浙江省杭州市临安中学2022-2023学年高一数学上学期期中试题（Word版附解析）

2022级高一上学期数学期中考试模拟卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据集合的交集运算即可解出．

【详解】因为，，所以．

故选：A.

2. 命题“存在实数x,，使x > 1”的否定是（ ）

A. 对任意实数x, 都有x > 1 B. 不存在实数x，使x1

C. 对任意实数x, 都有x1 D. 存在实数x，使x1

【答案】C

【解析】

【详解】解：特称命题的否定是全称命题，否定结论的同时需要改变量词．

∵命题“存在实数x，使x＞1”的否定是

“对任意实数x，都有x≤1”

故选C．

3. 若，则“”是 “”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.

【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.

【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.

4. 若函数为幂函数，且在单调递减，则实数m的值为（    ）

A. 0 B. 1或2 C. 1 D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数为幂函数列式，结合单调性求得的值．

【详解】由于函数为幂函数，

所以，解得或，

时，，上递减，符合题意，

时，，在上递增，不符合题意．

故选：C

5. 若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（ ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】函数分别是上的奇函数、偶函数,

，

由，得，

，

，

解方程组得，

代入计算比较大小可得.

考点：函数奇偶性及函数求解析式

6. 设则的大小关系是

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】由在区间是单调减函数可知，，又，故选.

考点：1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.

7. 近几个月某地区的口罩的月消耗量逐月增加，若第1月的口罩月消耗量增长率为，第2月的口罩月消耗量增长率为，这两个月口罩月消耗量的月平均增长率为，则以下关系正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出的关系，再根据基本不等式判断．

【详解】由题意，，

时，，，

时，，

，，因此，

综上，．

故选：D．

8. 设，，下列命题汇总正确的是（   ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】B

【解析】

【详解】∵时，，∴若，则，故B正确，A错误；对于，若成立，则必有，故必有，即有，而不是排除C，也不是，排除D，故选B. 

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的 选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知a，b，c满足，且，则下列选项中一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】由已知条件得出，且的符号不确定，利用不等式的性质以及特殊值法可判断各选项中不等式的正误.

【详解】且，，且的符号不确定.

对于A，，，由不等式的基本性质可得，故A一定能成立；

对于B，，，，，即，故B一定能成立；

对于C，取，则，若，有，故C不一定成立；

对于D，，，，故D一定能成立.

故选：ABD

10. 设正实数a，b满足，则（    ）

A. 有最小值4 B. 有最小值

C. 有最大值 D. 有最小值

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用基本不等式结合条件逐项分析即得.

【详解】选项A：，当且仅当时取等号，故A正确；

选项B：，当且仅当时取等号，所以有最大值，故B错误；

选项C：，所以，当且仅当时取等号，故C正确；

选项D：由，化简得，，当且仅当时取等号，故D正确.

故选：ACD.

11. 某打车平台欲对收费标准进行改革，现制订了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用y（单位：元）与打车里程x（单位：km）函数关系大致如图所示，则（    ）

A. 当打车里程为8km时，乘客选择甲方案更省钱

B. 当打车里程为10km时，乘客选择甲、乙方案均可

C. 打车里程在3km以上时，每千米增加的费用甲方案比乙方案多

D. 甲方案3km内（含3km）付费5元，打车里程大于3km时每增加1km费用增加0.7元

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据图象一一判断即可.

【详解】解：对于A，当3＜x＜10时，甲对应的函数值小于乙对应的函数值，故当打车里程为8km时，乘客选择甲方案更省钱，故A正确；

对于B，当打车里程为10km时，甲、乙方案的费用均为12元，故乘客选择甲、乙方案均可，故B正确；

对于C，打车3km以上时，甲方案每千米增加的费用为（元），乙方案每千米增加的费用为（元），故每千米增加的费用甲方案比乙方案多，故C正确；

对于D，由图可知，甲方案3km内（含3km）付费5元，3km以上时，甲方案每千米增加的费用为1（元），故D错误.

故选:ABC.

12. 某同学在研究函数时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是（    ）

A. 函数的定义域是 B. 函数的值域为

C. 函数在上单调递增 D. 方程有实根

【答案】ABD

【解析】

【分析】由解析式确定定义域，利用奇偶性、单调性定义判断的性质，进而判断各选项的正误.

【详解】由且知：定义域，

，即为偶函数，

当时，令，则，

所以上递增，

又∵,，当趋近于时，f(x)趋近于，

∴函数的值域为

由偶函数的对称性知在上递减，根据对称性其值域为，

综上，在R上的值域为，故A、B正确，C错误；

由上分析知与有交点，即有实根，D正确.

故选：ABD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 函数f(x)=的定义域为____________

【答案】(−3，0]

【解析】

【分析】

解不等式组可得．

【详解】要使函数式有意义，需，

则函数的定义域为(−3，0].

故答案为：(−3，0].

