浙江省杭州学军中学2022-2023学年高二数学上学期期末试题（Word版附解析）

杭州学军中学2022学年第一学期期末考试

高二数学试卷

命题人：郑日锋审题人：林智恒

一、单选题：（本大题共8小题，每小题6分，共48分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 抛物线的准线方程为（）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】直接根据抛物线的方程求出准线方程；

【详解】因为抛物线，

所以其准线方程为.

故选：C.

2. 若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用点到直线距离公式，列出不等式，求解作答.

【详解】依题意，圆心到直线的距离，解之得，

所以实数b的取值范围是.

故选：D

3. 已知空间两不同直线m，n，两不同平面，，下列命题正确的是（）

A. 若且，则

B. 若且，则

C. 若且，则

D. 若不垂直于，且，则不垂直于

【答案】C

【解析】

【分析】根据空间中点线面的位置关系结合选项即可逐一求解.

【详解】对于A, 若且，则或者异面，或者相交，故A错误，

对于B, 若且，则，故B错误，

对于C，若且，则，故C正确，

对于D，若不垂直于，且，则有可能与垂直,例如在正方体中，不垂直平面,平面,但是,理由如下：平面，平面,所以又，平面,所以平面,平面,故，故D错误，

故选：C

4. 直线的方程为：，若直线不经过第二象限，则实数的取值范围为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据直线斜率与截距讨论不经过第二象限时所满足的条件，解得结果.

【详解】若直线斜率不存在，即不经过第二象限，

若直线斜率存在，即，所以，

综上实数的取值范围为，选C.

【点睛】本题考查直线方程，考查空基本分析与求解能力，属于中档题．

5. 若a，b是异面直线，下列四个命题中正确的是（）

A. 过不在a，b上任一点P，必可作直线与a，b都平行

B. 过不在a，b上任一点P，必可作直线与a，b都相交

C. 过不在a，b上任一点P，必可作直线与a，b都垂直

D. 过不在a，b上任一点P，必可作平面与a，b都平行.

【答案】C

【解析】

【分析】根据异面直线的定义，结合线线平行、线面平行、线面垂直的性性质逐一判断即可.

【详解】A；设过P的直线为，如果，显然可得，这与a，b是异面直线相矛盾，因此本选项不正确；

B：在a任取一点M，在b上任取一点N，直线MN上的点才可作一条直线与a、b都相交．其它的点不行，因此本选项不正确；

C：过点作，显然确定一个平面，显然存在一条直线，，过P点一定存在直线与平行，因此本选项正确；

D：经过空间任意一点不一定可作一个平面与两条已知异面直线都平行，有时会出现其中一条直线在所做的平面上，因此本选项不正确；

故选：C

6. 已知圆与抛物线交于，两点，与抛物线的准线交于，两点，若四边形是矩形，则等于（）

A B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题，结合抛物线与圆的对称性得弦为抛物线的通径，进而有，解方程即可得答案.

【详解】解：因为四边形是矩形，

所以由抛物线与圆的对称性知：弦为抛物线的通径，

因为圆的半径为，抛物线的通径为，

所以有：，解得

故选：D

7. 已知菱形边长为1，，对角线与交于点O，将菱形沿对角线折成平面角为的二面角，若，则折后点O到直线距离的最值为（）

A. 最小值为，最大值为 B. 最小值为，最大值为

C. 最小值为，最大值为 D. 最小值为，最大值为

【答案】B

【解析】

【分析】

首先由二面角的定义可知，，再在中解决点到直线的距离的最值.

【详解】，，

菱形边长为1，，，

点到的距离

当时，取得最大值,

当，取得最小值,

故选：B

8. 已知椭圆内有一定点，过点P的两条直线，分别与椭圆交于A、C和B、D两点，且满足，，若变化时，直线CD的斜率总为，则椭圆的离心率为

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设出四点的坐标，将两点坐标代入椭圆方程并化简，同理将两点坐标代入椭圆方程并化简，根据化简上述两个式子，由此求得的值，进而求得椭圆离心率.

【详解】设因为，且，所以，同理.将两点坐标代入椭圆方程并化简得，即，同理，由于，，所以，即，即，两式相加得，即，所以，所以，故选A.

【点睛】

本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查定比分点坐标公式，考查点在曲线上的运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，考查椭圆离心率的求法，难度较大，属于难题.

二、多选题（每小题6分，全部选对得6分，部分选对得3分，选错得0分，共24分）

9. 如图，长方体被平面BCFE截成两个几何体，其中E，F分别在和上，且，则以下结论正确的是（）

A.  B. 平面

C. 几何体为棱台 D. 几何体为棱柱

【答案】ABD

【解析】

【分析】A由长方体的性质及线线平行的推论判断；B根据线面平行的判定判断；C、D根据棱台、棱柱的定义判断正误.

