2023-2024学年广东省深圳市南山重点学校九年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省深圳市南山重点学校九年级（下）开学数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.小明同学的微信钱包部分账单明细如图所示，+10.5表示收入10.5元，下列说法正确的是( )
A. −6.3表示收入6.3元
B. −6.3表示支出−6.3元
C. −6.3表示支出6.3元
D. 收支总和为16.8元
2.小篆，是在秦始皇统一六国后创制的汉字书写形式.下列四个小篆字中为轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.船闸是我国劳动人民智慧的结晶，三峡船闸的“人”字闸门是目前世界上最大的巨型闸门，重867000千克，其中数据867000用科学记数法表示为( )
A. 8.67×105B. 86.7×104C. 8.67×10−5D. 8.67×104
4.九(1)班一合作学习小组有7人，初三上期数学期中考试成绩数据分别为98、86、95、77、82、85、93.则这组数据的中位数是( )
A. 86B. 95C. 77D. 93
5.下列运算正确的是( )
A. (x+2)2=x2+4B. a2⋅a4=a8
C. (2x3)2=4x6D. 2x2+3x2=5x4
6.在《生活中的平移现象》的数学讨论课上，小明和小红先将一块三角板描边得到△ABC，后沿着直尺BC方向平移3cm，再描边得到△DEF，连接AD.如图，经测量发现△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为( )
A. 16cmB. 22cmC. 20cmD. 24cm
7.将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若∠1=56°，则∠2的度数是( )
A. 26°
B. 30°
C. 36°
D. 56°
8.某快递公司为提高配送效率，引进了甲、乙两种型号的“分拣机器人”，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多50件，且甲型号分拣1000件与乙型号分拣800件所用时间相同.若设甲型号每小时分拣数量为x件，则可列方程为( )
A. 1000x−50−800xB. 1000x+50=800xC. 1000x=800x+50D. 1000x=800x−50
9.在同一直角坐标系中，一次函数y=kx+1与二次函数y=x2+k的大致图象可以是( )
A. B. C. D.
10.如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P的半径为2，点P的坐标为(−3,0)，若将⊙P沿x轴向右平移，使得⊙P与y轴相切，则⊙P向右平移的距离为( )
A. 1
B. 5
C. 3
D. 1或5
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.动车上二等座车厢每排都有A，B，C，D，F五个座位，其中A和F是靠窗的座位.某天，小刘计划从龙岩坐动车前往福州出差，于是在铁路12306平台上购买动车票，若购票时系统随机为每位乘客分配座位，则他的座位是靠窗的概率为 ．
12.已知x−y=4，xy=6，则x2y−xy2= ______．
13.如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若∠ABC=50°，则∠BDC的度数为______．
14.如图，已知直角三角形ABO中，AO=1，将△ABO绕O点旋转至△A′B′O的位置，且A′在OB中点，B′在反比例函数y=kx上，则k的值是 ．
15.如图，△ABD中，∠A=60°.点B为线段DE的中点，EF⊥AD，交AB于点C，若AC=BC=3，则AD= ______．
三、解答题：本题共6小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
计算：2sin60°+ 12+|−5|−(π− 2)0．
17.(本小题16分)
(1)解方程：x2−4x+3=0；
(2)先化简，再求值：(2aa+2−1)÷a2−4a+4a+2，其中a=1．
18.(本小题8分)
第七次全国人口普查显示，我国60岁及以上人口约为26402万人，占全国人口的18.7%，老年人已成为我们社会中不可忽视的一个重要群体.某社区想了解本社区老年人的健康意识，随机调查了该社区10%的老年人某一周锻炼身体的次数，并将调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图(均不完整)．

(1)请将上述条形统计图和扇形统计图补充完整．
(2)请根据调查结果估计本社区该周锻炼身体的次数在3至6次的老年人的人数．
(3)学生小华利用课余时间从这个社区该周锻炼身体次数为4次的老年人中随机调查了40人，对他们每次锻炼身体的平均时间进行了统计，统计结果如表所示：
请你计算这40位老年人每次锻炼身体的平均时间．
19.(本小题9分)
我校为了改善办公条件，现准备购买若干台电脑和若干台打印机.如果购买2台电脑，1台打印机，一共需要花费9200元；如果购买1台电脑，2台打印机，一共需要花费6400元．
(1)求每台电脑和每台打印机的价格分别是多少元？
(2)通过洽谈，销售商同意每台电脑八折销售，打印机售价不变.如果学校购买电脑和打印机的预算费用不超过28000元，并且购买电脑的台数要比购买打印机的台数多6台，那么学校至多能购买多少台电脑？
20.(本小题9分)
如图，AB为⊙O的弦，D，C为ACB的三等分点，AC/​/BE．
(1)求证：∠A=∠E；
(2)若BC=3，BE=5，求CE的长．
21.(本小题6分)
阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对(sad).如图(1)，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作“sadA”，这时sadA=底边÷腰=CBBA.容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)如图(2)，利用等腰直角三角形计算：sad90°= ______；
(2)如图(3)，在等腰△ABC中，AB=AC=5，若sinA=45，则sadA= ______．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据+10.5表示收入10.5元，“收入”用正数表示，那么“支出”就用负数表示，
