专题8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

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【核心素养】
1.通过考查空间线面关系，凸显逻辑推理、直观想象的核心素养．
2.通过考查空间角的计算，凸显数学运算、直观想象及逻辑推理的核心素养．
知识点一
平面的基本性质
(1)基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．
(2)基本事实2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．
(3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
知识点二
空间两直线的位置关系
1.位置关系的分类
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共面直线\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(相交直线,平行直线)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点))
2.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．知识点三
异面直线所成的角
1.异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)．
②范围：.
2.异面直线的判定方法：
判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；
反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
知识点四
空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有三种情况：在平面内---有无数个公共点；相交---有且只有一个公共点；平行---没有公共点．后两种情况直线不在平面内，也称直线在平面外.
(2)平面与平面的位置关系有两种情况：平行---没有公共点；相交---有一条公共直线．
知识点五
几个唯一性定理
唯一性定理：
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
常考题型剖析
题型一：平面的概念及其表示
【典例分析】
例1-1.（2022·全国·高三专题练习）如图所示，用符号语言可表述为（ ）
A．，，B．，，
C．，，，D．，，，
例1-2.（2023·全国·高三专题练习）平面上10个圆将平面分成区域的个数的最大值为（ ）
A．88B．90C．92D．以上答案都不对
【规律方法】
学习几何问题，三种语言间的互相转换是一种基本技能．要注意符号语言的意义，如点与直线、点与平面间的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面间的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．由图形语言表示点、线、面的位置关系时，要注意实线和虚线的区别．
【变式训练】
变式1-1.（2022·全国·高三专题练习）如图所示，点，线，面之间的数学符号语言关系为（ ）
A．，B．，C．，D．，
变式1-2.（2023·全国·高三专题练习）三棱柱各面所在平面将空间分成不同部分的个数为（ ）
A．18B．21C．24D．27
题型二：平面的基本性质及应用
例2-1.（2016·山东·高考真题（文））已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例2-2.（2023·全国·高三对口高考）给出下列命题：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线都与另一条直线相交，则这四条直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面．其中正确的命题为 ．
【变式训练】
变式2-1.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）下列关于点、线、面的位置关系的说法中不正确的是（ ）
A．若两个平面有三个公共点，则它们一定重合
B．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内
C．直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线 a，b是异面直线
D．正方体中，点是的中点，直线交平面于点，则A，M，O三点共线，且A，M，O，C四点共面
变式2-2.（2023·全国·高三专题练习）给出下列四个命题：
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；
②若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交；
③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；
④若三条直线两两相交，则这三条直线共面.
其中真命题的序号是 .
题型三：点共线、线共点及点线共面问题
【典例分析】
例3-1.（2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．三点共线B．四点异不共面
C．四点共面D．四点共面
例3-2.（2023·四川泸州·校考三模）如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，分别为，的中点．

(1)求证：直线、、交于一点；
(2)若，求多面体的体积．
【方法技巧】
1.证明点共线问题的常用方法
公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上
同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.
2.证明线共点问题的方法
证明若干线共点的基本思路是先找出两条直线的交点，再证明其他直线都经过该点．而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两个平面的公共点．
3.证明点、直线共面问题的常用方法
纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内
辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.
【变式训练】
变式3-1.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）以下四个命题中，正确的命题是（ ）
A．不共面的四点中，其中任意三点不共线
B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面
C．若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于P，Q，R，则P，Q，R三点共线
D．依次首尾相接的四条线段必共面
变式3-2.（2023·全国·高三对口高考）如图，正方体中，O是中点，与截面交于P，那么、P、O三点共线，其理由是 ．

题型四：截面问题问题
例4-1.（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知正方体的外接球的表面积为，点，分别是，的中点，过，，的截面最长边长为，最短边长为，则 .