【详解】由及，得，则A正确；

由，平面，平面，得平面，则B正确；

以两个平行的平面和为底面，其余四面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都平行，符合棱柱的定义，则C错误（由于延长后不交于一点，则几何体不为棱台）；

以两个平行的平面和为底面，其余三面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都平行，符合棱柱的定义，则D正确，

故选：ABD

10. 已知曲线：，下列结论正确的是（）

A. 若，则是椭圆，其焦点在轴上

B. 若，则是双曲线，其焦点在轴上

C. 若，，则是两条直线

D. 若，则是圆

【答案】BC

【解析】

【分析】根据椭圆方程、双曲线方程、直线方程、圆的方程特征进行逐一判断即可.

【详解】A：当时，，

由，所以是椭圆，其焦点在轴上，因此本选项不正确；

B：当时，，

由，所以是双曲线，其焦点在轴上，因此本选项正确；

C：当，时，，所以是两条直线，因此本选项正确；

D：若，显然不成立，所以没有轨迹，因此本选项不正确；

故选：BC

11. 若，，是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为，则（）

A. 的取值范围是

B. 能构成空间的一个基底

C. “”是“P，A，B，C四点共面”必要不充分条件

D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用向量的夹角的定义判断A；

利用空间向量的基底的性质判断B；

利用共面向量定理判断C；

利用向量数量积公式判断D.

【详解】解：因为，，是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为，

对于A，由向量所成角的定义得，故正确；

对于B，因为不共面，所以能构成空间的一个基底，故正确；

对于C，因为，3-1-1=1，所以P，A，B，C四点共面；

当P，A，B，C四点共面时，不一定有成立，

所以“”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件，故错误；

对于D，==，故正确.

故选：ABD.

12. 如图，过双曲线右支上一点P作双曲线的切线l分别交两渐近线于A、B两点，交x轴于点D，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A.

B.

C.

D. 若存在点P，使，且，则双曲线C的离心率

【答案】BCD

【解析】

【分析】联立切线方程与渐近线方程，求出的坐标，即可得，由的取值范围即可得，从而可判断A，由中点坐标公式可判断是的中点，由此可判断BC，由余弦定理结合可判断D.

【详解】先求双曲线上一点的切线方程：

不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）.

由，得，所以，

则在的切线斜率，
所以在点处的切线方程为：
又有，化简即可得切线方程为：.

不失一般性，设是双曲线在第一象限的一点，

是切线与渐近线在第一象限的交点，

是切线与渐近线在第四象限的交点,

双曲线的渐近线方程是，

联立：，解得：，

联立：，解得：，

则，

又因为，所以，即，A错误；

由，

可知是的中点，所以，B正确；

易知点坐标为，

则，

当点在顶点时，仍然满足，C正确；

因为，所以，，

因为，则，解得，即，

代入，得，

所以

，

，

所以，

所以，，所以离心率，D正确.

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：利用导数几何意义求得在双曲线上一点的切线方程，并联立渐近线方程，求得的坐标，判断出是中点.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线的方程是__________

【答案】.

【解析】

【详解】试题分析：解：因为A（1，3），B（-5，1），所以AB的中点坐标（-2，2），直线AB的斜率为：，所以AB的中垂线的斜率为：-3，所以以A（1，3），B（-5，1）为端点的线段的垂直平分线方程是y-2=-3（x+2），即3x+y+4=0．故答案为3x+y+4=0．

考点：直线方程

点评：本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，直线方程的求法，考查计算能力．

14. 若圆锥的侧面面积为，底面面积为，则该圆锥的母线长为______.

【答案】2

【解析】

【分析】根据圆面积公式算出底面半径r＝1，再由圆锥侧面积公式建立关于母线l的方程，解之即可得到该圆锥的母线长．

【详解】解：∵圆锥的底面积为，

∴圆锥的底面半径为，满足，解得

又∵圆锥的侧面积为，

∴设圆锥的母线长为，可得，，解之得

故答案为：

【点睛】本题给出圆锥的底面圆面积和侧面积，求它的母线长，着重考查了圆的面积公式和圆锥侧面积公式等知识，属于基础题．

15. 已知是抛物线上的动点，记点到直线：的距离为，则的最小值为______．

【答案】##

【解析】

【分析】作直线：的平行线且与抛物线相切，再求两平行线间的距离即可．

【详解】设直线直线：的平行线为且与抛物线相切，

联立，整理得，

则，得，

则的最小值为．

故答案为：．

16. 已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A-BCD的外接球，BC=3，，点E在线段BD上，且BD=3BE，过点E作圆O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__.

