新高考数学一轮复习 专项分层精练第22课 二倍角公式（2份打包，原卷版+解析版）

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【一层练基础】
一、单选题
1．（2022秋·江苏扬州·高三校考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】利用余弦的和差公式对原式进行展开，平方后再利用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，去进行整理可得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，平方后可得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
2．（2023·全国·统考高考真题）已知 SKIPIF 1 < 0 为锐角， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 为锐角，
解得： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
3．（2023春·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】由已知利用二倍角公式和两角差的正弦公式，化简已知等式可得 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，利用二倍角公式可求出 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
4．（2022秋·江苏南京·高二南京师大附中校考开学考试）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，再代入 SKIPIF 1 < 0 ，结合诱导公式与二倍角公式求解即可
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
故选：C
二、多选题
5．（2023·全国·模拟预测）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【分析】利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】选项A：由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 为锐角，
且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
选项B：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
选项C：因为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以C正确；
选项D：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以D正确．
故选：BCD
6．（2023·全国·高三专题练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 ，则关于 SKIPIF 1 < 0 的性质说法正确的有（ ）
A．偶函数B．最小正周期为 SKIPIF 1 < 0
C．既有最大值也有最小值D．有无数个零点
【答案】CD
【分析】根据二倍角的余弦公式，结合正弦函数的单调性、周期的定义、偶函数的定义、零点的定义逐一判断即可.
【详解】A：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以该函数不是偶函数，因此本选项说法不正确；
B：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以该函数最小正周期不是 SKIPIF 1 < 0 ，因此本选项说法不正确；
C：因为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，该函数有最大值，当 SKIPIF 1 < 0 时，该函数有最小值，因此本选项说法正确；
D： SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，因此本选项说法正确，
故选：CD
7．（2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最大值为3B． SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称D． SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
【答案】BC
【分析】首先利用诱导公式和二倍角公式、辅助角公式化简 SKIPIF 1 < 0 ，再利用正弦函数的性质逐一检验四个选项的正误即可求解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项A不正确；
SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的图象的对称轴，故选项C正确；
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故选项D不正确，
故选：BC.
三、填空题
8．（2022·全国·高三专题练习）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】先求得 SKIPIF 1 < 0 ，再去求 SKIPIF 1 < 0 的值即可解决.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
9．（2023春·江苏·高一期中）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用诱导公式，二倍角的余弦公式求解作答.
【详解】因 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题
10．（2023春·河南南阳·高一校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值和 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的单调递增区间．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据 SKIPIF 1 < 0 代入求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的性质计算可得；
（2）由正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【二层练综合】
一、单选题
1．（2019·全国·高考真题）已知 SKIPIF 1 < 0 ∈（0， SKIPIF 1 < 0 ），2sin2α=cs2α+1，则sinα=
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故选B．
【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．
二、多选题
2．（2023春·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习）下列四个等式正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【分析】根据两角和的正切可判断A的正误，根据同角的三角函数基本关系式及诱导公式可判断B的正误，根据倍角公式可判断C的正误，根据辅助角公式可判断D的正误.
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，所以A正确；
∵设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误.
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以C错误，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以D正确，
故选：AD．
三、填空题
3．（2023·四川·校联考模拟预测）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】先求得 SKIPIF 1 < 0 ，然后求得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题
4．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
(1)求角 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用诱导公式和二倍角公式化简得 SKIPIF 1 < 0 ，再判断得 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解得 SKIPIF 1 < 0 ；（2）由余弦定理求解得 SKIPIF 1 < 0 ，再由正弦定理以及 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而解得 SKIPIF 1 < 0 ，然后计算 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 面积的和即可.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
（2）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为
SKIPIF 1 < 0
【三层练能力】
一、多选题
1．（2022秋·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0
B．函数 SKIPIF 1 < 0 是一个偶函数，也是一个周期函数
C．直线 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的一条对称轴
D．方程 SKIPIF 1 < 0 有且仅有一个实数根
【答案】ABD
【分析】利用函数 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性、周期性分析判断A，B；利用对称的性质验证判断C；利用零点存在性定理分析判断D作答.
【详解】显然， SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，
又 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 是周期函数， SKIPIF 1 < 0 是它的一个周期，B正确；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的取值集合是 SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的取值集合是 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的取值集合是 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的周期，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
因 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 图象上的点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 不在此函数图象上，C不正确；
因当 SKIPIF 1 < 0 时，恒有 SKIPIF 1 < 0 成立，而 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上无零点，
又当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的值与 SKIPIF 1 < 0 的值异号，即方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上都无零点，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，于是得存在唯一 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有唯一实根，则方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有唯一实根，又 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以方程 SKIPIF 1 < 0 有且仅有一个实数根，D正确.
故选：ABD
【点睛】结论点睛：函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为D， SKIPIF 1 < 0 ，存在常数a使得 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称.
二、填空题
2．（2022·高二单元测试）若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内单调递增，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】求出函数 SKIPIF 1 < 0 的导数，由给定条件可得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，再分类讨论作答.
【详解】因函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 成立， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取“=”，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取“=”，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
综上得， SKIPIF 1 < 0
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.