备战高考2024年数学第一轮专题复习3.4 对数运算及对数函数（精练）（提升版）（解析版）

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3.4 对数运算及对数函数（精练）（提升版）
题组一 对数运算

（2022·河南·节选）求值：
(1).
(2).
(3)；
(4).
（5）2log32－log3＋log38－；
（6）(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．
（7）lg25＋lg2＋lg＋lg(0.01)－1；
（8）(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25；
（9(log32＋log92)·(log43＋log83)；
（10）2log32－log3＋log38－3log55；
【答案】(1)（2）-1 (3)1 (4)2.（5）－1；（6）13. （7）；（8）2；（9）；（10）－1.
【解析】(1)原式.
(2)
（3）原式=.
（4）原式===2.
（5）原式＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.
（6）原式
.
（7）原式＝
（8）原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.
（9）(log32＋log92)·(log43＋log83)＝·＝·
＝·＝.
（10）2log32－log3＋log38－3log55＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3＝log3(22×32×2－5×23)－3
＝log332－3＝2－3＝－1.
题组二 对数函数的单调性

1．（2022·河南）已知函数，则（       ）
A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减
C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减
【答案】D
【解析】对于，有，解得，
∴的定义域为，关于原点对称.

函数为偶函数.
，内层函数在上为减函数，外层函数为增函数，
函数在上为减函数.故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知函数在区间，上是增函数，则实数可取（       ）
A．0 B． C． D．
【答案】BC
【解析】因为时，恒成立，所以，所以 ,为负数，
因为函数在上是增函数，所以要使在上是增函数，
则需函数是减函数，所以，所以，实数的取值范围为，故选：BC.
3．（2021·福建·高三阶段练习）（多选）已知函数（且）在上单调递减，且关于的方程有个不相等的实数解，则的取值可以是（       ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】因为是上单调递减函数，
所以即，所以，
作出函数与的图象，如图：

由图知：方程在上只有一解，
因为方程有个不相等的实数解，
则在只有一解，所以，可得
所以实数的取值范围为，故选项AB正确；故选：AB.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知在区间上单调递减，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】由题可知，在区间上单调递减，
设，而外层函数在定义域内单调递减，
则可知内层函数在区间上单调递增，
由于二次函数的对称轴为，
由已知，应有，且满足当时，，
即，解得：，所以实数的取值范围是.故答案为：.
5．（2022·四川·石室中学三模）若函数在区间上是单调增函数，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】由函数在区间上是单调增函数，只需
函数在上是单调增函数，且当时恒成立，所以满足解得．故答案为：
6．（2022·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝ln(ax2＋x)在区间(0，1)内单调递增，则实数a的取值范围为________.
【答案】
【解析】若函数f(x)＝ln(ax2＋x)在区间(0，1)内单调递增，
即函数g(x)＝ax2＋x在(0，1)内单调递增，
当a＝0时，g(x)＝x在(0，1)内单调递增，符合题意，
当a>0时，g(x)的对称轴，g(x)在(0，1)内单调递增，符合题意，
当a