2023-2024学年湖北省武汉市武昌区首义中学九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖北省武汉市武昌区首义中学九年级（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列方程中，是关于的一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.抛物线的顶点坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

3.用配方法解方程时，配方后正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.一元二次方程根的情况是
(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定

5.把抛物线向右平移个单位，然后向下平移个单位，则平移后抛物线的解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

6.某公司今年月的营业额为万元，按计划第季度的营业额要达到万元，设该公司、月的营业额的月平均增长率为根据题意列方程正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

7.已知、是一元二次方程的两个根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.如图，在平行四边形中，点沿方向从点移动到点，设点移动路程为，线段的长为，图是点运动时随变化的关系图象，则的长为(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.若抛物线的开口向上，则实数的取值范围为______．

10.若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为______．

11.已知关于的方程有两个不相等的实数根，请写出一个符合条件的值______．

12.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯次，则参加酒会的人数为______．

13.已知，，为抛物线上的三点，那么，，的大小关系是______．

14.如图，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，，
，连接，将线段向上平移落在处，且恰好经过这个抛物线的顶点，则四边形的周长为______．

15.已知有理数，我们把称为的差倒数，如：的差倒数是，的差倒数是，如果的差倒数正好是，那么的值是______．

16.二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：；；若方程有两个根和，且，则；的最小值为其中正确结论的是______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
先化简，再求值．
，其中．

18.本小题分
解方程：
；
．

19.本小题分
已知是二次函数，且当时，随的增大而增大．
求的值；
如果点是此二次函数的图象上一点，若，那么的取值范围为______．

20.本小题分
云梦鱼面是湖北地区的汉族传统名吃之一，主产于湖北省云梦县，并因此而得名，年，云梦鱼面在巴拿马万国博览会参加特产比赛获优质银牌奖，产品畅销全国及国际市场．今年云梦县某鱼面厂在“农村淘宝网店”上销售云梦鱼面，每袋成本元，该网店于今年月销售出袋，每袋售价元，为了扩大销售，月准备适当降价．据测算每袋鱼面每降价元，销售量可增加袋．
每袋鱼面降价元时，月共获利多少元？
当每袋鱼面降价多少元时，能尽可能让利于顾客，并且让厂家获利元？

21.本小题分
已知关于的方程：．
求证：无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根．
设非实数，是方程的两根，试求的值．

22.本小题分

如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．
求的值及抛物线的顶点坐标．
点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标．

23.本小题分
九年级数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第且为整数天的售价与销量的相关信息如下表：

已知该商品的进价为每件元，设销售该商品的每天利润为元．
求出与的函数关系式；
问销售该商品第几天时，日销售利润最大，最大是多少？
该商品在销售过程中，共有几天日销售利润不低于元？请直接写出结果．

24.本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，且，点为第二象限内抛物线上的一点，连接．
求抛物线的解析式；
如图，过点作轴于点，若，求的值；
如图，设与的交点为，连接，是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B.，是二元二次方程，故本选项不符合题意；
C.是分式方程，故本选项不符合题意；
D.是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．

2.【答案】 

【解析】解：抛物线，
该抛物线的顶点坐标为，
故选：．
根据题目中的抛物线解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

3.【答案】 

【解析】解：，
，即．
故选：．
方程左右两边都加上，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：，
所以方程无实数根．
故选：．
先计算判别式的值，然后根据判别式的意义确定方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．

5.【答案】 

【解析】解：把抛物线向右平移个单位，然后向下平移个单位，则平移后抛物线的解析式为：．
故选：．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：设该公司、月的营业额的月平均增长率为，
依题意，得：．
故选：．
设该公司、月的营业额的月平均增长率为，根据计划第季度的总营业额达到万元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：、是一元二次方程的两个根，
，，
是的一个根，
，
，
．
故选：．
由于、是一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系可得，而是方程的一个根，可得，即，那么，再把、、的值整体代入计算即可．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程两根、之间的关系：，．

8.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，连接，
根据图知：当点与点重合时，，
当与重合时，，
，
，
当点到达点时，，
，
．
故选：．
根据平行四边形的性质，再结合运动时随的变化的关系图象，通过勾股定理即可求解．
本题主要考查动点问题的函数图象，平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质，根据点运动规律，结合函数图象解题是解题关键．

9.【答案】 

【解析】解：抛物线的开口向上，
，
解得．
故答案为：．
由抛物线开口方向向上可知，解不等式可得的范围．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：把代入方程，得，
解得．
故答案为：．
先把代入方程得，然后解关于的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：根据题意得，
解得，
所以可以取．
故答案为：答案不唯一．
根据根的判别式的意义得到，再解不等式得到的取值范围，然后在此范围内选取一个值即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．

12.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设参加酒会的人数为人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯次，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】
解：设参加酒会的人数为人，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：参加酒会的人数为人．
故答案为：．

13.【答案】 

【解析】解：，
抛物线的开口向上，对称轴为直线，
，，为抛物线上的三点，且，
．
故答案为：．
先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的的性质即可判断．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴交于和，
抛物线解析式为，
即；
，
顶点的坐标为，
当时，，则，
，
设直线的解析式为，
把，分别代入得，
解得，
直线的解析式为，
线段向上平移得到，
，，
四边形为平行四边形，
设直线的解析式为，
把代入得，
解得，
直线的解析式为，
当时，，则，
，
四边形的周长．
故答案为：．
先利用交点式得到抛物线解析式为，则利用配方法得到顶点的坐标为，再确定，则可根据勾股定理计算出，利用待定系数法确定直线的解析式为，接着根据平移的性质可判断四边形为平行四边形，然后利用待定系数法求出直线的解析式得到，然后利用四边形的周长进行计算即可．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．

