Rt△DOE中，
OE= OD2−DE2= 102−82=6．
故选：B．
9.【答案】D
【解析】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为(0,2)，
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，
把点A点坐标(−3,0)代入得，
∴9a+2=0，
∴a=−29，
∴抛物线解析式为：y=−29x2+2；
当水面下降，水面宽为8米时，有
把x=4代入解析式，得y=−29×42+2=−29×16+2=−149．
∴水面下降149米．
故选：D．
根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标(−3,0)，求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案．
此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵四边形OABC为平行四边形，
∴BC/​/OA，BC=OA，
设C(t,b)，则BC=a−t，
∵BC/​/AD，
∴∠EBC=∠EAD，
在△EBC和△EAD中
∠BEC=∠AEDEB=EA∠EBC=∠EAD，
∴△EBC≌△EAD(ASA)，
∴BC=AD=a−t，
∴点A为OD的中点，
∴抛物线的对称轴为直线x=a−t，
∴a−t−t=a−(a−t)，
∴t=13a.
故选：C．
利用平行四边形的性质得BC/​/OA，BC=OA，设C(x,b)，则BC=a−t，再证明△EBC≌△EAD得到BC=AD=a−t，从而得到抛物线的对称轴为直线x=a−t，所以a−t−t=a−(a−t)，然后解关于t的方程即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了平行四边形的性质．
11.【答案】(0,−3)
【解析】解：∵抛物线y=x2−2x−3，
∴当x=0时，y=−3，
∴抛物线y=x2−2x−3与y轴的交点坐标是(0,−3)．
故答案为：(0,−3)．
由于抛物线与y轴的交点的横坐标为0，把x=0当然抛物线的解析式中即可求出纵坐标．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较简单，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．
12.【答案】3
【解析】解：∵∠C=90°，
∴AB为⊙O直径，
∴AB=6cm，
∴AO=3cm．
故答案为：3．
根据题意画出图形，再根据90°的圆周角所对的弦是直径判断出AB为直径，从而求出半径．
本题考查了三角形的外接圆与外心、等腰直角三角形，正确画出图形是解题的关键．
13.【答案】0.22
【解析】解：估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率约为88200=0.22．
故答案为：0.22．
观察表格的数据可以得到杯口朝上的数据，然后用频率估计概率即可求解．
此题主要考查了利用频率估计概率，能用频率估计概率是解决问题的关键．
14.【答案】916
【解析】解：由图得：黄色扇形的圆心角为90°，绿色扇形的圆心角是270°，
∴黄色扇形的面积：绿色扇形的面积=13，
如图，
故让转盘自由转动2次，2次指针都落在绿色区域的概率是916．
故答案为：916．
通过计算转盘的黄色扇形和绿色扇形的面积之比可得到2次指针都落在绿色区域的概率．
本题考查了几何概率：某事件的概率=相应的面积与总面积之比．
15.【答案】n<9
【解析】解：∵抛物线y=x2−6x+n与x轴有两个公共点，
∴(−6)2−4n>0，
解得n<9，
故答案为：n<9．
根据抛物线y=x2−6x+n与x轴有两个公共点，可知b2−4ac>0，从而可以求得n的取值范围．
本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16.【答案】4 3−3
【解析】解：连接BD，延长DC交AB于点F，
由旋转可得：AD=AB，∠DAB=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴BD=AB=AD=8，
∵CA=BC=5，
∴CD是AB的垂直平分线，
∴AF=4，
∴CF= AC2−AF2=3，DF= 3AF=4 3，
∴DC=DF−CF=4 3−3．
故答案为：4 3−3．
