培优点06 平面向量的综合应用（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025高考数学一轮精讲讲练（新高考版）

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题型一 平面向量在几何中的应用
用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题eq \(――→,\s\up7(设向量))向量问题eq \(――→,\s\up7(计算))解决向量问题eq \(――→,\s\up7(还原))解决几何问题．
【例题1】（2024·湖南娄底·一模）已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2023·河南·模拟预测）在中，内角A，，所对的边分别为，，，，为上一点，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023·天津南开·一模）在平面四边形中，，则 ； .
【变式3】（2024·河北张家口·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为边上一点，且满足．
(1)证明：；
(2)若为内角A的平分线，且，求．
题型二 和向量有关的最值(范围)问题
命题点1 与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
【例题2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在中，为线段的一个三等分点，.连接，在线段上任取一点，连接，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2023·山东泰安·模拟预测）已知，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知正方体的棱长为2，空间中点P满足，则三棱锥的体积的最大值为 ．
【变式3】（23-24高三下·天津和平·开学考试）在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．设，，记，则 ；若，的面积为，则当 时，取得最小值．
命题点2 与数量积有关的最值(范围)问题
【例题3】（2024·黑龙江·三模）已知内角的对边分别为，动点位于线段上，则的最小值为（ ）
A．0B．C．D．
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知，为非零向量，且，，若的最小值为，则的值为（ ）．
A．B．C．4D．
【变式2】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知，为圆上的两个动点，，若点为直线上一动点，则的最小值为 .
【变式3】（2024·重庆·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求角A的大小；
(2)若，且，求AP的最小值．
命题点3 与模有关的最值(范围)问题
【例题4】（2022·内蒙古赤峰·模拟预测）已知点、在单位圆上，，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2023·重庆·三模）已知是单位向量，向量满足与成角，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2022·浙江·三模）已知平面向量满足，设，若，则的取值范围为 ．
【变式3】（2022·上海·模拟预测）已知向量在向量方向上的投影为，且，则的取值范围为 （结果用数值表示）
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·江西鹰潭·二模）在中，角所对应的边为,，，，是外接圆上一点，则的最大值是（ ）
A．4B．C．3D．
2．（2024·陕西渭南·二模）已知菱形的边长为为菱形的中心，是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·四川凉山·三模）已知平面向量，夹角为，且满足，，若当时，取得最小值，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知向量，满足，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2023·山东烟台·二模）如图，在中，，，，点分别在，上且满足，，点在线段上，下列结论正确的有（ ）．

A．若，则
B．若，则
C．的最小值为
D．取最小值时，
6．（2024·河南信阳·二模）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为的中点．，过作平面的垂线，垂足为，连，，设，的交点为，在中过作直线交，于，两点，，，过作截面将此四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为，下列说法正确的是（ ）

A．B．
C．D．的最小值为
三、填空题
7．（2024·湖北·模拟预测）已知向量，满足，，且，的夹角为，则的最小值是 .
8．（2024·上海闵行·二模）已知、是空间中两个互相垂直的单位向量，向量满足，且，当取任意实数时，的最小值为 .
9．（2022·天津南开·二模）已知平行四边形中，，，，则 ；若，，则的最大值为 ．
四、解答题
10．（2023·湖北·二模）已知在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，．
(1)若BC边上的高等于，求；
(2)若，求AB边上的中线CD长度的最小值．
11．（2023·四川成都·一模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角B；
(2)若边上的中线长为2，求面积的最大值.
【综合提升练】
一、单选题
1．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知向量，，且，，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）若单位向量，的夹角为，则当取得最小值时，的值为（ ）
A．－2B．－1C．D．
3．（2023高三下·全国·竞赛）已知平面向量，满足，，并且当时，取得最小值，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·山东青岛·三模）已知向量，，满足：，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．1
5．（2023高一·全国·单元测试）若，是两个互相垂直的单位向量，且向量满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．以上答案均不对
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．
7．（2023·江西景德镇·三模）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距，分别作为点的坐标和坐标，记.若斜坐标系中，轴正方向和轴正方向的夹角为，则该坐标系中和两点间的距离为（ ）

A．2B．1C．D．
8．（2022·浙江宁波·二模）已知平面向量，，满足，，，（，）.当时，（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·全国·模拟预测）已知点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．若，的夹角为锐角，则且
10．（2023·湖北·模拟预测）下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．已知，点在直线上，且，则的坐标为；
B．若是的外接圆圆心，则
C．若，且，则
D．若点是所在平面内一点，且，则是的垂心.
11．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，，，且，MN是圆Q：的一条直径，则（ ）
A．点P在圆Q外B．的最小值为2
C．D．的最大值为32
三、填空题
12．（2023·全国·模拟预测）已知在△ABC中，∠BAC=60°，点D为边BC的中点，E，F分别为BD，DC的中点，若AD=1，则的最大值为 ．
13．（2023·广西·模拟预测）在中，，点在线段上，且，，则面积的最大值为 ．
14．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如果复数，，，在复平面内对应的点分别为，，，，复数z满足，且，则的最大值为 .
四、解答题
15．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在中，角的对边分别为已知
(1)求角
(2)过作，交线段于D，且，求角.
16．（2022·湖南·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求中的最大值；
(2)求边上的中线长．
17．（2022·广东深圳·一模）如图，在△ABC中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．
(1)求的正弦值；
(2)求的余弦值．
18．（2023·河南·模拟预测）的内角的对边分别为，已知是边上一点，.
(1)求；
(2)求的最大值.
19．（2023·四川自贡·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.若D在线段BC上，且，.
(1)求A；
(2)求面积的最大值.
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2022·安徽黄山·一模）在中,,O是的外心,则的最大值为（ ）
A．1B．C．3D．
2．（2022·江苏盐城·模拟预测）在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是（ ）
A．B．C．3D．2
3．（22-23高三下·河北石家庄·阶段练习）设是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且.若存在，使得与垂直，且，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
4．（2023·贵州毕节·模拟预测）已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2022·湖北·二模）定义空间两个非零向量的一种运算：，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ）
A．B．
C．若，则D．
6．（2024·海南海口·模拟预测）已知，是上的两个动点，且.设，，线段的中点为，则（ ）
A．
B．点的轨迹方程为
C．的最小值为6
D．的最大值为
三、填空题
7．（2024·河北沧州·模拟预测）已知单位向量，向量与不共线，且，则的最大值为 ．
8．（2024·山东济宁·三模）已知，则的最小值为 .
9．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知是边长为1的正六边形边上相异的三点，则的取值范围是 .
四、解答题
10．（2023·重庆·模拟预测）在中，a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边，且．
(1)求角A的大小；
(2)记的面积为S，若，求的最小值．
11．（2023·四川成都·模拟预测）如图，A，B是单位圆（圆心为O）上两动点，C是劣弧（含端点）上的动点．记（，均为实数）．

(1)若O到弦AB的距离是，求的取值范围；
(2)若，向量和向量的夹角为，求的最小值．