第4练 二倍角公式及应用《2024新高考数学一轮复习同步精练之三角函数与解三角形》（解析版）

第4练   二倍角公式及应用

一、单选题

1．（2023·全国·统考高考真题）已知为锐角，，则（    ）．

A． B． C． D．

2．（2023春·江苏镇江·高一校考期中）已知，则（    ）

A． B． C． D．

3．（2023春·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习）已知，则（    ）

A． B． C． D．

4．（2023春·江苏泰州·高一统考期中）《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔.”意谓：“取竹空这一望筒，当望筒直径d是一寸，筒长l是八尺时（注：一尺等于十寸），从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔.”如图所示，O为竹空底面圆心，则太阳角∠AOB的正切值为（    ）

A． B． C． D．

5．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则（    ）

A． B． C． D．或

6．（2023·全国·高三专题练习）若，则＝（    ）

A．－ B． C．－ D．

7．（2023·全国·高三专题练习）下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（    ）

A． B．

C． D．

8．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）已知，则（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．（2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测）已知函数，则（    ）

A．的最大值为3 B．的最小正周期为

C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递减

10．（2023春·山西晋城·高一晋城市第一中学校校考期中）已知函数，则（    ）

A．与均在单调递增

B．的图象可由的图象平移得到

C．图象的对称轴均为图象的对称轴

D．函数的最大值为

11．（2023·全国·高三专题练习）在中，若，则（    ）

A． B．

C． D．

12．（2023·全国·高三专题练习）给出下列说法，其中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则的最小值为2 D．若，则的最小值为2

13．（2023秋·江西新余·高二新余市第一中学校考开学考试）若函数，则（    ）

A．函数的一条对称轴为

B．函数的一个对称中心为

C．函数的最小正周期为

D．若函数，则的最大值为2

14．（2023·全国·高三专题练习）已知复数，，下列说法正确的是（    ）

A．若纯虚数，则

B．若为实数，则，

C．若，则或

D．若，则m的取值范围是

三、填空题

15．（2023春·湖北武汉·高一校联考期中）锐角满足，则            .

16．（2023春·山东淄博·高一校考阶段练习）已知，则的值为          ．

17．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的值为           .

18．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则          ．

四、解答题

19．（2023春·天津北辰·高一校考期中）中，角，，所对的边分别为，，，且.

(1)求角的大小；

(2)若，求的值.

20．（2023春·江西·高一赣州市第四中学校考期末）在中，角的对边分别为，.

(1)若，求；

(2)若，点在边上，且平分，求的面积.

参考答案：

1．D

【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．

【详解】因为，而为锐角，

解得：．

故选：D．

2．B

【分析】根据三角恒等变换公式求解.

【详解】

所以，

所以

故选:B.

3．A

【分析】由已知利用二倍角公式和两角差的正弦公式，化简已知等式可得，结合，利用二倍角公式可求出.

【详解】，

，

得，

得，

可得，

，，，

又，

得，

解得.

故选：A

4．A

【分析】根据题意，结合正切的二倍角公式进行求解即可.

【详解】由题意可知：，，

所以.

故选：A.

5．B

【分析】根据二倍角正弦公式和正余弦齐次式的求法可构造方程求得可能的取值，结合的范围可求得结果.

【详解】，或，

，，则.

故选：B.

6．C

【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的余弦公式化简计算作答.

【详解】依题意，，所以.

故选：C

7．C

【分析】结合二倍角、辅助角及和差角公式对选项进行化简，再计算周期比较即可.

【详解】对于选项A，，∴

选项B：且，∴

对于选项C，，∴

对于选项D，，∴,

故选：C.

8．B

【分析】根据，结合二倍角的余弦公式及诱导公式计算即可.

【详解】解：因为，

所以，

所以.

故选：B.

9．BC

【分析】首先利用诱导公式和二倍角公式、辅助角公式化简，再利用正弦函数的性质逐一检验四个选项的正误即可求解.

