浙江省杭州第二中学2023-2024学年高二数学上学期期中试题（Word版附解析）

这是一份浙江省杭州第二中学2023-2024学年高二数学上学期期中试题（Word版附解析），共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. “”是“直线：与直线：互相垂直”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线垂直求出参数的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若直线：与直线：互相垂直，
则，解得或，
所以由“”推得出“直线：与直线：互相垂直”，即充分性成立；
由“直线：与直线：互相垂直”推不出“”，即必要性不成立，
所以“”是“直线：与直线：互相垂直”的充分不必要条件.
故选：A
2. 已知事件相互独立，，，则（ ）
A. 0.88B. 0.9C. 0.7D. 0.72
【答案】C
【解析】
【分析】根据事件相互独立得到，结合求出答案.
【详解】因为事件相互独立，故，
又，，
所以.
故选：C
3. 过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设所求椭圆方程为，依题意可得，解得、，即可求出椭圆方程.
【详解】椭圆的焦点为或，
设所求椭圆方程为，
则，解得，所以椭圆方程为.
故选：D
4. 已知，则点O到平面的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量计算点面距离即可.
【详解】由题意可知，
设面的一个法向量为，则，
取，即，
所以点O到平面的距离是.
故选：B
5. 点在圆上运动，则的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先得到圆心坐标与半径，又表示圆上的点到直线的距离，求出圆心到直线的距离，从而求出的取值范围，即可求出的取值范围.
【详解】圆的圆心为，半径，
因为点在圆上运动，
又，其中表示圆上的点到直线的距离，
所以，
又圆心到直线的距离，
所以，即，
所以
故选：C
6. 如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出点P的轨迹结合函数求最值即可.
【详解】
依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系，则，
设，
所以，
即，所以，
而，
由二次函数的单调性可知，
当时，，则.
故选：B
7. 已知，是圆上两点，且. 若存在，使得直线与的交点恰为的中点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线与圆相交的弦长可得中点的轨迹为，又根据直线，的方程可知，交点的轨迹方程为，若恰为的中点，即圆与圆有公共点，根据圆与圆的位置关系可得实数的取值范围.
【详解】圆，半径为，
设中点为，且直线与圆的相交弦长为，
即，
所以点的轨迹方程为，
又直线过定点，
直线过定点，
且，
则点是两垂线的交点，所以在以为直径的圆上，
则圆心，半径，
所以点的轨迹方程为，
由于直线的斜率存在，所以点的轨迹要除去点，
若点恰为中点可知圆与圆有公共点，
即，，
即，
解得，
即，
故选：A.
8. 已知动点分别在正四面体的内切球与外接球的球面上，且，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】计算出正四面体的内切球与外接球的半径，求出范围，即可得出的最大值.
【详解】由题意，

连接，设交点为，则点是中点
设正方体边长为，
由几何知识得，点到面距离即为，
设内切球半径为，外接球半径为，
三棱锥外接球半径，
而由正三棱锥内切球半径公式，，
取任意一点，使得，
则点在面上，
∴，
点到面距离为，
则
∴,
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 某学校随机抽取名学生数学周测成绩的频率分布直方图如 图所示, 据此估计该校本次数学周测的总体情况(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表), 下列说法正确的是（ ）

A. 众数或B. 分位数为
C. 平均数为D. 中位数为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用众数的概念直接可判断A，再根据平均数，中位数及百分位数公式可判断BCD.
【详解】A选项：由频率分布直方图可知众数为，A选项错误；
B选项：由频率分布直方图可得，所以分位数为，B选项正确；
C选项：由频率分布直方图可知平均数为，C选项正确；
D选项：由频率分布直方图可得，，所以中位数，
所以，解得，D选项错误；
故选：BC.
10. 已知点和直线, 下列说法不正确的是 （ ）
A. 经过点的直线都可以用方程表示
B. 直线在轴上的截距等于
C. 点关于直线的对称点坐标为
D. 直线关于点对称的直线方程为
【答案】ABD
【解析】
【分析】当过点的直线斜率不存在时，方程为，可判断A选项，令可判断B选项，设点关于直线的对称点为，根据对称的概念列方程，可判断C选项，设上一点，其对称点为，根据对称及点在直线上，可得直线方程，即可判断D选项.
【详解】A选项：当过点的直线斜率不存在时，方程为，A选项错误；
B选项：令，得，即，所以截距为，B选项错误；
C选项：设点关于直线的对称点为，所以，解得，所以点关于直线的对称点坐标为，C选项正确；
设上一点，其对称点为，则，即，又点在直线上，则，即，
D选项错误；
故选：ABD.