【点睛】本题考查求函数的定义域，掌握定义域的定义是解题关键．本题属于基础题．

14. 设函数，若，则_______．

【答案】##0.5

【解析】

【分析】利用分段函数得到，然后分和两种情况进行分类讨论即可求解

【详解】因为，所以，

当即时，，解得，舍去；

当即时，，解得，

故答案为：

15. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300的内接矩形花园（阴影部分），则其一边长x（单位m）的取值范围是___________.

【答案】[10，30]

【解析】

【分析】设矩形的另一边长为，由三角形相似得出x，y的关系，再根据矩形的面积公式建立不等式，解之可求得答案.

【详解】解：设矩形的另一边长为，由三角形相似得且，

所以，又矩形的面积，所以，解得，

所以其一边长x（单位m）的取值范围是[10，30].

故答案为：[10，30].

16. 已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则_____________

【答案】1

【解析】

【详解】显然函数的最大值只能在或时取到，

若在时取到，则，得或

，时，；，时，（舍去）；

若在时取到，则，得或

，时，； ，时，（舍去）

所以

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 计算：

（1）；

（2）已知：，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】（1）利用根式和指数幂运算求解；

（2）由，平方得到，再平方得到，代入求解.

【详解】（1），

.

（2）由，平方得，

即，

平方得，

即，

所以原式=．

18. 设函数定义域为集合,函数的值域为集合.

(1)求集合,；

(2)若全集,集合,满足,求实数的取值范围.

【答案】(1) ,；(2) .

【解析】

【分析】(1)根据被开方数为非负数,解不等式可求出集合,利用指数函数的单调性可以求出集合；

(2)根据集合交集运算的性质可得之间的关系,利用数轴求出实数的取值范围.

【详解】(1)由,所以.

当,所以；

(2)因为,所以,又因为,

所以,因此有：.

【点睛】本题考查了函数的定义域和值域,考查了集合的补集运算,考查了根据集合的运算结果求参数取值范围.

19. 喷绘机工作时相当于一条直线（喷嘴）连续扫过一张画布．一家广告公司在一个等腰梯形OABC的画布上使用喷绘机打印广告，画布的底角为45°，上底长2米，下底长4米，如图所示，记梯形OABC位于直线左侧的图形的面积为．

（1）求函数的解析式；

（2）定义“”为“平均喷绘率”，求的峰值（即最大值）．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据给定的图形，按，，分别求出即可作答.

（2）由（1）求出函数的解析式，再分段求出最大值并比较作答.

【小问1详解】

依题意，函数的定义域，梯形OABC的高为1，

当时，，当时，，

当时，，

所以函数的解析式是．

【小问2详解】

由（1）知，，

当时，函数递增，，

当时，函数递增，，

当时，，

当且仅当时取等号，此时，

因为，，则，

所以的峰值为．

20. 已知是定义在上的奇函数，当时，．

（1）求在上的解析式；

（2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用为奇函数得到，设，利用奇函数的运算即可得到答案；

（2）题意可整理得在上有解，令，求其最小值即可求解

【小问1详解】

因为是定义在上的奇函数，时，，

所以，解得，

所以时，，

当时，，所以，

又，所以，

所以在上的解析式为；

【小问2详解】

由（1）知，时，，

所以可整理得，

令，根据指数函数单调性可得，为减函数，

因存在，使得不等式成立，等价于在上有解，

所以，只需，

所以实数的取值范围是

21. 已知

（1）若，解不等式；

（2）求在上的最大值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）绝对值不等式，零点分段讨论求解；

（2）把表示为分段函数，分别通过单调性找最大值点，再比较各最大值的大小.

【小问1详解】

时，

①当时，，解得，所以，

②当时，解得，所以．

综合得不等式的解集为；

【小问2详解】

①当时，为二次函数，图像抛物线开口向上，在上，

当时，；当时，．

②当时，

当时，

当时，为一次函数，在上单调递增，；

当时，为一次函数，在上单调递减， ；

若，则有；而当时，有，

综上所述，

22. 定义在上的函数满足对任意的x，，都有，且当时，．

（1）求证：函数是奇函数；

（2）求证：在上是减函数；

（3）若，对任意，恒成立，求实数t的取值范围．

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析    （3）.

【解析】

【分析】（1）利用赋值法以及奇函数的定义进行证明.

（2）根据已知条件，利用单调性的定义、作差法进行证明.

（3）把恒成立问题转化为函数的最值问题进行处理，利用单调性、一次函数进行处理.

【小问1详解】

令，，得，所以．令，得，即，所以函数是奇函数．

【小问2详解】

设，则，所以．

因，，，所以，即，所以．

又，所以，所以，

所以，即．所以在上是减函数．

【小问3详解】

由（2）知函数在上是减函数，

所以当时，函数的最大值为，

所以对任意，恒成立等价于对任意恒成立，即对任意恒成立．

设，是关于a的一次函数，，

要使对任意恒成立，

所以，即，解得或，

所以实数t的取值范围是．