备战高考2024年数学第一轮专题复习4.1 切线方程（精练）（提升版）（解析版）

这是一份备战高考2024年数学第一轮专题复习4.1 切线方程（精练）（提升版）（解析版），共39页。试卷主要包含了切线与其他知识的运用等内容，欢迎下载使用。
4.1 切线方程（精练）（提升版）
题组一 斜率与倾斜角


1．（2022·河南·南阳中学）设函数满足，则（       ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】因为，，，
所以，故选：A
2．（2022·山东）（多选）设点P是曲线上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围包含（     ）
A．          B．         C．       D．
【答案】CD
【解析】，，依题意：，，
∵倾斜角的取值范围是，∴，故选：CD.
3．（2022·河南·郑州市第二高级中学）设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，，，，，.
点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，.
，.故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知，则曲线在点处的切线的斜率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对，
求导可得，，得到，所以，
，所以，，
故选D
5．（2022·广东·佛山一中）已知点是曲线上一动点，当曲线在处的切线斜率取得最小值时，该切线的倾斜角为（     ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意得，，所以，当且仅当时成立，所以该切线的倾斜角为：.故选：D.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且，则函数的图象在点处的切线的斜率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】是奇函数，
恒成立，所以，
，，所以，，即，
．故选：A．
7．（2022·重庆市朝阳中学）（多选）如图，是可导函数，直线 l：是曲线在
处的切线，令，其中是的导函数，则(       )

A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】由图可知，f(3)＝1，故A正确；
(3，1)在y＝kx＋2上，故1＝3k＋2，故，故B错误；
，则，故C正确；
，，故D正确.故选：ACD.
题组二 “在型”的切线方程


1．（2022·河南省浚县第一中学）曲线在处的切线方程为（       ）
A．4x－y+8＝0 B．4x+y+8＝0
C．3x－y+6＝0 D．3x+y+6＝0
【答案】B
【解析】因为，所以，所以．
又当时，，故切点坐标为，所以切线方程为．故选：B.
2．（2022·河南）已知，则曲线在点处的切线方程为(       )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵，∴，
，∴，
∴y=f(x)在处的切线方程为：，即．故选：A．
3．（2022·山东枣庄·三模）曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，直线的斜率为，
由题意可得，解得.故选：C.
4．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知奇函数在点处的切线方程为，则（       ）
A．或1 B．或 C．或2 D．或
【答案】D
【解析】由可得，
因为，所以，解得.所以，故切线斜率，
又，所以，解得或，
所以或.故选：D
5．（2022·安徽·蚌埠二中）已知定义域为的函数存在导函数，且满足，则曲线在点处的切线方程可能是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】的定义域为，由可知，是偶函数，
由可知，周期为4，
因为，故关于轴对称，
又因为，所以也是的对称轴，
因为在上存在导函数，所以是的极值点，
即，曲线在点处的切线斜率为0，故切线方程可能为.故选：B.
6．（2022·河南·南阳中学）若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（       ）
A． B．1 C．e D．
【答案】B
【解析】设直线与曲线相切于点，
直线与曲线相切于点，则，且，所以，
，且，所以，
令，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且，，所以当时，，
因为，，即，所以，
所以，故故选：B
7．（2022·江苏连云港）（多选）已知，直线与曲线相切，则下列不等式一定成立的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】设切点为，因为，所以，得，所以，所以，
对于 A，，所以，当且仅当时，等号成立，故A不正确；
对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，，当且仅当，时，等号成立，故C正确；对于D，，
所以 ，当且仅当，又，即时，等号成立.故选：BCD
8．（2022·安徽·蒙城第一中学）已知为奇函数，且当时，，则曲线在点处的切线方程为__________.
【答案】
【解析】因为为奇函数，且当时，，
当时，，
则，所以且，
故切线方程为，即.故答案为：
9．（2022·云南·一模）若曲线在点处的切线与直线平行，则__________.
【答案】
【解析】由题意知，令，则
，，
，
所以点在曲线上，
，
，
，，
，
所以，
又曲线在点处的切线与直线平行，
所以，得.
故答案为：.
10．（2022·全国·高三专题练习）若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则__________.
【答案】
【解析】的导数为，可得曲线在点处的切线方程为，
的导数为，可得曲线在点处的切线的方程为，
由两条切线重合的条件，可得，且，
则，即有，
可得，则.故答案为:
题组三 “过型”的切线方程


1．（2022·广东茂名）已知直线l为函数的切线，且经过原点，则直线l的方程为__________.
【答案】
【解析】设切点坐标为，所以直线l的斜率为，
所以直线l的方程为
又直线l过点，所以，整理得，解得，
所以，直线l的斜率，所以直线l的方程为，故答案为：.
2．（2022·四川成都）已知函数f（x）= x3－3x，则过点（1，－2）的切线方程为__________．
【答案】和
【解析】由函数，则，
当点为切点时，则，即切线的斜率， 所以切线的方程为，
当点不是切点时，设切点，则，即，
解得或（舍去），所以所以切线的方程为，即．
故答案为：和．
3．（2022·四川成都）过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为___________.
【答案】3或
【解析】因为，所以，，
当为切点时，，
当不为切点时，设切点为，，
所以，
所以切线方程为：，
过点，所以
即，即，解得或（舍），
所以切点为，所以，综上所述：直线l的斜率为3或，故答案为：3或
4．（2022·广东·南海中学）函数过原点的切线方程是_______.
【答案】.
【解析】设切点为，，则，
故切点为的切线方程为，
又因此切线过原点，所以，解得，
所以函数过原点的切线方程是，即.故答案为：.
题组五 切线或切点的数量