【详解】

所以的最大值为，故选项A不正确；

的最小正周期为，故选项B正确；

因为，解得：，所以直线是的图象的对称轴，故选项C正确；

令，解得：，

所以在区间和单调递减，在上单调递增，故选项D不正确，

故选：BC.

10．AD

【分析】根据二倍角正弦公式、辅助角公式，结合正弦型函数的单调性、平移的性质、对称性、换元法逐一判断即可.

【详解】，

当时，，，显然、都是的子集，所以函数与均在单调递增，因此选项A正确；

函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，因为左右、上下平移不改变正弦型函数的最小正周期，故选项B不正确；

由，所以函数的对称轴为，

函数的对称轴为，

显然当为奇数时，图象的对称轴不为图象的对称轴，因此选项C不正确；

令，

所以，因为，

所以当时，该函数有最大值，因此选项D正确，

故选：AD

11．ABD

【分析】对于选项A，由三角形大边对大角和正弦定理可判断；

对于选项B，由余弦函数单调性可判断；

对于选项C，由正弦的二倍角公式可判断；

对于选项D，由余弦的二倍角公式可判断

【详解】在中，若，由三角形中大边对大角，可得，又由正弦定理，可知，故A选项正确；

又由余弦函数在上单调递减，可知，故B选项正确；

由和，当时，，所以，故C选项错误；

由，，由A选项可知正确，故D选项正确.

故选：ABD

12．AC

【分析】A、B利用二倍角余弦、正切公式求值判断；C、D根据的区间单调性求最小值即可判断.

【详解】A：，正确；

B：因为，所以或，错误；

令，易知在上单调递减，在上单调递增，

当时，的最小值为2，当时，的最小值为，C正确，D错误.

故选：AC

13．ACD

【分析】根据三角函数的同角关系和二倍角的正、余弦公式化简可得，结合余弦函数的性质依次判断选项即可.

【详解】由题意得，

.

A：当时，，又，

所以是函数的一条对称轴，故A正确；

B：由选项A分析可知，所以点不是函数的对称点，故B错误；

C：由，知函数的最小正周期为，故C正确；

D：，所以，故D正确.

故选：ACD．

14．ABC

【分析】根据复数的相关概念，列出相应的等式或方程，求得参数，即可判断答案.

【详解】对于A，复数是纯虚数，则，A正确；

对于B，若为实数，则，则，，B正确；

对于C，若，则，则，

解得或，C正确；

对于D，若，则，且，则，D错误，

故选：ABC

15．

【分析】利用二倍角公式和诱导公式实现角之间的转化，代入数值即可求得结果.

【详解】由题意可知，，

又，且为锐角，所以，

即.

故答案为：

16．

【分析】根据利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得.

【详解】因为，

所以

.

故答案为：

17．

【分析】根据二倍角的余弦公式，结合角的范围，即可求得结果．

【详解】因为，所以，即，

又，所以.

故答案为：.

18．

【分析】法一：利用三角函数的定义求出、的值，再利用二倍角的正弦公式计算可得结果；

法二：利用三角函数的定义求出的值，利用二倍角的正弦公式以及弦化切可求得所求代数式的值.

【详解】法一：由三角函数的定义可知，，

所以；

法二：因为角的终边经过点，所以，

所以．

故答案为：.

19．(1)

(2)

【分析】（1）由余弦定理可得，再由正弦定理将边化角，即可得到，从而求出，即可得解；

（2）用同角三角函数的基本关系求出，即可求出、，再根据两角差的正弦公式计算可得.

【详解】（1）由余弦定理，则，

又，所以，即，

由正弦定理可得，因为，

所以，则，又，所以.

（2）因为，，所以，

所以，，

所以.

20．(1)

(2)

【分析】（1）利用两角和、差的余弦公式求出，由诱导公式求出，即可求出，最后由计算可得；

（2）利用二倍角公式求出，再由求出，最后由面积公式计算可得.

【详解】（1）因为，

则，，

又，，则，

又，所以，

则.

（2）由（1）知，则，

由得，

即，

则，即，解得，

所以的面积.