备战高考2024年数学第一轮专题复习3.4 对数运算及对数函数（精讲）（提升版）（解析版）

这是一份备战高考2024年数学第一轮专题复习3.4 对数运算及对数函数（精讲）（提升版）（解析版），共17页。试卷主要包含了对数运算，对数函数的单调性，对数函数的值域，对数式比较大小，解对数式不等式，对数函数的定点等内容，欢迎下载使用。
3.4 对数运算及对数函数（精讲）（提升版）
考点一 对数运算【例1】（2022·全国·高三专题练习）化简求值（1）；（2）；.（3）；．（4）.【答案】（1）1；（2）1；（3）4；（4）2.【解析】（1）；（2）；（3）；（4）【一隅三反】（2022·全国·高三专题练习）化简求值：（1）．
（2）；（3）.（4）（5）．【答案】（1）5；（2）3；（3）0；（4）3；（5）.【解析】（1） ；（2）；（3）；（4）；（5）
．考点二 对数函数的单调性【例2-1】（2022·全国·高三专题练习）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，函数定义域满足：，解得，在上单调递减，根据复合函数单调性知，在单调递减，函数对称轴为，故，解得.故选：C.【例2-2】（2022·天津·南开中学二模）已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】当函数是R上的单调递减函数，所以，解得，因为且，所以当时，不可能是增函数，所以函数在R上不可能是增函数，
综上：实数a的取值范围为，故选：B【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间为____________．【答案】【解析】由得，所以函数的定义域为.令，则，，开口向上，对称轴为，所以在上递增，在定义域内单调递增，所以)在上单调递增，所以函数的单调递增区间是.故答案为：.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝lg(x2－2x－3)在(－∞，a)单调递减，则a的取值范围是（       ）A．(－∞，－1] B．(－∞，2] C．[5，＋∞) D．[3，＋∞)【答案】A【解析】是增函数，在上递减，在递增，因此在上递减，则有，解得．故选：A．3．（2021·天津市武清区大良中学高三阶段练习）若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是_______【答案】【解析】由，在R上单调递增，∴在上递增，在上也递增，
由增函数图象特征知：不能在点上方，综上， ，解得，∴实数a的取值范围是.故答案为：.4．（2022·河北）已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围_____．【答案】【解析】令，因为外层函数为减函数，则内层函数在区间上是减函数，所以，，解得.故答案为：.考点三 对数函数的值域（最值）【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值为（       ）A． B． C． D．0【答案】A【解析】由题意知的定义域为.所以，，，时等号成立．故选：A.【例3-2】（2022·四川·宜宾市教科所三模）若函数的值域为，则的取值范围是(       )A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，f(x)=，当时，f(x)=，
故要使的值域是，则0≤≤1，解得．故选：C．【例3-3】（2022·重庆·模拟预测）若函数有最小值，则实数a的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】依题意且，所以，解得或，综上可得，令的根为、且，，，若，则在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；若，则在定义域上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在取得最小值，所以；故选：A【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则的值域为（       ）A． B． C． D．
【答案】B【解析】因为，，所以的定义域为，解得，所以该函数的定义域为；所以，所以，所以，当时，，当时，，所以；所以函数的值域是．故选：B．2．（2022·全国·高三专题练习）若函数且的值域为，则的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，，，当时，，∵函数的值域为，∴，又，∴，即，∴的取值范围为.故选：D．3．（2022·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题可知，函数的值域包含，当时，符合题意；当时，则，解得；当时，显然不符合题意，故实数的取值范围是．
故选：A.4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，又函数的值域为R，则，解得．故选：C．考点四 对数式比较大小【例4-1】（2022·江苏常州·模拟预测）已知，则正确的大小顺序是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，因为，所以，所以.故选：B.【例4-2】（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））设，则（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，则，因为函数在上递增，所以函数在上递增，所以，所以函数在上递增，所以，即，即，
令，令，令，则，所以函数在上递增，所以，所以，故，即，所以，综上所述，.故选：D.【一隅三反】1．（2022·浙江·模拟预测）己知实数，且，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由可得，因为在上单调递增，且，，所以，即，其次，，所以，又因为且单调递增，所以由可知，综上，．故选：A2．（2022·全国·模拟预测）定义在R上的函数满足，当时，，设，，，则a，b，c的大小关系是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由知： 关于直线x=1对称.当时，，由复合函数的单调性知：在上单调递增.又，
而，，，所以.故选：D.3．（2022·浙江金华·三模）若函数，设，，，则下列选项正确的是（          ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题可知，故，∴函数为偶函数；易知，当时，在为单调递增函数；又，∴，同理，；又，，故，故.故选：A.4．（2022·广东佛山·三模）（多选）已知，则下列不等式成立的是（       ）A． B． C． D．【答案】BC【解析】选项A：由，可得，则，，则，则.判断错误；选项B：由，可得为上减函数，又，则.判断正确；
选项C：由，可知为R上减函数，又，则由，可知为上增函数，又，则，则又为上增函数，则，则.判断正确；选项D：令，则，，则，即.判断错误.故选：BC考点五 解对数式不等式【例5-1】（2022·河南濮阳）已知函数是R上的偶函数，且在上恒有，则不等式的解集为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为函数是R上的偶函数，所以关于直线对称，在上恒有，当时，，所以在单调递减，在单调递增，不等式需满足，解得.故选：C．【例5-2】（2022·湖北·二模）已知函数，则使不等式成立的x的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】由得定义域为，，故为偶函数，而，在上单调递增，故在上单调递增，
则可化为，得解得故选：D 【一隅三反】1．（2021·河南·高三阶段练习（理））设函数，则不等式的解集为（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】依题意，当时，由得：，解得，则，当时，由得： ，即0<x-1≤2，解得，则，所以不等式的解集为.故选：A2．（2021·江西·奉新县第一中学高三阶段练习（理））已知函数，若，则实数a的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题可知且，，令，则且定义域为关于原点对称，即为奇函数， 函数与在上均单调递增，
与在上单调递增，在上单调递增，即在上也单调递增且，又为奇函数，在上单调递增，不等式等价于，，在R上单调递增，，解得， 实数a的取值范围是，故选：A.3．（2021·安徽·高三阶段练习（理））已知函数，则不等式的解集为（        ）A． B．C． D．【答案】B【解析】当时，，，且在上递增，当时，，，且在上递增，所以在上有，且函数是上的增函数，于是原不等式可化为，，，得解得，故选：B考点六 对数函数的定点【例6】（2021·四川·德阳五中）若函数的图象经过定点，且点在角
的终边上，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于函数，令，解得，所以，所以函数恒过定点，又点在角的终边上，所以，所以；故选：A【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（且）的图象过定点，且角的终边经过，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，所以，所以，.故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）已知正数，，函数（且）的图象过定点，且点在直线上，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意知，代入直线的方程得，其中，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为9.故选: D .3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列为等比数列，函数过定点，，数列的前项和为，则（       ）
A．44 B．45 C．46 D．50【答案】B【解析】函数过定点，，，等比数列的公比，，，数列的前项和为，则，故选：B