2024年数学高考大一轮复习第五章 培优课 §5.4　平面向量的综合应用

§5.4　平面向量的综合应用

题型一　平面向量在几何中的应用

例1 (1)

如图，在△ABC中，cos∠BAC＝，点D在线段BC上，且BD＝3DC，AD＝，则△ABC的面积的最大值为________．

听课记录：______________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

(2)(2022·天津)在△ABC中，＝a，＝b，D是AC的中点，＝2，试用a，b表示为____________，若⊥，则∠ACB的最大值为________．

听课记录：______________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

思维升华 用向量方法解决平面几何问题的步骤

平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．

跟踪训练1 (1)在△ABC中，已知·＝0，且·＝，则△ABC为(　　)

A．等边三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．三边均不相等的三角形

(2)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，D点满足＝2，AD＝，则BC的长为(　　)

A．3   B．3

C．3   D．6

题型二　和向量有关的最值(范围)问题

命题点1　与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题

例2 如图，在△ABC中，点P满足2＝，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若＝x，＝y(x>0，y>0)，则2x＋y的最小值为(　　)

A．3  B．3  C．1  D.

听课记录：______________________________________________________________

________________________________________________________________________

命题点2　与数量积有关的最值(范围)问题

例3　如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，P是矩形ABCD内的动点，且点P到点A的距离为1，则·的最小值为________．

听课记录：______________________________________________________________

________________________________________________________________________

命题点3　与模有关的最值(范围)问题

例4 已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是(　　)

A．[－1，＋1]   B．[－1，]

C．[，＋1]   D．[2－，2＋]

听课记录：______________________________________________________________

________________________________________________________________________

思维升华 向量求最值(范围)的常用方法

(1)利用三角函数求最值(范围)．

(2)利用基本不等式求最值(范围)．

(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)．

(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值．

跟踪训练2 (1)在△ABC中，||＝2，||＝2，∠BAC＝120°，＝λ，＝μ(λ>0，μ>0)，M为线段EF的中点，若||＝1，则λ＋μ的最大值为(　　)

A.  B.  C．2  D.

(2)(2023·苏州模拟)已知△ABC为等边三角形，AB＝2，△ABC所在平面内的点P满足|－－|＝1，则||的最小值为(　　)

A.－1   B．2－1

C．2－1   D.－1

(3)(2022·北京)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围是(　　)

A．[－5,3]   B．[－3,5]

C．[－6,4]   D．[－4,6]