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2023-2024学年湖北省武汉市武昌区湖北大学附中九年级(上)月考数学试卷(10月份)(含解析)
展开2023-2024学年湖北省武汉市武昌区湖北大学附中九年级(上)月考数学试卷(10月份)
一、选择题(本大题共10小题,共30.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.将一元二次方程化成一般式后,二次项系数和一次项系数分别为( )
A. , B. , C. , D. ,
3.用配方法解方程时,原方程应变形为( )
A. B. C. D.
4.抛物线,,共有的性质是( )
A. 开口向下 B. 对称轴为轴
C. 都有最低点 D. 随的增大而减小
5.关于的一元二次方程的一个根是,则的值为( )
A. B. C. 或 D.
6.当时,与的图象大致是( )
A. B. C. D.
7.如图,长,宽的矩形基地上有三条宽的小路,剩余种花,依题意列方程( )
A. B.
C. D.
8.已知是方程的根,则的值是( )
A. B. C. D.
9.如图所示,矩形,,,点是边上的一个动点,点是对角线上一个动点,连接,,则的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
10.若关于的一元二次方程为实数,在的范围内有解,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共6小题,共18.0分)
11.方程的解为______.
12.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干长出同样数量的小分支若主干,支干和小分支的总数是,设每个支干长出个小分支,则可列方程为______ .
13.是方程的一个根,则的值为______ .
14.已知,点,,都在函数的图象上,则,,的大小关系是______.
15.已知抛物线为常数的一般形式为:为常数该抛物线与轴的一个交点在点和之间则下列结论:
;
;
一元二次方程的两根,,则
对于任意实数,不等式恒成立.
其中正确的说法有______ 填序号
16.如图,在中,,,点在边上,点在上,,若,,则的长是______ .
三、解答题(本大题共8小题,共72.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.本小题分
解下列方程:
18.本小题分
参加一次商品交易会的每两家公司之间都签定了一份合同,所有公司共签定了份合同,共有多少家公司参加商品交易会?
19.本小题分
已知是二次函数,且当时,随的增大而增大.
求的值;
如果点是此二次函数的图象上一点,若,那么的取值范围为______.
20.本小题分
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.
求的取值范围;
若方程的两个不相等的实数根是,,求的值.
21.本小题分
如图均是由边长为的小正方形构成的网格,的顶点都在网格线的交点上,仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图,画图过程用虚线表示,画图结果用实线表示.
如图,过点作线段,使得且;
如图,过格点作直线于点,并在直线上作出点不与点重合,使得;
如图,以为边,向右作正方形,为与网格线的交点,在上求作一点使得.
22.本小题分
随旅游旺季的到来,北湖湿地公园的游客人数逐月增加,月份游客人数为万人,月份游客人数为万人.
求这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率;
预计月份北湖湿地公园游客人数会继续增长,但增长率不超过前两个月的月平均增长率已知北湖湿地公园月日至月日已接待游客万人,则月份后天日均接待游客人数最多是多少万人?
23.本小题分
【探究发现】如图,已知矩形的对角线的垂直平分线与边,分别交于点,求证:四边形是菱形;
【类比应用】如图,直线分别交矩形的边,于点,,将矩形沿翻折,使点的对称点与点重合,点的对称点为,若,,求四边形的周长;
【拓展延伸】如图,直线分别交平行四边形的边,于点,,将平行四边形沿翻折,使点的对称点与点重合,点的对称点为,若,,,求的长.
24.本小题分
抛物线交轴于,两点点在点的左边,▱顶点在轴的正半轴上,点,在抛物线上,.
求点,的坐标;
求与之间的关系式;
若▱的面积是,求点的坐标.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:符合一元二次方程的定义,故本选项符合题意;
B.整理后可得,是一元一次方程,故本选项不合题意;
C.是分式方程,故本选项不合题意;
D.是一元三次方程,故本选项不合题意;
故选:.
根据一元二次方程的定义,只含有一个未知数,并且最高次项的次数是次,并且得是整式方程,即可判断.
本题考查了一元二次方程的概念,只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程,一般形式是特别要注意的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.
2.【答案】
【解析】解:一元二次方程化成一般式为:,
故二次项系数是,一次项系数是.
故选:.
先把方程化为一元二次方程的一般形式,进而可得出结论.
本题考查是一元二次方程的一般形式,熟知一般地,任何一个关于的一元二次方程经过整理,都能化成如下形式,这种形式叫一元二次方程的一般形式是解题的关键.
3.【答案】
【解析】解:,
,
,
,
故选:.
利用解一元二次方程配方法,进行计算即可解答.
本题考查了解一元二次方程配方法,熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键.
4.【答案】
【解析】解:抛物线,,共有的性质是顶点坐标是都是,对称轴都是轴,故选项B符合题意,选项A、、不符合题意,
故选:.