15.【答案】 

【解析】解：由题意知，，
解得，
当时，，
，
当时，，
，
故答案为：．
根据差倒数的定义得出的值，然后得出结论即可．
本题主要考查有理数的计算，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：抛物线的开口向上，则，对称轴在轴的左侧，则，交于轴的负半轴，则，
，错误；
抛物线的顶点坐标为，
，

时，，
，正确；
抛物线的顶点坐标为，
，，
，，
抛物线的解析式为，
抛物线交轴于，，
若方程有两个根和且，则一正确；
当时，有最小值，，最小值为故正确．
故答案为：．
根据图象判断参数符号，判断，将代入解析式，可判断，由顶点坐标可得、，进而根据图象判断．
本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．

17.【答案】解：原式
，
当时，
原式

． 

【解析】原式去括号，合并同类项进行化简，然后代入求值．
本题考查整式的加减化简求值，掌握合并同类项系数相加，字母及其指数不变和去括号的运算法则括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项都变号是解题关键．

18.【答案】解：，
，
或，
，；
，
，
，即，
，
，． 

【解析】利用因式分解法求解可得；
利用配方法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

19.【答案】 

【解析】解：根据题意得且，解得，，
二次函数当时，随的增大而增大，
二次函数的图象的开口向下，即，
；
，
抛物线开口向下，对称轴为轴，顶点为原点，
当时，；时，，
二次函数的图象上点，且，则的取值范围为．
故答案为：．
根据二次函数的定义得到且，解得，，由于当时，随的增大而增大，根据二次函数的性质则有，于是得到；
求得当时，；时，，然后关键二次函数的性质即可得到的取值范围．
本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是本题的关键．

20.【答案】解：由题意可得：元，
答：每袋降价元时，月共获利元；
设当农产品每袋降价元时，
根据题意可得，
解得，，
由于能尽可能让利于顾客，
舍去，
答：当农产品每袋降价元时，能尽可能让利于顾客，并且让商家获利元． 

【解析】由销量每袋的利润总利润即可求出答案；
根据销量每袋的利润总利润列出方程，解答即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握销量、每袋的利润、总利润的关系是解决问题的关键．

21.【答案】证明：关于的方程：，
，，，


，
无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根；
解：实数，是方程的两根，
把代入方程得：，
解得：或，
又
故
把代入方程得：，即，
解得：或，
则． 

【解析】表示出方程根的判别式，利用非负数的性质判断其值大于，即可得证；
把代入方程求出的值，进而求出的值，即可求出所求．
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．

22.【答案】解：将点代入得，
，，
抛物线解析式为
，
抛物线的顶点坐标为；
如下图，点与点是关于直线成轴对称，根据其性质有，
，
当点、点、点共线时，为最小值，即为的最小值，
由抛物线解析式为，可得点坐标为，点坐标为，对称轴为，
设直线的解释为，将点，点，代入得，
，解得，
直线的解析式为，联立方程，
，解得，
当的值最小时，点的坐标为．
 

【解析】将点，代入，得其解析式，从而求出的值及抛物线的顶点坐标；
利用“将军饮马”思路，点关于抛物线对称轴对称的点是点，进而解决问题．
本题考查了学生对二次函数的理解，以及利用函数和几何综合知识点解决最值问题，综合性很强，难度相对比较大．

23.【答案】解：当时，，
当时，，
综上所述：；
当时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为，
当时，，
当时，随的增大而减小，
当时，．
综上所述，该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元；
当时，，解得，
因此利润不低于元的天数是，共天；
当时，，解得，
因此利润不低于元的天数是，共天，
所以该商品在销售过程中，共天每天销售利润不低于元． 

【解析】根据利润每件的利润销售的件数可得到函数的关系式；
根据分段函数的性质，可分别得出最大值，从而可求得的取值；
根据二次函数值大于或等于，一次函数值大于或等于，可得到或，然后解得的取值范围．
本题考查了二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用二次函数与一元二次不等式的关系求得不等式的解集是解题的关键．

24.【答案】解：把代入得，
点坐标为，，
，
，
抛物线对称轴为直线，
点横坐标为，
点横坐标为，
即点坐标为，点坐标为，
把代入得，
解得，
．
设交轴于点，

轴，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
点坐标为
设直线解析式为，
将，代入得，
解得，
．
令，
解得或，
点的横坐标为，
，，
．
不存在，理由如下：
作轴交延长线于点，

，
为中点，
≌，
，
设，则，
设直线解析式为，
把，代入解析式得，
解得，
，
点在直线上，
，
该方程无解，
符合题意的点不存在． 

【解析】由解析式求出点坐标，再由求出长度，根据对称轴为直线可得点，坐标，进而求解．
设交轴于点，由可得，即，，通过勾股定理求出点坐标，从而求出直线解析式，联立方程可得点横坐标，进而求解．
作轴交延长线于点，由可得为中点，从而得出≌，设点，可用含代数式表示点，求出所在直线方程，将点代入求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过添加辅助线求解．