浙江省杭州第二中学2022-2023学年高一数学上学期期中试题（Word版附解析）

杭州二中2022学年第一学期高一年级期中考数学试卷

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用交集的定义即可求解.

【详解】由题意可知，.

故选：C.

2. 命题“，”的否定是（    ）

A ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】A

【解析】

【分析】写出该命题的否定即可.

【详解】“，”的否定是“，”.

故选：A

3. 已知函数定义域为为常数，则“”是“为在上最大值”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据必要不充分条件及函数最值的定义，即可判断.

【详解】由函数的最值的定义知，由，

无法推出为在上最大值，而为在上最大值，

则必有.

故选：B

4. 已知使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则不等式的解集是的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解.

【详解】解：由得，

因为使不等式成立的任意一个，都满足不等式

则不等式的解集是的子集，

又由得，

当，，符合；

当，，则，，

当，，符合，

故实数的取值范围为.

故选：C.

5. 已知函数为R上的偶函数，对任意，，均有成立，则满足的x的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用单调性的定义得到在上单调递减，再结合偶函数的性质得到，解不等式即可.

【详解】因为对任意，，均有，所以在上单调递减，又为R上的偶函数，，所以，即，解得.

故选：A.

6. 某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图），现测得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（    ）

A. 11分钟 B. 12分钟 C. 15分钟 D. 20分钟

【答案】C

【解析】

【分析】先利用待定系数法求出和时，关于的函数关系式，再求出时，的值，然后结合函数图象即可得出答案．

【详解】当时，设，

将点代入得：，解得，

则此时，

当时，设，

将点代入得：，

则此时，

综上，，

当时，，解得，

当时，，解得，

则当时，，

所以此次消毒的有效时间是（分钟），

故选：C．

7. 已知正实数a，b满足，则下列表达式中存在最小值的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】对于A，C，利用基本不等式逐一判断即可求解；

对于B，D，根据已知条件及二次函数的性质，结合函数单调性即可求解.

【详解】对于A，因为，，所以，当且仅当

时，等号成立，所以取得最大值为，故A错误；

对于B，由，得，

所以，

由函数单调性的性质知，所以在上单调递增，由于区间端点值取不到，所以取不到最小值，故B错误；

对于C，因为，所以，，当且仅当，及或时，等号成立，所以取得最小值为，故C正确；

对于D，由，得，

所以，对称轴为，开口向下，

所以在上单调递减，由于区间端点值取不到，所以取不到最小值，故D错误.

故选：C.

8. 已知函数，（），若关于的方程无实根，则方程的实根个数是（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 与的值有关

【答案】A

【解析】

【分析】依题意求出参数的取值范围，再结合图象判断即可.

【详解】解：因为，且关于的方程无实根，

当时的开口向上，与没有交点，则，

当时的开口向下，与没有交点，则，

综上可得或，

当时， 恒成立，故，

故当时，无解，

而当时，在上为增函数，

而对任意，恒成立， 故，

故时，无解，故方程无实数根，

同理当时，方程也无实数根；

故选：A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下面各组函数中是同一函数的是（    ）

A. 与 B. 与

C. 与 D. 与

【答案】BC

【解析】

【分析】分别判断两个函数的定义域，和对应关系是否相同，即可求解.

【详解】A.的定义域为，，所以两个函数不是同一函数，故A错误；

B.两个函数的定义域为,且，所以两个函数是同一函数，故B正确；

C. 的定义域为，解得：，且，与的定义域相同，并且在定义域下去绝对值得，两个函数解析式相同，所以是同一函数，故C正确；

D.函数，函数的定义域需满足，解得：，

函数的定义域需满足，解得：或，两个函数的定义域就不相同，所以不是同一函数，故D错误.