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以解答本题.
本题考查二次函数的性质,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查一元二次方程的解的概念和一元二次方程的定义,掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键.解答此题将代入方程可得:,解之求得的值,在根据一元二次方程的定义求解可得.
【解答】
解:根据题意将代入方程可得:,
解得:或,
,即,
,
故选B.
6.【答案】
【解析】解:根据题意,,则、同号,
当时,,开口向上,过原点,过一、二、三象限;
此时,没有选项符合,
当时,,开口向下,过原点,过二、三、四象限;
此时,选项符合,
故选:.
根据题意,,则、同号,分与两种情况讨论,分析选项可得答案.
本题考查二次函数与一次函数的图象的性质,要求学生理解系数与图象的关系.
7.【答案】
【解析】解:由题意可得,
,
故选:.
根据题意可知:大长方形的面积路的面积种花的面积,然后利用平移即可写出相应的方程.
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程.
8.【答案】
【解析】解:原式
,
是方程的根,
,
即,
原式.
故选:.
先把括号内通分和除法运算化为乘法运算,再约分得到原式,接着利用一元二次方程根的定义得到,然后利用整体代入的方法得到原式,最后约分即可.
本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
9.【答案】
【解析】解:作点关于的对称点,连接,,过点作于点,交于点,如图:
由对称性可得,
,
当,,三点共线,且时,即点在点处,点在点处时,的值最小.
,,
,,
,
,
,
,
.
故选:.
作点关于的对称点,连接,,过点作于点,交于点,即可得到的最小值为,再运用锐角三角函数即可解答.
本题主要考查矩形的性质和线段和最小值问题,解题的关键在于作出适当的辅助线.
10.【答案】
【解析】解:设,
,
,
解得,
对称轴为,
时,,
解得.
故的取值范围是.
故选:.
先设,根据根的判别式得到,再利用抛物线的对称轴求出时,,解得,进一步得出的取值范围.
本题考查了根的判别式:一元二次方程的根与有如下关系:当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程无实数根.
11.【答案】
【解析】解:方程,
移项,得,
开平方,得,
故答案为:.
移项,再直接开平方求解.
本题考查了直接开方法解一元二次方程.用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:;同号且;;同号且法则:要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为,再开平方取正负,分开求得方程解”.
12.【答案】
【解析】解:根据题意,得,
故答案为:.
根据主干,支干和小分支的总数是,列一元二次方程即可.
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键.
13.【答案】
【解析】解:是方程的一个根,
,
,
.
故答案为:.
先根据一元二次方程解的定义得到,再把变形为,然后利用整体的方法计算.
本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
14.【答案】
【解析】解:当时,,
而抛物线的对称轴为直线,开口向上,
三点都在对称轴的左边,随的增大而减小,
.
故本题答案为:.
抛物线的对称轴为轴,即直线,图象开口向上,当时,,在对称轴左边,随的增大而减小,由此可判断,,的大小关系.
本题考查了二次函数的增减性.当二次项系数时,在对称轴的左边,随的增大而减小,在对称轴的右边,随的增大而增大;时,在对称轴的左边,随的增大而增大,在对称轴的右边,随的增大而减小.
15.【答案】
【解析】解:抛物线为常数,
抛物线开口向下,对称轴为直线,顶点为,
抛物线与轴的一个交点在点和之间,
抛物线与轴的另一个交点在点和之间.
当时,,
即,所以结论正确;
抛物线的对称轴为直线,
,
,
,所以结论正确;
一元二次方程的两根,,
抛物线与轴的交点的横坐标为,,
抛物线的对称轴为直线,
,所以结论错误;
时,函数有最大值,
任意实数,
,所以结论正确;
故答案为:.
利用抛物线的对称性,借组图象即可判断;根据对称轴为直线即可判断;根据题意得出抛物线与轴的交点的横坐标为,,据对称轴为直线即可判断;根据时,函数有最大值即可判断.
本题考查了抛物线与轴的交点,二次函数图象与系数的关系:对于二次函数,二次项系数决定抛物线的开口方向和大小:当时,抛物线向上开口;当时,抛物线向下开口;一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置:当与同号时即,对称轴在轴左;当与异号时即,对称轴在轴右;常数项决定抛物线与轴交点位置:抛物线与轴交于:抛物线与轴交点个数由决定:时,抛物线与轴有个交点;时,抛物线与轴有个交点;时,抛物线与轴没有交点.
16.【答案】
【解析】解:作,交于,于,
,
,
,
,
是等腰直角三角形,
,
,
,
,
,
,
∽,
;:,
是等腰直角三角形,
,
,
::
令,,
,
,
::,
,
,
等腰直角三角形,
,
,
,
,
.
故答案为:.
作,交于,于,可以证明∽,得到;:,求出::,由锐角的正切推出::,得到,因此,由勾股定理即可求出的长.
