2024年数学高考大一轮复习第八章 §8.3　空间点、直线、平面之间的位置关系（附答单独案解析）

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§8.3　空间点、直线、平面之间的位置关系考试要求　1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．知识梳理1．四个公理公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过______________________________的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们______________________________过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相________．2．空间中直线与直线的位置关系3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言符号语言公共点直线与平面相交 ____个平行 ____个在平面内 ____个平面与平面平行 ____个相交 ____个 4.等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角________________．5．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)范围：____________.常用结论1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)没有公共点的两条直线是异面直线．(　　)(2)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种．(　　)(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　　)(4)两两相交的三条直线共面．(　　)教材改编题1.如图是某正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列说法正确的是(　　) A．BM与ED平行B．CN与BM成30°角C．CN与BE是异面直线D．DM与BN是异面直线2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b(　　)A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线3.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．题型一　平面基本性质的应用例1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AA1的中点，连接D1F，CE.求证：(1)E，C，D1，F四点共面；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)CE，D1F，DA三线共点．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华 共面、共线、共点问题的证明(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1 (1)如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且A，B，C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必经过(　　) A．点A   B．点BC．点C但不过点M   D．点C和点M(2)如图所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE＝AF，G，H分别为FA，FD的中点．①证明：四边形BCHG是平行四边形；②C，D，F，E四点是否共面？为什么？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 题型二　空间位置关系的判断命题点1　空间位置关系的判断例2 (1)(2023·龙岩模拟)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　　)A．异面或平行   B．异面或相交C．异面   D．相交、平行或异面听课记录：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)下列推断中，正确的有________．①M∈α，M∈β，α∩β＝l⇒M∈l；②A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB；③l⊄α，A∈l⇒A∉α；④A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合．听课记录：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2　异面直线所成的角例3 (1)如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为(　　)A.   B.C.   D.听课记录：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·长春模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为BC，A1B1的中点，则异面直线PQ与A1C1所成角的正弦值为(　　)A.  B.  C.  D.听课记录：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华 (1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型．(2)求异面直线所成角的方法方法解读平移法将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线， 形成三角形求解补形法在该几何体的某侧补接上同样一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解 跟踪训练2 (1)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个结论正确的是(　　) ①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．A．①③   B．①④C．②③   D．③④(2)(2023·莆田模拟)若正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1底面边长为1，高为，则直线AE1和EF所成的角大小为(　　)A.  B.  C.  D.(3)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　)A.  B.  C.  D. 题型三　空间几何体的切割(截面)问题例4 (1)正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，E，F分别是AB，AD，B1C1，C1D1的中点，则正方体过P，Q，E，F的截面图形的形状是(　　)A．正方形   B．平行四边形C．正五边形   D．正六边形听课记录：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)如图，圆锥VO的母线长为l，轴截面VAB的顶角∠AVB＝150°，则过此圆锥的顶点作该圆锥的任意截面VCD，则△VCD面积的最大值是________，此时∠VCD＝________.听课记录：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华 (1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．(2)作交线的方法有如下两种：①利用公理3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．跟踪训练3 (1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和C1C上(异于端点)，则过三点A，F，E的平面被正方体截得的图形(截面)不可能是(　　)A．矩形   B．菱形C．正方形   D．梯形(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为________．