广东省东莞市东华高级中学2022-2023学年高一数学上学期期中试题（Word版附解析）

高一数学适应性检测试题

一、单选题

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由交集的定义即可得解.

【详解】因为，所以由交集的定义可知.

故选：C.

2. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】根据存在量词命题的否定得出结果.

【详解】命题“，”的否定为，.

故选：D.

3. 已知，，则是的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】因为“”“”，“”“”，

所以，是的充分不必要条件.

故选：A.

4. 不等式的解集是（    ）

A. 或 B. 或

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.

【详解】因为，所以，

即不等式的解集是.

故选：D.

5. 已知函数则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由分段函数概念，代入对应解析式求解即可.

【详解】∵

∴.

故选：A.

6. 已知函数在区间上是增函数，则的取值范围（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由区间单调性及二次函数性质求参数范围即可.

【详解】由开口向上且对称轴为，在上增函数，

所以，即.

故选：A

7. 若正数满足，则最小值是（    ）

A. 2 B.  C. 4 D.

【答案】C

【解析】

【分析】由得，代入后利用基本不等式即可求解.

【详解】因为正数满足，所以，则，

所以，

当且仅当，即时，等号成立.

故选：C.

8. 我们用符号表示三个数中较大的数，若，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分别联立方程求得交点坐标，画出函数的图像，数形结合即可得解.

【详解】解：联立，解得，

联立，解得或，

联立，解得或，

作出函数的图象如图：

由图可知，则的最小值为.

故选：C.

二、多选题

9. 下列说法正确的是（    ）

A. 方程的解集中有两个元素 B.

C. 2 D.

【答案】CD

【解析】

【分析】利用集合元素的性质、元素与集合的关系判断作答.

【详解】对于A，方程有等根1，因此方程的解集中只有1个元素，A错误；

对于B，0是自然数，B错误；

对于C，2是最小的质数，C正确；

对于D，是正分数，是有理数，D正确.

故选：CD

10. 下列命题不正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于A，举例判断，对于BCD，利用不等式的性质判断

详解】对于A，若，则，所以A错误，

对于B，当时，则不等式性质可得，所以B错误，

对于C，当，时，，所以C错误，

对于D，若，则由不等式的性质可得，所以D正确，

故选：ABC

11. 已知函数的值域是，则其定义域可能是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据二次函数的性质对各选项逐一验证即可.

【详解】函数，

当定义域是时，函数单调递减，

当时，，当时，，故其值域为，不合题意；

当定义域是时，函数单调递减，

当时，，当时，，故其值域为，符合题意；

当定义域是时，函数在单调递减，在单调递增，

当时，，当时，，故其值域为，符合题意；

当定义域是时，函数单调递增，

当时，，当时，，故其值域为，不合题意.

故选：BC.

12. 设正实数x，y满足，则（       ）

A. 的最大值是 B. 的最小值是9

C. 的最小值为 D. 的最小值为2

【答案】BC

【解析】

【分析】根据基本不等式一一求解最值即可.

【详解】对于A， ，，

当且仅当，即，时等号成立，故A错误；

对于B，，

当且仅当即时等号成立，故B正确；

对于C，由A可得，又，，当且仅当，时等号成立，故C正确；

对于D，，

所以，当且仅当，时等号成立，故D错误；

故选：BC.

三、填空题

13. 命题“”的否定是__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求解.

【详解】命题“”的否定是“”，

故答案为：

14. 已知函数，，则该函数的值域为___________．

【答案】

【解析】

【分析】利用二次函数的性质即可得解.

【详解】函数的图像为抛物线，开口向上，对称轴为，

故其在区间上单调递减，在上单调递增，

当时取得最小值，没有最大值，无限接近于，

所以该函数的值域为.

故答案为：

15. 若函数在上为减函数，在上为增函数，则________.

【答案】

【解析】

【分析】根据条件求得函数的对称轴，从而得到的值，进而求得.

【详解】因为函数在上为减函数，在上为增函数

所以的图象的对称轴为，解得：，

则，

所以，

故答案为：.

16. 已知，则的解析式为______.

【答案】

【解析】

【分析】利用换元法求解解析式即可.

【详解】，令，则，

所以，

所以.

故答案为：.

四、解答题

17. 已知集合，，求：

（1）；

（2）；

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）（2）应用集合的交、补运算求集合即可.

【小问1详解】

；

【小问2详解】

由或，故.

18. 求下列不等式的解集.

（1）；

（2）；

（3）.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】根据一元二次不等式的解法计算即可.

【小问1详解】

原不等式，解之得，

即不等式的解集为；

【小问2详解】

原不等式，显然不等式无解，

即不等式的解集为；

【小问3详解】

原不等式，显然不等式在时恒成立，

即不等式的解集为.

19. 根据定义证明函数在区间上单调递增.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】根据函数单调性的定义创建相关不等式证明即可.

【详解】，，且，有

.

由，，得，，所以，，

又由，得，于是，即.

所以，函数在区间上单调递增.

20. （1）已知是二次函数，且满足，，求解析式；

（2）已知，求的解析式.

（3）若对任意实数x，均有，求的解析式.

【答案】（1） ；（2）．（3）

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法即可得到解析式；

（2）利用配凑法或换元法即可得到解析式；

（3）利用方程组法即可得到解析式.

【详解】（1）令 ，

因为，所以，则．

由题意可知：

，

得，所以．

所以.

（2）法一：配凑法

根据．

可以得到．

法二：换元法

令，则，

．

.

（3）因为①，

所以②，

由①②得：，

解得：.

21. 某公司生产某种产品，其年产量为x万件时利润为万元.

（1）当时，年利润为，若公司生产量年利润不低于400万时，求生产量x的范围；

（2）在（1）的条件下，当时，年利润为.求公司年利润的最大值.

【答案】（1）   

（2）480万元

【解析】

【分析】（1）令，解之即可；

（2）根据二次函数的性质和基本不等式即可得解.

【小问1详解】

当时，令，

即，解得：，

所以生产量x的范围是；

【小问2详解】

当时，，

则，

当时，，

当且仅当时，等号成立，

则此时最大值为万元，

综上，公司年利润的最大值为480万元.

22. 设．

（1）若不等式有实数解，求实数a的取值范围；

（2）解关于的不等式．

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）分别讨论时，不等式解得情况即可得解；

（2）分类讨论解含参数的二次不等式即可.

【小问1详解】

依题意，有实数解，即不等式有实数解，

当时，有实数解，则，

当时，取，则成立，

即有实数解，于是得，

当时，二次函数的图象开口向下，

要有解，当且仅当，从而得，

综上，，所以实数的取值范围是；

【小问2详解】

不等式，

当时，，

当时，不等式可化，而，解得，

当时，不等式可化为，

当，即时，，

当，即时，或，

当，即时，或，

所以，当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集为，