本题考查等腰直角三角形,相似三角形的判定和性质,勾股定理,关键是通过作辅助线构造相似三角形,求出::.
17.【答案】解:,
,
,
,
;
,
,
或;
【解析】根据配方法即可求出答案;
根据因式分解法即可求出答案.
本题考查一元二次方程,解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法,本题属于基础题型.
18.【答案】解:设有家公司参加,依题意,得
.
整理得:.
解得:,舍去
答:共有公司参加商品交易会.
【解析】每家公司都与其他公司鉴定了一份合同,设有家公司参加,则每个公司要签份合同,签订合同共有份.
本题考查了一元二次方程的应用,甲乙之间互签合同,只能算一份,本题属于不重复记数问题,类似于若干个人,每两个人之间都握手,握手总次数;或者平面内,个点没有三点共线之间连线,所有线段的条数.解答中注意舍去不符合题意的解.
19.【答案】
【解析】解:根据题意得且,解得,,
二次函数当时,随的增大而增大,
二次函数的图象的开口向下,即,
;
,
抛物线开口向下,对称轴为轴,顶点为原点,
当时,;时,,
二次函数的图象上点,且,则的取值范围为.
故答案为:.
根据二次函数的定义得到且,解得,,由于当时,随的增大而增大,根据二次函数的性质则有,于是得到;
求得当时,;时,,然后关键二次函数的性质即可得到的取值范围.
本题考查了二次函数的定义,二次函数图象上点的坐标特征,掌握二次函数的性质是本题的关键.
20.【答案】解:方程有两个不相等的实数根,
,
解得.
的取值范围为;
由根与系数关系得,,
.
【解析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用,时,方程有两个不相等的实数根;时,方程有两个相等的实数根;时,方程没有实数根;,.
根据方程有两个不相等的实数根可得,解不等式求出的取值范围;
由根与系数的关系可得,,代入整理后的代数式,计算即可.
21.【答案】解:如图,线段即为所求;
如图,图形如图所示;
如图,图形如图所示:
【解析】利用平移变换的性质作出图形即可;
利用数形结合的射线作出直线,再利用网格特征解决问题即可;
构造等腰直角三角形解决问题即可.
本题考查作图应用于设计作图,全等三角形的判定和性质,正方形的判定等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
22.【答案】解:设这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率为,
根据题意得:,
解得:,不符合题意,舍去.
答:这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率为;
设月份后天日均接待游客人数是万人,
根据题意得:,
解得:,
的最大值为.
答:月份后天日均接待游客人数最多是万人.
【解析】设这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率为,利用月份游客人数月份游客人数这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率,可列出关于的一元二次方程,解之取其符合题意的值,即可得出结论;
设月份后天日均接待游客人数是万人,根据月份游客人数不超过万人,可列出关于的一元一次不等式,解之取其中的最大值,即可得出结论.
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:找准等量关系,正确列出一元二次方程;根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.
23.【答案】证明:四边形是矩形,
,
,
垂直平分,
,,
≌,
,
四边形为平行四边形,
,
平行四边形为菱形;
解:过点作于,
由折叠可知:,,
在中,,即,
,
,
,
,
,
,
四边形是矩形,
,,
,
,
四边形的周长;
解:过点作,交的延长线于,过点作于,
四边形是平行四边形,,
,
,
,
,
,
由折叠的性质可知:,,
,
,
,
,
,
,
,
,,
四边形是平行四边形,
,
四边形是矩形,
,
在中,,
,
在中,.
【解析】通过证明≌,得到,可证四边形为平行四边形,再由,可证平行四边形为菱形;
过点作于,先判断四边形是矩形,再求矩形的边长,进而求出周长;
过点作,交的延长线于,过点作于,先证明四边形是平行四边形,再证明四边形是矩形,在中,求出,中,求出即可.
本题是四边形的综合题,熟练掌握菱形的判定及性质,平行四边形的判定及性质,图形折叠的性质是解题的关键.
24.【答案】解:令,
解得:,
即点、的坐标分别为:、;
点,点的坐标为,
点向右平移个单位向上平移个单位得到点,
则点向右平移个单位向上平移个单位得到点,
将点的坐标代入抛物线表达式得:,
整理得:;
连接,过点作轴的平行线交轴于点,交过点与轴的平行线与点,
则,
解得舍去或,
故点的坐标为.
【解析】令,解得:,即可求解;
点向右平移个单位向上平移个单位得到点,则点向右平移个单位向上平移个单位得到点,即可求解;
由,即可求解.
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系.
2023-2024学年湖北省武汉市江夏区九年级(上)月考数学试卷(12月份)(含解析): 这是一份2023-2024学年湖北省武汉市江夏区九年级(上)月考数学试卷(12月份)(含解析),共25页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
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