−6.3表示支出6.3元，
故选：C．
根据+10.5表示收入10.5元，可以得出“收入”用正数表示，从而“支出”就用负数表示，得出答案．
本题考查正数、负数的意义，一个量用正数表示，那么与它具有相反意义的量就用负数表示．
2.【答案】D
【解析】解：A、本选项中小篆字不是轴对称图形，不符合题意；
B、本选项中小篆字不是轴对称图形，不符合题意；
C、本选项中小篆字不是轴对称图形，不符合题意；
D、本选项中小篆字是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
根据轴对称图形的概念判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
3.【答案】A
【解析】解：867000=8.67×105，
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】A
【解析】解：这组数从小到大排列为：77、82、85、86、93、95、98，
∴这组数据的中位数是86，
故选：A．
把这组数从小到大排列，找出中间的数即可．
本题考查了计算一组数据的中位数的知识，掌握找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数是关键．
5.【答案】C
【解析】解：A.(x+2)2=x2+4x+4，故该选项不符合题意；
B.a2⋅a4=a6，故该选项不符合题意；
C.(2x3)2=4x6，故该选项符合题意；
D.2x2+3x2=5x2，故该选项不符合题意；
故选：C．
根据完全平方公式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则，逐项分析判断即可求解．
本题考查了完全平方公式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则，熟练掌握以上运算法则以及乘法公式是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，
∴CF=AD=3cm，AC=DF，
∵△ABC的周长为16cm，
∴AB+BC+AC=16cm，
∴四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD
=AB+BC+AC+CF+AD
=16+3+3
=22(cm)．
故选：B．
先根据平移的性质得到CF=AD=2cm，AC=DF，而AB+BC+AC=16cm，则四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD，然后利用整体代入的方法计算即可．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
7.【答案】A
【解析】解：如图，
由题意得：AB/​/CD，
∴∠ACD=∠1=56°，
∵∠ACD是△CDE的外角，∠E=30°，
∴∠2=∠ACD−∠E=26°．
故选：A．
由平行线的性质可得∠ACD=∠1=56°，再由三角形的外角性质即可求解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
8.【答案】D
【解析】解：根据题意得：1000x=800x−50．
故选：D．
根据两种型号的机器人工作效率间的关系，可得出乙型机器人每小时分拣(x−50)件快递，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲型号分拣1000件与乙型号分拣800件所用时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：由y=x2+k可知抛物线图象的开口向上，
故B不合题意；
∵二次函数y=x2+k与y轴交于负半轴，则k<0，
∴一次函数y=kx+1的图象经过经过第一、二、四象限，
故A、D选项不符合题意、C符合题意；
故选：C．
二次函数图象与y轴交点的位置可确定k的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数y=kx+1经过的象限，对比后即可得出结论．
本题考查了二次函数的图象、一次函数图象以及一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象找出每个选项中k的正负是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3−2=1，
当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，
综上所述，⊙P向右平移的距离为1或5；
故选：D．
分圆P在y轴的左侧与y轴相切、圆P在y轴的右侧与y轴相切两种情况，根据切线的判定定理解答．
本题考查的是切线的判定、坐标与图形的变化−平移问题，掌握切线的判定定理是解题的关键，注意分情况讨论．
11.【答案】25
【解析】解：∵动车上二等座车厢每排都有A，B，C，D，F五个座位，其中A和F是靠窗的座位，
∴小刘的座位是靠窗的概率为25，
故答案为：25．
直接由概率公式求解即可．
本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
12.【答案】24
【解析】解：∵x−y=4，xy=6，
∴x2y−xy2
=xy(x−y)
=6×4
=24，
故答案为：24．
先利用提取公因式法把所求代数式分解因式，然后把已知条件中的x−y=4，xy=6代入分解后的式子进行计算即可．
本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握常见的几种分解因式的方法．
13.【答案】140°
【解析】解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=50°，
∴∠A=90°−∠ABC=40°，
∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，，
∴∠A+∠BDC=180°，
∴∠BDC=180°−∠A=140°．
故答案为：140°．
根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°，从而求出∠A，再根据圆内接四边形对角互补，即可解答．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
14.【答案】 3
【解析】【分析】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化−性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
