2023-2024学年江西省九江市修水县八年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年江西省九江市修水县八年级（上）月考数学试卷（10月份）

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列运算错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.下列各数中，是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.下列给出的四组数中，是勾股数的一组是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4.下列说法正确的是(    )

A. 平方根等于本身的数是 B. 带根号的数都是无理数
C. 立方根等于本身的数是或 D. 有理数和数轴上的点是一一对应的

5.在数轴上，离最近的整数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.的相反数是______ ．

8.的算术平方根是______ ．

9.有理数和无理数统称______ ．

10.若一个正方体的体积为，则该正方体的棱长为______ ．

11.如图，是线段上的一点，以，为边在的两侧作正方形，设，两个正方形的面积和为，即，则图中阴影部分的面积为______ ．

12.如图，将长方形分为的网格，每个小正方形的边长为，点、分别是边、上的一点，且若点位于长方形内部不含边的网格点上，且当为直角三角形时，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.本小题分
计算：；
已知，求的值．

14.本小题分
小明从家出发向正东方向走了，接着向正北方向走了，这时小明离出发点多远？

15.本小题分
把下列各数填入相应的集合内：
，，，，，相邻两个之间的个数逐次加．
有理数集合：______ ；
无理数集合：______ ；
负实数集合：______ ．

16.本小题分
已知的立方根是，的算术平方根是，求的平方根．

17.本小题分

如图，这是的网格，每个小正方形的边长为，请仅用无刻度直尺按下列要求作图保留作图痕迹．
在图中作钝角，使点在格点上，且．
在图中的线段上作点，使得的面积为．

18.本小题分
如图，某校有一块四边形空地，现计划在该空地上种草皮，经测量，，，，，求这块场地的面积．

19.本小题分
如图，这是一个棱长为的正方体空盒子盒子表面厚度忽略不计．
盒子外有一只蚂蚁从点沿表面爬到相对的点，求蚂蚁爬行的最短路程．
盒子内有一只飞虫从点飞到相对的点，求飞虫飞行的最短路程．

20.本小题分
一只蚂蚁从点沿数轴向左爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
求的值．
在数轴上还有、两点分别表示实数、，且满足，求的立方根．

21.本小题分
“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若，则；若，则；若，则．
例如：比较与的大小．
由“作差法”得，
，
，
，
．
请根据上述方法解答以下问题：
的整数部分是______ ，小数部分是______ ．
比较与的大小．

22.本小题分

如图，在中，，，，是的中点，连接．
求证：．
求的长．

23.本小题分
我们把对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”如图，已知四边形，，像这样的四边形称为“垂美四边形”．
探索证明
如图，设，，，，猜想，，，之间的关系，用等式表示出来，并说明你的理由．
变式思考
如图，，是的中线，，垂足为，，设，，，请用一个等式把，，三者之间的数量关系表示出来：______ ．
拓展应用
如图，在长方形中，为的中点，若四边形为“垂美四边形”，且，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：：负数没有算术平方根，故A错误；
：，故B正确；
：，故C正确；
：，故D正确；
故选：．
根据算术平方根和立方根的定义即可求解．
本题考查算术平方根和立方根．掌握相关定义是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：：是分数，属于有理数，不符合题意；
：是有限小数，属于有理数，不符合题意；
：是无理数，故是无理数，符合题意；
：是整数，属于有理数，不符合题意；
故选：．
无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比．若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环．
本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：类，如等；开方开不尽的数，如等；具有特殊结构的数，如两个之间依次增加个，两个之间依次增加个．

3.【答案】 

【解析】解：、，不能构成勾股数，不符合题意；
B、不是整数，所以不能构成勾股数，不符合题意；
C、，，不是整数，所以不能构成勾股数，不符合题意；
D、，能构成勾股数，符合题意．
故选：．
根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数．
此题考查了勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．

4.【答案】 

【解析】解：、平方根等于它本身的数是，故此选项符合题意；
B、带根号且开方开不尽的数是无理数，故此选项不符合题意；
C、立方根等于本身的数是，，故此选项不符合题意；
D、实数和数轴上的点是一一对应的，故此选项不符合题意；
故选：．
根据平方根、立方根、无理数、实数和数轴的关系，分别判断即可．
本题考查了平方根、立方根、无理数、实数和数轴的关系，熟练掌握这些定义是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
则离最近的整数是，
故选：．
先估算出，然后再比较与的大小即可．
本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，，
．
设的长为，则，
所以．
在直角中，，即，
解得：．
故选：．
设的长为，则，故AD在直角中利用勾股定理即可求解．
本题考查勾股定理的实际应用．找到直角三角形，利用勾股定理即可．

7.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故答案为：．
直接利用相反数的定义分析得出答案．
此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．

8.【答案】 

【解析】解：，
的算术平方根是．
故答案为：．
利用算术平方根定义计算即可求出值．
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解本题的关键．