例4-2.（2023·全国·高三专题练习）如图，正方体的棱长为1，分别是的中点，那么正方体过的截面图形的面积是 ．
【规律方法】
1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．
2．若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．
3.解决截面问题的关键是根据平面的性质结合题意作截面图形，一般作平面内与已知直线的平行线或者相交线.
【变式训练】
变式4-1.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体的棱长为2，设P，Q分别为，的中点，则过点P，Q的平面截正方体所得截面的形状可能为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
变式4-2.（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，，，为的中点，过的平面分别与棱，交于点E，F，且，则截面四边形的面积为 .
题型五：空间两直线的位置关系
【典例分析】
例5-1.（2023·全国·高三专题练习）下列结论正确的是（ ）
A．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.
B．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.
C．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.
D．若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面.
例5-2. （2020·全国·高考真题（理））设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
①②③④
【总结提升】
判断空间两直线位置关系的思路方法
(1)判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断．
(2)异面直线的判定方法
①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．
②定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
【变式训练】
变式5-1.（广东·高考真题（文））若空间中四条直线、、、，满足、、，则下列结论一定正确的是（ ）．
A．B．
C．、既不平行也不垂直D．、位置关系不确
变式5-2.（2022秋·福建福州·高三福建省连江第一中学校考期中）已知、是两条不重合的直线，、是两个不重合的平面，以下命题：
①若，，则；②若，，，，则；
③若，，，则；④若，，，则.
其中正确命题的个数是（ ）
A．个B．个C．个D．个
题型六：异面直线所成的角
【典例分析】
例6-1.（2018·全国·高考真题（文））在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
例6-2. （2023·高三课时练习）如图，已知是底面边长为1的正四棱柱，高．
(1)求异面直线与所成角的大小；
(2)求异面直线与的距离．
【规律方法】
1. 平移法：求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．
2．坐标法求异面直线所成的角
当题设中含有两两垂直的三边关系或比较容易建立空间直角坐标系时，常采用坐标法．
提醒：如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
【变式训练】
变式6-1.（2016·全国·高考真题（文））平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，,，，则m，n所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
变式6-2.（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习）如图所示，圆锥底面半径为2，为底面圆心，，为底面圆上的点，且，，则直线与所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
题型七：空间线面、面面关系
【典例分析】
例7-1.（2023秋·上海黄浦·高三上海市敬业中学校考开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．平行于同一直线的两个平面平行B．平行于同一平面的两条直线平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一直线的两个平面平行
例7-2.【多选题】（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）下列命题正确的有（ ）
A．空间中两两相交的三条直线一定共面
B．已知不重合的两个平面，则存在直线，使得为异面直线
C．有两个平面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
D．过平面外一定点，有且只有一个平面与平行
【总结提升】
1.直线与平面位置关系的判断：
(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．
(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．
2.判断两平面之间的位置关系时，可把自然语言转化为图形语言，搞清图形间的相对位置是确定的还是可变的，借助于空间想象能力，确定平面间的位置关系．
【变式训练】
变式7-1.（2023·全国·高三专题练习）已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则可以用来判断的条件有（ ）
①，
②，
③，，
④，，
A．①②B．①③C．②③D．①④
变式7-2.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，A为点，下列说法不正确的是（ ）
A．
B．为异面直线
C．
D．
一、单选题
1．（2023秋·山东潍坊·高三昌乐二中校考阶段练习）己知是不重合的三条直线，是不重合的三个平面，则（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，，，则
2．（2019·全国·高考真题（理））如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则（ ）
A．，且直线是相交直线
B．，且直线是相交直线
C．，且直线是异面直线
D．，且直线是异面直线
3.（2017·全国·高考真题（理））已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
二、多选题
4．（2023·全国·高三专题练习）正方体中，分别为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．平面平面
C．面
D．与是相交直线
5．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）在长方体中， ，则（ ）
A．与是异面直线B．与是异面直线
C．异面直线与的距离为1D．异面直线与的距离为
三、填空题
6．（2023·全国·高三对口高考）一个平面把空间分为 部分；两个平面把空间分为 部分；三个平面把空间分为 部分．
7．（2023·全国·高三专题练习）如图，正方体中，对角线与过、D、的平面交于点，则 ．

8.（2016·全国·高考真题（理））α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
（3）如果α∥β，mα，那么m∥β. （4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号）
9．（2022·全国·高三专题练习）以下说法：
①三条直线两两相交，则他们一定共面.
②存在两两相交的三个平面可以把空间分成9部分.
③如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，一定有平面且平面平面.
④四面体所有的棱长都相等，则它的外接球表面积与内切球表面积之比是9.
其中正确的是
四、解答题
10.（2022·北京·高一期末）如图，在正方体中，是棱上一点，且．
(1)试画出过三点的平面截正方体所得截面；
(2)证明：平面与平面相交，并指出它们的交线．
11．如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．
12.（2022·广东韶关·高一期末）如图，已知正方体的棱长为2，E，F分别是AB，的中点．
(1)求直线与直线所成角的正切值；
(2)求三棱锥的体积．