连接AA′，作B′E⊥x轴于点E，根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质得出△AOA′是等边三角形，从而得出∠AOB=∠A′OB′=60°，即可得出∠B′OE=60°，解直角三角形求得B′的坐标，进一步求得k= 3．
【解答】
解：连接AA′，作B′E⊥x轴于点E，
由题意知OA=OA′，A′是OB中点，∠AOB=∠A′OB′，OB′=OB，
∴AA′=12OB=OA′，
∴△AOA′是等边三角形，
∴∠AOB=60°=∠A′OB′，
∴OB=2OA=2，∠B′OE=60°，
∴OB′=2，
∴OE=12OB′=1，
∴B′E= 3OE= 3，
∴B′(1, 3)，
∵B′在反比例函数y=kx上，
∴k=1× 3= 3．
故答案为： 3．
15.【答案】92
【解析】解：如图，作BG//AD交EF于点G，
∵∠A=60°，EF⊥AD，AC=3，
∴AF=12AC=32，
∵BG/​/AD，
∴∠A=∠CBG，∠AFC=∠BGC，
又∵AC=BC，
∴△ACF≌△BCG(AAS)，
∴BG=AF=32，
∵BG/​/AD，
∴△BEG∽△DEF，
∴BGDF=EBED，
∵点B为线段DE的中点，
∴BGDF=EBED=12，
∴DF=2BG=2×32=3，
∴AD=AF+DF=32+3=92．
故答案为：92．
由已知条件∠A=60°，EF⊥AD，AC=3，可求AF=12AC=32，作BG//AD交EF于点G，结合AC=BC，易证△ACF≌△BCG，进而求得BG=AF=32，易证△BEG∽△DEF，根据相似三角形的性质，结合点B为线段DE的中点，可推出BGDF=EBED=12，所以DF=2BG=2×32=3，即可求AD的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，结合已知条件添辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．
16.【答案】解：2sin60°+ 12+|−5|−(π− 2)0
=2× 32+2 3+5−1
= 3+2 3+5−1
=3 3+4．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：(1)x2−4x+3=0，
∴(x−1)(x−3)=0，
∴x−1=0或x−3=0，
∴x1=1，x2=3；
(2)(2aa+2−1)÷a2−4a+4a+2
=a−2a+2÷(a−2)2a+2
=a−2a+2⋅a+2(a−2)2
=1a−2，
∴当a=1时，原式=11−2=−1．
【解析】(1)利用因式分解法解方程；
(2)先利用分式加减法则计算括号里，再把除法转化为乘法进行计算，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法，分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：(1)由题意得，样本容量为：420÷28%=1500，
7次及其以上的人数为：1500×24%=360(人)，
3至6次所占百分比为：720÷1500=48%，
补全条形统计图和扇形统计图如下：

(2)1500÷10%×48%=7200(人)，
答：估计本社区该周锻炼身体的次数在3至6次的老年人的人数约7200人；
(3)140×(0.5×18+1×12+1.5×6+2×4)=0.95(h)．
答：这40位老年人每次锻炼身体的平均时间为0.95h．
【解析】(1)用0至2次的人数除以所占百分比28%可得样本容量，再用样本容量乘24%可得7次及其以上的人数，用3至6次的人数除以样本容量可得3至6次所占百分比，进而补全条形统计图和扇形统计图；
(2)用本社区人数乘样本中该周锻炼身体的次数在3至6次的老年人的人数所占百分比可得答案；
(3)根据加权平均数的计算方法解答即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】解：(1)设每台电脑的价格是x元，每台打印机的价格是y元，
根据题意得：2x+y=9200x+2y=6400，
解得：x=4000y=1200，
答：每台电脑的价格为2800元，每台打印机的价格为1200元；
(2)设学校购买a台电脑，则购买(a−6)台打印机，
根据题意得：4000×0.8a+1200(a−6)≤28000，
解得：a≤8，
答：学校至多能购买8台电脑．
【解析】(1)设每台电脑的价格是x元，每台打印机的价格是y元，根据如果购买2台电脑，1台打印机，一共需要花费9200元；如果购买1台电脑，2台打印机，一共需要花费6400元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)设学校购买a台电脑，则购买(a−6)台打印机，根据学校购买电脑和打印机的预算费用不超过28000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
20.【答案】(1)证明：
∵AC/​/BE，
∴∠E═∠ACD，
∵D，C为ACB的三等分点，
∴BC=CD=AD，
∴∠ACD═∠A，
∴∠E═∠A，
(2)解：由(1)知BC=CD=AD，
∴∠D═∠CBD═∠A═∠E，
∴BE═BD═5，BC═CD═3，△CBD∽△BDE，
∴CBBD═BDDE，即35=5DE，
解得DE═253，
∴CE═DE−CD═253−3═163．
【解析】(1)根据平行线的性质及圆周角定理求得角之间的关系即可；
(2)根据圆周角定理推出各个角之间的关系、各边之间的关系，再结合图形利用相似三角形的性质得出对应线段成比例，列出方程求解即可．
本题考查圆周角定理及相似三角形的性质，解此类型题目应从图形入手，将圆和三角形的知识结合起来进行求解．
21.【答案】 2 2 55
【解析】解：(1)由题知，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB= 2AC．
∴sadC=ABAC= 2ACAC= 2，
∴sad90°= 2．
故答案为： 2．
(2)过点B作AC的垂线，垂足为M，
∵AB=5，sinA=45，
∴BMAB=45，
∴BM=4．
在Rt△ABM中，AM= 52−42=3，
∴CM=5−3=2，
在Rt△BCM中，BC= 42+22=2 5．
∴sadA=BCAB=2 55．
故答案为：2 55．
(1)根据题中正对的定义即可解决问题．
(2)根据题中正对的定义即可解决问题．
本题考查解直角三角形，理解题中关于角的正对的定义是解题的关键．时间/h
0.5
1
1.5
2
人数/人
18
12
6
4