2023-2024学年广东省茂名市信宜二中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省茂名市信宜二中九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.菱形具有而矩形不一定具有的性质是(    )

A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角互补

2.如图，在▱中，平分，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

3.如图，▱的对角线，交于点，若，，则的长可能是(    )

A.
B.
C.
D.

4.如图在平面直角坐标系中，的两条对角线，交于原点，点的坐标是，则点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

5.如图，是面积为的▱内任意一点，的面积为，的面积为，则(    )

A.  B.
C.  D. 的大小与点位置有关

6.如图，在中，，点，点分别是，的中点，是斜边上一点，则添加下列条件可以使四边形成为矩形的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.一张矩形纸片，已知，，小明按如图步骤折叠纸片，则线段长为(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.已知，小红在作线段的垂直平分线时操作如下：分别以和为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于、，则直线即为所求，根据此种作图方法所得到的四边形的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

9.如图，正方形的对角线、相交于点，，则此正方形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

10.如图，，矩形的顶点、分别在边，上，当在边上运动时，随之在边上运动，矩形的形状保持不变，其中，，运动过程中，点到点的最大距离为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.方程的解是______ ．

12.已知方程的一个根是，则的值为______ ．

13.夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为，且桥宽忽略不计，则小桥总长为__．

 

14.如图，在平行四边形中，下列条件：；；；，能说明平行四边形是矩形的有______填写序号．

15.把一张矩形纸片矩形按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为若，，则重叠部分的面积是________．

 

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

16.解分式方程：

四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
将下列各式因式分解：
：
．

18.本小题分
解方程组．

19.本小题分
如图，点、、、在同一条直线上，，，．
求证：；
四边形是平行四边形．
 

20.本小题分

如图，在平行四边形中，为的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，，若，求证：四边形是矩形．

21.本小题分

如图，在平行四边形中，求证：平行四边形是菱形．

22.本小题分
如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点、．

求证：四边形是菱形；
若，，求菱形的周长．

23.本小题分
如图，正方形的边长是，点，，，分别从点，，，出发，以的速度同时向点，，，运动在运动的过程中，四边形是何种四边形？请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、菱形对角线互相垂直，而矩形的对角线则不一定垂直只有作为特殊矩形的正方形对角线才垂直；故本选项符合要求；
B、矩形的对角线相等，而菱形不一定具备这一性质只有作为特殊菱形的正方形对角线才相等；故本选项不符合要求；
C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项不符合要求；
D、矩形对角互补，但菱形不一定具备对角互补这一性质只有作为特殊菱形的正方形对角才互补；故本选项不符合要求；
故选：．
根据菱形对角线垂直平分的性质及矩形对角线相等平分的性质对各个选项进行分析，从而得到最后的答案．
此题主要考查了学生对菱形及矩形的性质的理解及运用．菱形和矩形都具有平行四边形的性质，但是菱形的特性是：对角线互相垂直、平分，四条边都相等．

2.【答案】 

【解析】解：在▱中，，
，，
，，
平分，
，
，
，
故选：．
首先由在▱中，，，求得的长，然后由平分，证得是等腰三角形，继而求得的长．
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得是等腰三角形是解此题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
在中：，
即，
的长可能为．
故选：．
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得出的取值范围，进而得出结论．
本题考查的了平行四边形的性质和三角形的三边关系．解题时注意：平行四边形对角线互相平分；三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

4.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查的是利用平行四边形的性质以及关于原点对称的点的坐标的规律，要求点的坐标，根据平行四边形的性质和关于原点对称的规律写出点的坐标．
【解答】解：在中，点和关于原点对称，
点的坐标是，
点的坐标是．
故选A．

5.【答案】 

【解析】解：过点作交于点，交于点，

四边形是平行四边形，
，
，，，
，，
，
故选：．

根据题意，作出合适的辅助线，然后根据平行四边形的面积、三角形的面积公式，即可得到和、之间的关系，本题得以解决．
本题考查平行四边形的性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

6.【答案】 

【解析】解：添加，
点，点分别是，的中点，，
，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形，
故选：．
添加后利用三角形中位线定理和平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，再根据，得出四边形成为矩形．
本题考查了矩形的判定，根据三角形中位线定理解答是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，
，
，
故选：．
首先根据折叠的性质求出、和的长度，进而求出线段的长度．
本题主要考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是求出的长度．