9.【答案】实数 

【解析】解：实数可分为有理数和无理数，
有理数和无理数统称实数．
故答案为实数．
实数可分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，整数分为正整数、负整数和．
本题主要考查实数的有关概念，掌握并熟练运用概念是解本题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：设它的棱长是，则
，
．
棱长是．
故答案为．
由于正方体的体积是棱长的立方，直接利用立方根的定义即可求得棱长．
此题主要考查了立方根的性质．立方根的性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；的立方根是．

11.【答案】 

【解析】解：设，，由题意可知，，，
，


，
，
故答案为：．
设，，由题意可得，，由，可求出，再由可得答案．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．

12.【答案】或或 

【解析】解：如图，当为直角三角形时，则的长为：
或或，
故答案为：或或．
根据网格利用勾股定理即可解决问题．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，解决本题的关键是准确利用网格．

13.【答案】解：原式

；
，
，
． 

【解析】利用立方根与二次根式的性质解答即可；
利用平方根的意义解答即可．
本题主要考查了实数的运算，立方根，平方根，二次根式的性质，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．

14.【答案】解：如图，由题意得：，，，
，

在中，由勾股定理得：，
这时小明离出发点，
答：这时小明离出发点． 

【解析】由题意得，，，再由勾股定理求出的长即可．
本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出的长是解题的关键．

15.【答案】，，，， ，相邻两个之间的个数逐次加， ，， 

【解析】解：，；
有理数集合：；
故答案为：，，，；
无理数集合：相邻两个之间的个数逐次加，；
故答案为：，相邻两个之间的个数逐次加；
负实数集合：；
故答案为：，．
根据有理数的定义解答即可；
根据无理数的定义解答即可；
根据负实数的定义解答即可．
本题考查了实数的分类，解答此题应熟知：实数包括有理数和无理数；实数可分为正数、负数和．

16.【答案】解：的立方根是，
，解得．
的算术平方根是，
，解得，
．
的平方根是，
的平方根是． 

【解析】由算术平方根的含义与立方根的含义可得，，再解方程，从而可得答案．
本题考查的是算术平方根与立方根的含义，掌握算术平方根与立方根的含义建立方程是解本题的关键．

17.【答案】解：如图，钝角即为所求．
如图，连接，，
可知为等腰直角三角形，，
的面积为，
取的中点，连接，
则，
点即为所求．
 

【解析】根据钝角三角形的定义按照要求作图即可．
连接，，可知为等腰直角三角形，面积为，取的中点，连接，则可得．
本题考查作图应用与设计作图、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

18.【答案】解：在中，，
．
在中，，，
而，
即，
，为直角三角形，
，
；
答：空地的面积为． 

【解析】在直角三角形中可求得的长，由、、的长度关系可得三角形为一直角三角形，为斜边；由此看，四边形由和构成，则容易求出面积．
本题考查了勾股定理及其逆定理的相关知识，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单，求出四边形的面积是解题关键．

19.【答案】解：如图，，，，
．
答：蚂蚁爬行的最短路程为．

如图，
．
答：飞虫飞行的最短路程为．
 

【解析】画出正方体的侧面展开图，即可确定最短路径；
先确定的长度，即可根据勾股定理求解．
本题考查勾股定理与最短路径问题．注意“沿表面爬行”和“沿内部飞行”的区别．

20.【答案】解：由题意可知



．
，，，
，，
，
的立方根为． 

【解析】根据点的移动先表示，再代入代数式化简绝对值即可；
根据非负数的性质可得，，再代入代数式计算即可．
本题考查的是实数的绝对值的化简，算术平方根的非负性的应用，求解一个数的立方根，掌握以上基础知识是解本题的关键．

21.【答案】  

【解析】解：，
，
则的整数部分是，小数部分是，
故答案为：；；


，
，
，
，
．
估算出的范围即可求得答案；
将两数作差后比较与的大小即可．
本题考查估算无理数的大小及实数的大小比较，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．

22.【答案】证明：，是的中点，
；
解：由知：，
，，是的中点，
，
，
，
，
解得． 

【解析】根据等腰三角形的性质，三线合一，可以证明结论成立；
根据勾股定理，先求出的长，再根据等面积法，即可求得的长．
本题考查勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

23.【答案】 

【解析】解：，理由如下：
中，，中，，
中，，中，，
，
；
，是的中线，
，，
，
四边形是垂美四边形，
由可得：，
，
；
四边形是矩形，
，，
为的中点，
，
，
四边形为“垂美四边形”，
，
，
负值舍去．
由勾股定理可求，，，，即可求解；
由中线的定义可得，，由四边形是垂美四边形，可得：，即可求解；
由矩形的性质可求，由垂美四边形的性质可得，即可求解．
本题是四边形综合题，考查的是正方形的性质，垂直的定义、勾股定理的应用；熟练掌握正方形的性质，灵活运用勾股定理是解题的关键．