11. 如图, 棱长为2的正方体中, E、F分别为棱的中点, G为面对角线上一个动点, 则（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 点E到直线的距离为
C. 线段上存在点G, 使得
D. 线段上不存在点G, 使平面平面
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用等体积法可判定A，建立合适的空间直角坐标系利用空间向量计算点线距离，线线与面面位置关系可判定B、C、D.
【详解】由正方体的结构特征可知平面，故点G到平面距离不变，
所以，又是定值，故A正确；
如图所示，建立空间直角坐标系，则，
所以，
故点E到直线的距离，故B错误；
设，则，
，所以，即重合，故C正确；
易知，设平面的一个法向量为，
则，取，即
而，则，
故不存在使得，故D正确.
故选：ACD
12. 已知分别为椭圆的左、右焦点，下列说法正确的是（ ）
A. 若点P为椭圆上一点, 则的最大值是
B. 若点的坐标为, P是椭圆上一动点, 则线段长度的最小值为
C. 过F2作垂直于x轴的直线, 交椭圆于A, B两点, 则
D. 若椭圆上恰有6个不同的点, 使得为等腰三角形, 则椭圆的离心率的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】A，结合三角形不等式即可；B，设出，，则，表达出，分与两种情况，得到不同情况下的线段长度的最小值，B错误；；C，代入即可求；D，选项，先得到上下顶点能够使得为等腰三角形，再数形结合得到为圆心，为半径作圆，只能交椭圆与不同于上下顶点的两点，列出不等式组，求出答案；
【详解】对A，，当在左顶点时等号成立，则最大值是，A正确；
对B，设，，则，
，
，
若，此时，，此时当时，取得最小值，最小值为，线段长度的最小值为；
若，此时，，此时当时，取得最小值，最小值为，
线段长度的最小值为，综上：B错误；
对C，当时，，解得，
即，C正确；
对D，如图，椭圆左右顶点为，上下顶点为，
显然上下顶点能够使得为等腰三角形，
要想椭圆上恰有6个不同的点，使得为等腰三角形，
以为圆心，为半径作圆，只能交椭圆与不同于上下顶点的两点，
则要满足，且，
即，解得：，且，
故椭圆的离心率的取值范围是，D正确；
故选：ACD
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在两坐标轴上的截距相等，且与圆相切的直线有________条.
【答案】4
【解析】
【分析】分横纵截距为零和横纵截距不为零两种情况讨论即可.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，
当横纵截距为零时，直线方程为，
令，整理得，
因为，所以方程有两个解，
故当横纵截距为零时存在两条直线与圆相切；
当横纵截距不为零时，设直线方程为，
令，解得或9，
所以横纵截距不为零时存在两条直线与圆相切，
综上可得，存在4条截距相等的直线与圆相切.
故答案为：4.
14. 已知矩形，，沿对角线AC将折起，若，则二面角的余弦值为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用空间向量的数量积与模长计算夹角即可.
【详解】
如图所示，过分别作，垂足分别为，
由矩形中，，
可知，
设二面角的平面角为，则，
.
故答案为：
15. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为为坐标原点，椭圆上的点分别在第一､二象限内，若与的面积相等，且，则的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由两个三角形面积相等可得，将点的坐标代入椭圆方程，结合条件化简即可得到关系，再根据离心率公式即可得到结果.
【详解】
因为与的面积相等，且，
则，即，所以，
将坐标代入，可得，
化简可得，即，
所以，且，
所以，即，
则离心率为，
故答案为:
16. 某同学回忆一次大型考试中的一道填空题，题目要求判断一条给定直线与给定圆的位置关系，该同学表示，题中所给直线与圆的方程形式分别为，，但他忘记了方程中的三个参数的具体值，只记得，并且他填写的结果为直线与圆相交.若数组的每一种赋值的可能性都相等，则该同学该题答对的概率为________.
【答案】##0.875
【解析】
【分析】利用直线与圆的位置关系结合古典概型分类讨论计算即可.
【详解】易知数组有种结果，
若要直线与圆相交，需圆心到直线的距离，
显然时，恒成立，
若，
①当，此时不符题意；
②当，此时不符题意，当，此时不符题意；
③当，此时不符题意，当，此时不符题意，
当，取何值均成立；
综上，共有8种情况不符题意，故答对的概率为.
故答案：
四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知是空间中的三个单位向量, 且, . 若，, .
（1）求;
（2）求和夹角的余弦值.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】利用空间向量的数量积公式计算即可.
【小问1详解】
由已知可得，
所以；
【小问2详解】
由，
所以和夹角的余弦值为.