故选：BC

10. 函数的图象可能是　　

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题意，分、以及三种情况讨论函数的图象，分析选项即可得答案．

【详解】解：根据题意，

当时，，，其图象与选项对应，

当时，，在区间上，，其图象在第一象限先减后增，在区间上，为减函数，其图象与选项对应，

当时，，在区间上，为增函数，在区间上，，其图象在第二象限先减后增，其图象与选项对应，

故选：．

11. 19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理.若集合A、B满足：，，则称为的二划分，例如，则就是的一个二划分，则下列说法正确的是（    ）

A. 设，，则为的二划分

B. 设，，则为二划分

C. 存在一个的二划分，使得对于，，，对于，，

D. 存在一个的二划分，使得对于，，，则，，，，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据若集合A、B满足：，，则称为的二划分，按照该定义逐项判断即可.

【详解】解：对于A选项，因为，，所以，则不为的二划分，故A错误；

对于B选项，因为，

由于，所以，，则为的二划分，故B正确；

对于C选项，存，，使得对于，，，对于，，，故C正确；

对于D选项，存在，或，使得对于，，，则，，，，则，故D正确.

故选：BCD.

12. 已知为定义在上的奇函数，且，当，，，则下列说法正确的是（    ）

A.

B. 在区间最多有三个解

C. 的最小值为-1

D. 在区间最多有五个解

【答案】ABC

【解析】

【分析】对A，由奇函数性质可判断；

对C，由函数的单调性、对称性、周期性可判断；

对BD，分别对、、、，结合函数的单调性及对称性讨论在区间解的情况，再结合中心对称性即可得在区间解的情况及的情况

【详解】由，令，则，则关于对称，

又为定义在上的奇函数，，，关于原点对称，

，故，即，函数周期为4.

对A，，A对；

对C，，，，由关于对称且关于原点对称，故，，又周期为4，故的最小值为，C对；

对BD，，且单调递减，关于对称，则且单调递增，，关于原点对称，

由可得①， 设解为，且，则，

由得或，

（1）当时，，①式可解得，即在区间无解，又过，，结合的单调性及对称性可得，在区间有三个解为、0、1；

（2）当时，，，则，又时代入方程组得，故，

即在区间有1个解，又，，结合的单调性及对称性可得在区间少于三个解；

（3）当时，①式可解得，即在区间无解，又，结合的单调性及对称性可得在区间少于三个解；

（4）当时，，则，又，

即在区间无解，又，结合的单调性及对称性可得在区间少于三个解；

（5）当时，由的中心对称性可得在区间最多三个解；故B对D错.

故选：ABC

三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分．

13. 函数的递增区间为______．

【答案】

【解析】

【分析】首先确定函数的定义域，由复合函数的单调性结合二次函数和幂函数的单调性，即可求得的递增区间.

【详解】解：函数的定义域满足：，解得或

即定义域为：

设，

则为增函数

由复合函数的单调性：同增异减，可得要求的增区间，即求在上的增区间

而在上的增区间为

所以函数的递增区间为.

故答案为：.

14. 为全面贯彻素质教育的思想方针，传承百廿二中的体育精神，积极推动我校群体体育教育的开展，提高师生的身体素质，培养坚强的意志品质，丰富校园文化生活，提升学校品质.学校举行了第二十二届体育文化节.文化节的趣味活动共两项：“旋风跑”和“毛毛虫”.某班有24名同学参加了“旋风跑”接力赛，12名同学参加了“毛毛虫”比赛，两个项目都参加的有6人，则这个班共有______人参加趣味活动．

【答案】30

【解析】

【分析】依题意求出只参加一项活动的同学，即可求出参加趣味活动的人数.

【详解】解：依题意仅参加“旋风跑”接力赛的同学有人，

仅参加“毛毛虫”比赛的同学有人，

所以一共有人参加趣味活动．

故答案为：

15. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】根据的范围去绝对值，再根据二次函数的单调性，结合区间端点求解即可

【详解】，时，，时，=.

①当即时，在上单调递减，在上单调递增，不合题意;

②当即时，符合题意;

③当即时，不符合题意.综上，的取值范围是.

故答案为：

16. 已知，且，则的最小值为______．

【答案】##12.25

【解析】

分析】利用均值不等式求解即可.