8.【答案】 

【解析】解：如图：

分别以和为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于、，
，
四边形是菱形，
，，，
由勾股定理得：，
，
四边形的面积，
故选：．
根据垂直平分线的画法得出四边形四边的关系进而得出四边形一定是菱形，由菱形的性质以及勾股定理求出对角线的长，代入菱形面积公式即可求解．
此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及菱形的判定和性质，得出四边形四边关系是解决问题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：正方形的对角线、相交于点，，
，，
，
正方形的面积，
故选C．
根据正方形的性质和正方形的面积解答即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出边长的值．

10.【答案】 

【解析】【分析】
取的中点，连接、、，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当、、三点共线时，点到点的距离最大，再根据勾股定理列式求出的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，两者相加即可得解．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点、、三点共线时，点到点的距离最大是解题的关键．
【解答】
解：如图，取的中点，连接、、，
，
当、、三点共线时，点到点的距离最大，
此时，，，
，
，
的最大值为：．
故选：．

11.【答案】 

【解析】解：方程，
移项得：，
解得：．
故答案为：．
方程移项后，开方即可求出解．
此题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：把代入得，
解得．
故答案为：．
根据一元二次方程的解把代入一元二次方程得到关于的一次方程，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

13.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查了生活中的平移，根据已知正确平移小桥是解题关键．利用平移的性质直接得出答案即可．
【解答】
解：根据题意得出：小桥可以平移到矩形的边上，得出小桥的长等于矩形的长与宽的和，
故小桥总长为：．
故答案为．

14.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，，
平行四边形是矩形；
四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形；
四边形是平行四边形，
，
，故不能说明平行四边形是矩形；
，
，
平行四边形是矩形；
故答案为：．
由矩形的判定、菱形的判定分别对各个条件进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定、菱形的判定是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】【分析】
此题考查了图形的折叠变换，能够根据折叠的性质和勾股定理求出和的长是解答此题的关键．
根据折叠的性质知：，；可设为，用表示出和的长，进而在中求出的值，即可得到和的长，利用三角形面积公式即可求得的面积．
【解答】
解：设，则；
在中，，，；
由勾股定理得：，解得；
即，
则，

故答案为：

16.【答案】解：两边都乘以，得：，
解得：，
检验：时，，
所以原分式方程的解为． 

【解析】两边都乘以化分式方程为整式方程，解之求得的值，再检验即可得．
本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论．

17.【答案】解：

；




． 

【解析】直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．

18.【答案】解：整理得：，
得：，
，
把代入得：，
，
方程组的解为：． 

【解析】此题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握代入法和加减消元法解方程组是解题关键．
首先把方程组去括号，化简，再利用加减法解方程组即可．

19.【答案】证明：，
，
即，
，
，
在与中，
，
；
由得：，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】由证明即可；
由全等三角形的性质得，，则根据等角的补角相等可得，即，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明是解题的关键．

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，．
为的中点，
．
在和中，
，
≌，
，．
，延长交的延长线于点，
，
四边形是平行四边形．
，，
．
四边形是矩形． 

【解析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，得到≌是解答关键．
本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，得到≌是解答关键．

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形． 

【解析】由平行四边形的性质得，则，再证，得，然后由菱形的判定即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．

22.【答案】证明：，
，
是对角线的垂直平分线，
，，
在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
解：四边形是菱形，，，
，，，
在中，由勾股定理得：，
菱形的周长． 

【解析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
证明，得出，由，证出四边形是平行四边形，进而得出结论；
由菱形的性质得出，，，由勾股定理得，即可得出答案．

23.【答案】解：四边形是正方形．理由：
设运动时间为，
，
正方形，
，，
，
≌≌≌，
，
四边形是菱形，
≌，
，
，
，
，
四边形是正方形， 

【解析】设出运动时间，表示出，，，的长度，可知，由题意即可推出，可知≌≌≌，即可推出四边形是菱形，通过求即可推出结论．
本题主要考查正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，关键在于：求证菱形的一个内角等于．