考试要求　1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理.3.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.4.了解反证法的思考过程和特点.

知识梳理

1．合情推理

类型	定义	特点
归纳推理	由某类事物的____对象具有某些特征，推出该类事物的____对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理	由________到____、由____到______
类比推理	由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理	由________到________

2.演绎推理

(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到________的推理．

(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

3．直接证明

(1)综合法

①定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的____________，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．

②框图表示：―→―→―→…―→

(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)．

③思维过程：由因导果．

(2)分析法

①定义：一般地，从________________________出发，逐步寻求使它成立的________________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．

②框图表示：―→―→―→…―→

(其中Q表示要证明的结论)．

③思维过程：执果索因．

4．间接证明

反证法：一般地，假设原命题________________(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出________，因此说明假设错误，从而证明了______________，这样的证明方法叫做反证法．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(　　)

(2)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(　　)

(3)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　　)

(4)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”．(　　)

教材改编题

1．已知在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　　)

A．an＝3n－1 B．an＝4n－3

C．an＝n2 D．an＝3n－1

2．给出下列命题：“①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等，③正方形是矩形”，按照三段论证明，正确的是(　　)

A．①②⇒③ B．①③⇒②

C．②③⇒① D．以上都不对

3．已知a，b为实数，用反证法证明命题：“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的假设是(　　)

A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根

B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根

C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根

D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根

题型一　合情推理与演绎推理

命题点1　归纳推理

例1 (2022·咸阳模拟)若x>0，不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1(n∈N*)，则a的值为(　　)

A．2n B．n2 C．22(n－1) D．nn

听课记录：____________________________________________________________________

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命题点2　类比推理

例2 (2022·成都质检)在△ABC中，AC⊥BC，AC＝a，BC＝b，则△ABC的外接圆的半径r＝，将此结论类比推广到空间中可得：在四面体P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝a，PB＝b，PC＝c，则四面体P－ABC的外接球的半径R＝________.

听课记录：____________________________________________________________________

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命题点3　演绎推理

例3 (2023·西安模拟)下列三句话按“三段论”的表述形式，排列顺序正确的是(　　)

①y＝ln|x|是偶函数；②y＝ln|x|的图象关于y轴对称；③偶函数的图象关于y轴对称．

A．①→②→③ B．③→②→①

C．②→①→③ D．③→①→②

听课记录：____________________________________________________________________

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思维升华 (1)归纳推理问题的常见类型及解题策略

①与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号．

②与式子有关的推理．观察每个式子的特点，注意纵向对比，找到规律．

③与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．

(2)类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差数列与等比数列类比；运算类比；数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等．

跟踪训练1　(1)《论语·子路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足．”所以，名不正，则民无所措手足．上述推理用的是(　　)

A．类比推理 B．演绎推理

C．归纳推理 D．以上都不对

(2)已知命题“若数列{an}为等差数列，有am＋n＝(m≠n，m，n∈N*)”是真命题．现已知数列{bn}(bn>0)为等比数列，若类比上述结论，则可得bm＋n＝________.

(3)“开车不喝酒，喝酒不开车”，为了营造良好的交通秩序，全国各地交警都大力宣传和查处“酒驾行为”．某地交警在设卡查处“酒驾行为”时碰到甲、乙、丙三位司机，司机甲说：我喝酒了．司机乙说：我没有喝酒．司机丙说：甲没有喝酒．若这三位司机身上都有酒味，但只有一人真正喝酒了，三人中只有一人说的是真话，请你在不使用酒精测试仪的情况下，帮助交警判定出真正喝酒的人是________．

题型二　直接证明与间接证明

命题点1　综合法

例4 设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：