【答案】

【解析】

【分析】设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接,O1D，OD，O1E，OE，可得R2＝3+（3﹣R）2，解得R＝2，过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解．

【详解】如图：
设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，

连接,O1D，OD，O1E，OE，

则，AO1

Rt△OO1D中，R2＝3+（3﹣R）2，解得R＝2，

∵BD＝3BE，∴DE＝2

在△DEO1中，O1E

∴

过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，

此时截面圆的半径为，最小面积为2π．

当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π．

故答案为[2π，4π]

【点睛】本题考查了球与三棱锥的组合体，考查了空间想象能力，转化思想，解题关键是要确定何时取最值，属于中档题．

四、解答题（本大题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 等差数列的前项和为，已知，，求

（1）数列通项公式；

（2）的前项和的最小值.

【答案】（1）

（2）-30

【解析】

【分析】（1）根据数列的基本公式求出通项公式，

（2）根据（1）表达出，利用二次函数性质求出的最小值.

【小问1详解】

由已知得，

解得，

所以.

【小问2详解】

.

当或6时，有最小值-30.

18. 已知直三棱柱中，侧面为正方形.，E，F分别为AC和的中点，.

（1）求四棱锥的体积；

（2）是否存在点D在直线上，使得异面直线BF，DE的距离为1?若存在，求出此时线段DE的长；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）1（2）存在，或

【解析】

【分析】（1）找到四棱锥的高，利用四棱锥体积公式求出体积；

（2）根据题目中的条件建立空间直角坐标系，表达出与，均垂直的向量，进而利用异面直线BF，DE的距离为1建立等式求出a.

【小问1详解】

∵侧面为正方形，∴，

又，且，面，

∴平面，又，

∴平面，取BC中点G，

则，∴平面.

∴.

【小问2详解】

以为原点，分别以BA，BC，所在直线建立空间直角坐标系，如图，

则，，，

设，则，，.

设与，均垂直的向量为，

则，即，取，

∴异面直线BF，DE的距离，解得或.

∴或.

故存在点D在直线上，使得异面直线BF，DE的距离为1，且此时或.

19. ，分别为椭圆：的左、右焦点，B为短轴的一个端点，E是椭圆上的一点，满足，且的周长为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三.角形，是以B为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形，求的面积.

【答案】（1）

（2）或

【解析】

【分析】（1）利用题目条件建立的方程组，进而求出椭圆C的方程；

（2）联立直线与椭圆表示出的横坐标,进而表示出，利用等角三角形求出k的值，从而求出的面积.

【小问1详解】

设，由，得.

∵点E在椭圆C上，∴，即.①

∵的周长为，∴，即.②

联立①②解得，，∴.

∴椭圆的方程为.

【小问2详解】

不妨设M，N分别在y轴左、右侧，设：，则：.

由消去得.

∴点的横坐标.

以代k得点的横坐标.

∴，.

∵，∴.

即.

解得，，.

的面积.

当时，；

当时，.

20. 如图，在四棱锥中，为边的中点，异面直线与所成的角为.

（1）在直线上找一点，使得直线平面，并求的值；

（2）若直线到平面的距离为，求平面与平面夹角的正弦值.

【答案】（1）2（2）

【解析】

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直充要条件列出等式，解之即可求得的值；

（2）先由直线到平面的距离为求得的长度，再利用平面与平面法向量的夹角公式去求平面与平面夹角的正弦值.

【小问1详解】

在四棱锥中，，异面直线与所成的角为.

即,又为两相交直线，则平面

取PD中点F，连接EF，又，则，则平面

又四边形中，，

则，则三直线两两互相垂直

以E为原点，分别以ED、EB、EF所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图：

设，则，，，，

，，,

设平面PBE的一个法向量为，

则，即，令，则，则

设，则

由直线平面，可得，即

则，解之得，则，又，则

【小问2详解】

由直线到平面的距离为，得点C到平面的距离为，

又，为平面PBE的一个法向量

则，即，解之得，

则，，

设平面的一个法向量为，又

则，即，令，则，则

设平面与平面夹角为

则

又，则

21. 已知点，在双曲线E：上．

（1）求双曲线E的方程；

（2）直线l与双曲线E交于M，N两个不同的点（异于A，B），过M作x轴的垂线分别交直线AB，直线AN于点P，Q，当时，证明：直线l过定点．

【答案】（1）

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）将点坐标代入双曲线方程，即可求解的值，进而得双曲线方程；

（2）设直线方程，联立直线与双曲线方程，得到韦达定理，根据向量关系，转化为坐标关系，即可得的关系，进而可得直线过定点.

【小问1详解】

由题知， ，得，

所以双曲线E方程为．

【小问2详解】

由题意知，当l⊥x轴时，与重合，由可知：是的中点，显然不符合题意，

故l的斜率存在，设l的方程为，

联立，消去y得，则

，即，且，

设，，，，

AB方程为，令，得，

AN方程为，令得，

由，得，即，

即，

即，

将，代入得

即，

所以，

得或，

当，此时由，得，符合题意；

当，此时直线l经过点A，与题意不符，

舍去所以l的方程为，即，

所以l过定点．