【详解】因为，

由得①，

又因为②，当且仅当即时，等号成立，

所以由①②可得且，

所以

，当且仅当即时等号成立，

所以的最小值为，

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知集合，．

（1）若，求的取值范围；

（2）若，求的最小值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）求解集合，讨论集合的解集情况，判断是否满足，即可得的取值范围；

（2）由（1）得，当时，能找到满足，求得的取值范围，即可确定的最小值．

【小问1详解】

解：，

则当时，，符合；

当时，或，符合；

当时，或，要满足，则，故

综上，的取值范围为.

【小问2详解】

解：由（1）可得，当时，，不满足

所以当时，或，要满足，则，

所以的取值范围为，故的最小值为3.

18. 已知a，请在①；②；③，在三个条件中任选一个，完成下列问题：

（1）求的最小值；

（2）求的最小值．

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

【答案】（1）2    （2）答案见解析

【解析】

【分析】利用基本不等式及其变形求最值即可.

【小问1详解】

若选择①，，当且仅当时，等号成立；

若选择②③，，当且仅当时，等号成立.

【小问2详解】

若选择①,

当，取等；

若选择②③，

当，取等．

19. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．

（1）求函数在上的解析式；

（2）解不等式．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据已知条件及奇函数的定义即可求解；

（2）根据（1）的结论及分段函数分段处理即可求解.

【小问1详解】

当时，，所以，

又因为为奇函数，所以，

所以函数在上的解析式为.

【小问2详解】

由（1）知，，

令，则，

所以或，解得，

所以原不等式的解集为.

20. 2020年初新冠肺炎袭击全球，严重影响人民生产生活．为应对疫情，某厂家拟加大生产力度．已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产千件，需另投入成本．当年产量不足50千件时，（万元）；年产量不小于50千件时，（万元）．每千件商品售价为50万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．

（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；

（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）；（2）60，280万元

【解析】

【分析】（1）可得销售额为万元，分和即可求出；

（2）当时，利用二次函数性质求出最大值，当，利用基本不等式求出最值，再比较即可得出.

【详解】（1）∵每千件商品售价为50万元．则x千件商品销售额万元

当时，

当时，

（2）当时，

此时，当时，即万元

当时，

此时，即，则万元

由于

所以当年产量为60千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为280万元．

【点睛】关键点睛：本题考查函数模型的应用，解题的关键是理解清楚题意，正确的建立函数关系，再求最值时，需要利用函数性质分段讨论比较得出.

21. 已知幂函数为偶函数，．

（1）求的解析式；

（2）若对于恒成立，求k的取值范围.

【答案】（1）   

（2）．

【解析】

【分析】（1）首先根据幂函数定义得到或，再根据为偶函数判断即可.

（2）首先讲题意转化为对于恒成立，再分类讨论求解即可.

【小问1详解】

因为幂函数为偶函数，

所以，解得或.

当时，，定义域为R，，

所以为偶函数，符合条件.

当时，，定义域为R，，

所以为奇函数，舍去.

所以.

【小问2详解】

因为，

所以对于恒成立，

等价于对于恒成立，

①，

②，

③，

综上：

22. 已知二次函数．

（1）对于任意x，，，且为偶函数，求；

（2）设，为函数与x轴的两个交点的横坐标，且，，且当时，的最小值为，求的最大值．

【答案】（1）   

（2）．

【解析】

【分析】（1）根据已知等式，赋值时可得，赋值时可得，再根据为偶函数得二次函数的对称轴为直线，则可得的值，即可得；

（2）根据二次函数的与x轴的两个交点的横坐标为，，结合二次函数根与系数的关系及，可得，再判断在区间上取得最小值即在其对称轴处，即可得的表达式，根据，即可求其最大值.

【小问1详解】

解：已知二次函数

对于任意x，，

则令，则，所以

令，则，所以，结合得：

又且为偶函数，所以关于直线对称，即，所以

故；

【小问2详解】

解：因为，为函数与x轴的两个交点的横坐标，

所以方程的两根为，，则，

又，，且，即

则，

因为，故此时二次函数的对称轴直线到直线与直线的距离均为1

则二次函数的对称轴为直线，因为，所以，故

又当时，的最小值为，

所以，其中

又因为，当且仅当时，即时取到最值，但

所以

所以当时，.