1．（2022·山东泰安）过曲线外一点作的切线恰有两条，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，过点作曲线C的切线，
设切点，则切线方程为：，
将代入得：
即（*）   由条件切线恰有两条，方程（*）恰有两根．
令，，
显然有两个极值点与，于是或当时，；
当时，，此时经过与条件不符，所以，
故选：A.
2．（2022·内蒙古呼和浩特）若过点可以作三条直线与曲线C：相切，则m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设切点为,过点P的切线方程为,代入点P坐标，化简为，即这个方程有三个不等根即可.
令,求导得：.
令，解得：，所以在上递增；令，解得：或，所以在和上递增.
要使方程有三个不等根即可.
只需,即.
故选：D
3．（2022·重庆·二模）已知曲线及点，则过点且与曲线相切的直线可能有（       ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】BC
【解析】因为，所以，
设切点， 在点处的导数为，
根据导数的几何意义等于切线斜率，以及导数的比值定义式有：
整理得 ，所以，
①当时，可化为，由函数定义域知分母不为0，，
所以只能解得，因此过只能找到一条与曲线相切的直线；
②当时，可化为，
是关于的二次方程，，且两根之积为，
所以所求根之中一定不含0，此时对任意能够找到两个满足条件.
综上所述，过点且与曲线相切的直线可能有1或2条.故选：BC.
4．（2022·福建漳州·二模）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（     ）
A．曲线的切线斜率可以是1
B．曲线的切线斜率可以是
C．过点且与曲线相切的直线有且只有1条
D．过点且与曲线相切的直线有且只有2条
【答案】AC
【解析】因为函数，所以
A.令，得 ，所以曲线的切线斜率可以是1，故正确；
B.令无解，所以曲线的切线斜率不可以是，故错误；
C. 因为在曲线上，所以点是切点，则，
所以切线方程为，即，所以过点且与曲线相切的直线有且只有1条，故正确；
D.设切点，则切线方程为，因为点在切线上，所以，解得，所以过点且与曲线相切的直线有且只有1条，故错误；
故选：AC
5．（2022·山东潍坊·三模）过点有条直线与函数的图像相切，当取最大值时，的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，，故当时，，单调递减，且；当时，，单调递增，结合图象易得，过点至多有3条直线与函数的图像相切，故.

此时，设切点坐标为，则切线斜率，所以切线方程为，将代入得，存在三条切线即函数有三个不同的根，又
，易得在上，，单调递增；在和上，，单调递减，画出图象可得当，即时符合题意
故选：B
6．（2022·全国·模拟预测（理））过点作曲线的切线，当时，切线的条数是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设切点为，
，切线斜率，
切线方程为：；
又切线过，；
设，则，
当时，；当时，；
在，上单调递减，在上单调递增，
又，，恒成立，可得图象如下图所示，

则当时，与有三个不同的交点，
即当时，方程有三个不同的解，切线的条数为条.
故选：D.
7．（2022·全国·高三专题练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
设切点坐标为，由于，因此切线方程为，又切线过点，则，，
设，函数定义域是，则直线与曲线有两个不同的交点，，
当时，恒成立，在定义域内单调递增，不合题意；当时，时，，单调递减，
时，，单调递增，所以，结合图像知，即.
故选：D.
8．（2022·山东·菏泽一中高二阶段练习）若直线与曲线和都相切，则直线的条数有（       ）
A． B． C． D．无数条
【答案】C
【解析】设直线因为直线与曲线和都相切
所以对于曲线，，，切点
对于曲线，，，切点
因为公切线过A、B两点
所以
进而可得
令

因为，均为增函数，又因为，
所以存在使得即
所以在时单调递减，在单调递增，
又因为
所以
当时，
因为，所以所以在内存在使得直线与曲线和都相切
当时，
因为，所以所以在内存在使得直线与曲线和都相切
所以综上所述，存在两条斜率分别为的两条直线与曲线和都相切
故选：C
9．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）若直线（）为曲线与曲线的公切线，则l的纵截距（       ）
A．0 B．1 C．e D．
【答案】D
【解析】设l与的切点为，则由，有.
同理，设l与的切点为，由，有.
故 解得 或 则或.
因，所以l为时不成立.故，
故选：D.
10．（2021·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选：D.
11．（2022·河北·高三阶段练习）若过点可以作三条直线与曲线相切，则m的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，则，设切点为，则切线斜率
则在点的切线方程为，
代入点P坐标得
整理为，即这个方程有三个不等式实根，
令，则 ，
令则
函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
故得，即，
故选：D．
12．（2022·广东深圳·二模）已知，若过点可以作曲线的三条切线，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设切点为，切线方程为，由，所以，所以，
则，所以，
令，则，
因为，所以当或时，当时，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以当时取得极大值，当时取得极小值，即，，
依题意有三个零点，所以且，即；故选：B
13．（2022·辽宁·辽师大附中）已知过点P(0，a)可作出曲线y=2x3–3x2的3条不同的切线，则实数a的取值范围是_______________ .
【答案】
【解析】函数,求导得,设切点为，
可得切线方程为，
又切线过点P(0，a)代入得，即
，由题意可得此方程有三个根，
令，，
当或时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
可得函数的极大值为，极小值为，若方程有三个根即函数的图象与x轴有三个交点，只需满足，即，故答案为：.
14．（2022·陕西·长安一中）已知函数，若过点存在三条直线与曲线相切，则的取值范围为___________．
【答案】
【解析】，
设过点的直线与曲线相切于点，
则，
化简得，，令，
则过点存在三条直线与曲线相切等价于y=g(x)与y=-m-2的图像有三个交点．
∵，
故当x1时，，g(x)单调递增；当0