广东省东莞市东华高级中学、东华松山湖高级中学2023-2024学年高二数学上学期10月联考试题（Word版附答案）

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2023—2024学年第一学期高二年级10月联考数学试题

一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知复数在复平面上对应的点为，则（    ）

A.  B.

C.  D. 是纯虚数

2. 设是两个不共线的向量，且与共线，则实数λ＝（    ）

A. －1 B. 3 C.  D.

3. 在平面内，已知直线方向向量为，则该直线的斜率为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 设直线l的斜率为k，且，直线l的倾斜角α的取值范围为（　　）

A.  B.

C.  D.

5. 在中，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

6 若，，，且，，共面，则（    ）

A. 1 B. -1 C. 1或2 D.

7. 在正方体中，与平面所成角的正弦值是（    ）

A.  B.  C.  D. 1

8. 在正四棱台中，，且三棱锥的体积为，则该正四棱台的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知向量，若，则x的值可为（    ）

A. －2 B. －1 C. 0 D. 1

10. 若三点共线，则m的值为（    ）

A －2 B. －13 C. 2 D. 13

11. 若，，，则关于事件A与B的关系正确的是（    ）

A. 事件A与B互斥 B. 事件A与B不互斥

C. 事件A与B相互独立 D. 事件A与B不相互独立

12. 已知正方体的棱长为1，点P满足，其中，，点E、F分别是、的中点，下列选项不正确的是（    ）

A. 当时，的面积为定值

B. 当时，三棱锥的体积为定值

C. 存在使得与平面所成的角为

D. 当时，存在点P，使得平面

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率是________．

14. 在空间直角坐标系Oxyz（O为坐标原点）中，点关于x轴的对称点为点B，则____________．

15. 已知S，A，B，C是球O表面上的点，平面，则球O的表面积是_______；

16. 在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是___________.

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知向量，.

（1）求的值；

（2）求向量与夹角的余弦值.

18. 如图，三棱柱中，M，N分别是上点，且．设，，．

（1）试用，，表示向量；

（2）若，求MN的长．

19. 已知直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，点在线段上，满足，直线为原点的斜率为．

（1）求的值；

（2）设点与点关于轴对称，为线段的中点，求证：．

20. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛；从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求频率分布直方图中a的值；

（2）求样本成绩的第75百分位数；

（3）已知落在的平均成绩是51，方差是7，落在的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．

21. 已知的内角，，所对的边分别为，，，从下面两个条件中任选一个作答

①；②．

（1）求；

（2）若，为中点，求的最大值

22. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，在菱形中，，，平面平面，，分别是线段、的中点.

（1）求证：平面；

（2）若点为棱的中点，求点到平面的距离；

（3）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.

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2023—2024学年第一学期高二年级10月联考数学试题

一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

【1题答案】

【答案】D

【2题答案】

【答案】D

【3题答案】

【答案】A

【4题答案】

【答案】D

【5题答案】

【答案】D

【6题答案】

【答案】A

【7题答案】

【答案】B

【8题答案】

【答案】D

二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）

【9题答案】

【答案】AC

【10题答案】

【答案】CD

【11题答案】

【答案】BC

【12题答案】

【答案】ACD

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

【13题答案】

【答案】

【14题答案】

【答案】

【15题答案】

【答案】

【16题答案】

【答案】

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

【17题答案】

【答案】（1）；   

（2）.

【18题答案】

【答案】（1）   

（2）

【19题答案】

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【20题答案】

【答案】（1）0.030   

（2）84    （3）两组市民成绩的总平均数是59，总方差是37

【21题答案】

【答案】（1）   

（2）

【22题答案】

【答案】（1）证明见解析   

（2）