连接BD，延长DC交AB于点F，由旋转可得：AD=AB，∠DAB=60°，求出AF=4，由勾股定理求出CF，则可得出答案．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质以及等边三角形的判定与性质是解题的关键．
17.【答案】14
【解析】解：∵y=ax2−8ax=a(x−4)2−16a，
∴函数y=ax2−8ax(a为常数，且a>0)的大致函数图象如图所示，
∵在自变量x的值满足2≤x≤3时，其对应的函数值y的最大值为−3，
∴当x=2时，y最大值=−3，即4a−16a=−3，
解得a=14．
故答案是：14．
根据函数解析式画出函数的大致图象，结合图象解题．
考查了二次函数的最值，解题时，采用了配方法和数形结合的数学思想，使问题变得形象化，简单化．
18.【答案】9 1010
【解析】解：抛物线y=−x2−2x+3与x轴交于A，B，与y轴交于点C，则点A、B、C的坐标分别为(−3,0)、(1,0)、(0,3)，
函数的对称轴为x=−1，故点P(−1,4)，
由点A、P的坐标得，直线AP的表达式为：y=2x+6，设点D(m,2m+6)；
过点E作x轴的平行线交y轴于点N，交过D点与y轴的平行线于点M，
设点E(a,b)，则ME=a−m，DM=2m+6−b，CN=3−b，EN=−a，
∵∠DEM+∠EDM=90°，∠DEM+∠CEN=90°，
∴∠EDM=∠CEN，
∵ED=ED，∠EMD=∠CNE=90°，
∴△EMD≌△CNE(AAS)，
∴CN=ME，DM=EN，
即3−b=a−m，−a=2m+6，
解得：a=−12(3+m)，b=3m+92，故点E(−3+m2,3m+92)，
则AE2=(−3+3+m2)2+(3m+92)2=52m2+12m+452，
当m=−2.4时，AE2取得最小值8.1，
故AE的最小值为9 1010，
故答案为：9 1010．
证明△EMD≌△CNE(AAS)，求出点E(−3+m2,3m+92)，则AE2=(−3+3+m2)2+(3m+92)2=52m2+12m+452，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等等，综合性强，难度较大．
19.【答案】解：(1)画树状图得：

则所有取牌的可能性共有9种；
(2)∵取牌数字之和为偶数的有5种情况，
∴P(甲胜)=59．
【解析】(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
(2)由(1)中的树状图可求得甲胜的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：(1)由于AB是⊙O的直径，所以“不赞成”占调查总人数的50%，
200÷50%=400(人)，
样本中“非常赞成”的人数：400×26%=104(人)，
“基本赞成”的人数为：400−200−104−16=80(人)，
补全的统计图如下：

(2)360°×80400=72°，
答：图②中表示家长“基本赞成”的圆心角的度数为72°；
(3)样本中，被调查的400名家长中，“无所谓”的有16名，
所以随机抽查一个，恰好是“无所谓”态度的家长的概率是16400=125，
答：随机抽查一个，恰好是“无所谓”态度的家长的概率是125．
【解析】(1)根据两个统计图可知，“不赞成”的有200人，占调查人数的50%，可求出调查人数，再求出“基本赞成”的人数，补全统计图；
(2)求出“基本赞成”所占的百分比，进而求出相应圆心角的度数；
(3)根据概率的定义进行计算即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、概率的计算方法，理解两个统计图中数量之间的关系以及概率的定义是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)把A(0,2)，B(1,−3)两点代入二次函数y=x2+bx+c得
c=21+b+c=−3，
解得b=−6，c=2；
(2)由(1)得y=x2−6x+2，
把x=−1代入y=x2−6x+2，得y=1+6+2=9≠4，
点P(−1,4)不在此函数图象上；
(3)由(1)得y=x2−6x+2=(x−3)2−7，
∴该二次函数的对称轴是直线x=3，顶点坐标为(3,−7)．
【解析】(1)已知了抛物线上两点的坐标，可将其代入抛物线中，通过联立方程组求得b、c的值；
(2)将P点横坐标代入抛物线的解析式中，求出相应的纵坐标，即可判断出P点是否在抛物线的图象上；