18. 为调查高一、高二学生心理健康情况, 某学校采用分层随机抽样方法从高一、高二学生中分别抽取了60人､40人参加心理健康测试(满分10分). 经初步统计, 参加测试的高一学生成绩的平均分, 方差, 高二学生成绩(i= 1, 2, …, 40)的统计表如下:
（1）计算参加测试的高二学生成绩的平均分和方差；
（2）估计该学校高一､高二全体学生的平均分和方差.
【答案】18. 7，1.2；
19. 7.6，1.92.
【解析】
【分析】（1）利用统计表计算平均数与方差即可；
（2）根据分层抽样的平均数与方差公式计算即可.
【小问1详解】
由表可知，
；
【小问2详解】
由已知及（1）可知，
.
19. 在信道内传输0， 1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为， 收到1的概率为.
（1）重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；
（2）依次发送1，1， 0， 判断以下两个事件：①事件A：至少收到一个正确信号； ②事件B：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明.
【答案】19. ；
20. 事件A与事件B不互相独立，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用事件的相互独立求“至少收到两次1”的概率；
（2）利用事件的相互独立性计算，，，利用独立事件的概率公式验证.
小问1详解】
重复发送信号1三次，“至少收到两次1”的可能情况为：
(1，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，
因为信号的传输相互独立，
故“至少收到两次1”的概率为：.
【小问2详解】
事件A与事件B不互相独立，证明如下：
若依次发送1，1， 0， 则三次都没收到正确信号的概率为，
故至少收到一个正确信号的概率为；
若依次发送1，1，0，“至少收到两个0”的可能情况为：
(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性，
故，
若依次发送1，1，0，“至少收到两个0且至少收到一个正确信号”的可能情况为：
(0，0，0)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性，
故，
因为，所以事件A与事件B不互相独立.
20. 已知圆.
（1）求过点且与圆相切的直线方程;
（2）求经过直线与圆的交点, 且面积最小的圆的方程.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知可得点在圆外，即有两条切线，当切线斜率存在时，设出切线方程，根据点到直线距离公式可得斜率与方程，当切线斜率不存在时，可判断直线与圆相切；
（2）由已知可设圆的方程为，可得圆的半径，可知当时，取最小值为，此时面积最小为.
【小问1详解】
由得，
圆心，半径，
又到圆心距离为，
所以点在圆外，
所以过点的切线共有两条，
当切线斜率存在时，设切线方程为，
即，
所以圆心到直线的距离，
解得，所以直线方程为，
即，
当直线斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，
综上所述，切线方程为或.
【小问2详解】
已知可设圆的方程为，
即，
则圆的半径，
可知当时，取最小值为，此时面积最小为.
21. 如图，三棱台中，，，，点A在平面上的射影在的平分线上.
（1）求证：；
（2）若A到平面的距离为4，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直证线线垂直即可；（2）利用棱台的特征补全棱锥，结合等体积法求点面距离，计算即可.
【小问1详解】
如图所示，补全棱台，延长三条侧棱交于O点，得到棱锥，
由题意可知分别是三条侧棱的中点，
取的中点，连接，设A在底面的投影为M，连接，
根据题意可知底面，且M在上，
因为面，所以
又，所以,
而平面,
所以面,
因为面，所以；
【小问2详解】
过作底面，结合（1）可知N在上，且，
在上，，
结合题意可知：，则
在中，，
所以，
设到平面的距离为，与平面的夹角为，
所以，
解之得：，
所以，
因为，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
22. 设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点.
（1）写出点的轨迹方程；
（2）设点的轨迹为曲线，过且与平行的直线与曲线交于两点，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求得圆的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得，再由圆的定义和椭圆的定义，可得的轨迹为以，为焦点的椭圆，求得，，，即可得到所求轨迹方程；
（2）联立直线与圆，以及直线与椭圆方程，可得跟与系数的关系，结合向量的坐标运算，即可根据数量积的坐标运算得，进而利用函数的性质即可求解.
【小问1详解】
圆的标准方程为，故半径
因为，，故，
所以，故，
因此，
由题设得，，，
由椭圆定义可得点的轨迹方程为：．
【小问2详解】
设直线的方程为，则直线的方程为,
联立直线与圆的方程，消元得，
则
则，
联立直线与圆的方程，消元得，
由于点在椭圆内，故该方程一定有两个不相等的实数根，
不妨设，则，
，
，
，
，
所以，
令，则，
令，则，
由于函数的对称轴为，故在单调递减，
故当时，取最小值，故，
所以
【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
成绩y
4
5
6
7
8
9
频数
1
2
9
15
10
3