(3)根据(1)可以写出函数解析式，再化为顶点式，即可得到该二次函数的对称轴及顶点坐标．
本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键．
22.【答案】(1)解：直线EO与AB垂直，
理由是：连接OE，并延长交CD于F，
∵EO过O，E为AB的中点，
∴EO⊥AB；
(2)证明：∵EO⊥AB，AB/​/CD，
∴EF⊥CD，
∵EF过O，
∴CF=DF，
∴EC=ED．
【解析】(1)连接EO，根据垂径定理得出即可；
(2)根据垂径定理求出CF=DF，根据线段垂直平分线性质得出即可．))
本题考查了垂径定理和线段垂直平分线的性质，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
23.【答案】解：(1)由题意可得：销售量=(20+2x)套，
则y=(20+2x)(140−x−100)
=(2x+20)(40−x)
=−2x2+60x+800，
∴y与x的函数关系式为：y=−2x2+60x+800；
(2)由题意可得：当y=1200时，即−2x2+60x+800=1200，
解得：x1=10，x2=20，
∴140−10=130(元)，140−20=120(元)，
答：若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为130元或120元；
(3)由(1)可知：y=−2x2+60x+800=−2(x−15)2+1250，
∵−2<0，
∴当x=15时，y有最大值，最大值为1250，
此时，售价=140−15=125(元)，
答：当每套书销售定价为125元时，书店一天可获得最大利润，最大利润为1250元．
【解析】(1)根据题意先用含有x的式子表示出销售量，然后根据销售利润=销售量×单件利润，即可写出y与x的函数关系式；
(2)根据(1)所求，列出方程−2x2+60x+800=1200，解出x的值，然后再利用140减去x即可算出售价；
(3)把一般式配成顶点式，即可求出当x=15时，y有最大值，然后利用140减去x即可算出售价．
本题主要考查的是一元二次方程以及二次函数的实际应用，解题关键：一是写出函数关系式，二是配成顶点式．
24.【答案】解：(1)∵x=0与x=3时的函数值相等，
∴(t−1)×02+(t+1)×0+2=(t−1)×32+(t+1)×3+2，
解方程，得t=12，
把t=12代入二次函数y=(t−1)x2+(t+1)x+2(t≠1)，
∴二次函数的解析式为：y=−12x2+32x+2．
(2)如图过点P作PD/​/y轴，交BC于点D．
把y=0代入y=−12x2+32x+2，得为：−12x2+32x+2=0，
解，得x1=−1，x2=4，
∴点A(−1,0)，B(4,0)，
又∵C(0,2)
∴直线BC：y=−12x+2，
设点P(a,−12a2+32a+2)，
把x=a代入y=−12x+2，y=−12a+2，
∴点D的坐标为(a,−12a+2)，
∴PD=−12a2+32a+2−(−12a+2)=−12a2+2a，
∴S△PBC=12PD⋅OB=12×(−12a2+2a)×4=−a2+4a=−(a−2)2+4，
当a=2时，S△PBC有最大值，最大值为4，
所以点P的坐标(2,3)，
(3)如图，将AC绕点A顺时针旋转90°得到AC′，则C′(1,−1)，取CC′的中点H，作直线AH交抛物线于P，则∠CAP=45°，
∵A(−1,0)，H(12,12)，
∴直线AH的解析式为y=13x+13，
由y=13x+13y=−12x2+32x+2，解得x=−1y=0或x=103y=139，
∴P(103,139).
【解析】分析：(1)由x=0与x=3时的函数值相等，列方程求出t值即可求解；
(2)利用待定系数法先求出直线BC的解析式，然后过点P作y轴的平行线，交直线BC于点D，用未知数设出点P、D的坐标，即可得到线段PD的长度表达式，以PD为底、OB为高，即可得到△PBC的面积函数关系式，根据函数的性质即可求出△PBC的面积最大时，点P的坐标；
(3)如图，将AC绕点A顺时针旋转90°得到AC′，则C′(1,−1)，取CC′的中点H，作直线AH交抛物线于P，则∠CAP=45°，求出直线AH的解析式，利用方程组即可即可求出点P坐标；
此题考查的内容在二次函数综合题中较为常见，主要涉及了：一次(二次)函数解析式的确定、三角形面积的解法、二次函数的应用等基础知识．抛掷总次数
100
200
300
400
杯口朝上频数
20
42
66
88