苏科版九年级上册数学第4章等可能条件下的概率（B卷）含解析答案

这是一份苏科版九年级上册数学第4章等可能条件下的概率（B卷）含解析答案，共29页。
第4章�等可能条件下的概率（B卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
得分



一、单选题
1．在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在（    ）
A．三边中线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
2．为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁 4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（   ）
A． B． C． D．
3．将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为(   )

A． B． C． D．
4．2022年2月20日北京冬奥会大幕落下，中国队在冰上、雪上项目中，共斩获9金4银2铜，创造中国队冬奥会历史最好成绩某校为普及冬奥知识，开展了校内冬奥知识竞赛活动，并评出一等奖3人．现欲从小明等3名一等奖获得者中任选2名参加全市冬奥知识竞赛，则小明被选到的概率为（    ）
A． B． C． D．
5．把分别画有“冰墩墩”、“雪融融”的两张形状、大小相同的图片，全部从中间剪成相同的两段，再把这四张形状相同的小图片混合在一起，从这四张图片中随机抽出两张，则这两张小图片恰好能组成一张完整的“冰墩墩”或“雪融融”图片的概率为（   ）
A． B． C． D．
6．①三点确定一个圆； ②平分弦的直径平分弦所对的弧；③同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等；④在半径为4的圆中，30°的圆心角所对的弧长为；⑤方程x2－x＋3=0的两根之积是3，从上述5个命题中任取一个，是真命题的概率是（     ）
A．1 B． C． D．
7．如图，点D在的边上，连接，点P的位置如图所示，在图中随机选择一个三角形，则点P在选择的三角形内部的概率是（    ）

A． B． C． D．1
8．下列说法不正确的是（　　）
A．了解一批电视机的使用寿命适合用抽样调查
B．“彩票中奖的概率为0.1%”表示买1000张彩票肯定会中奖
C．“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是2的概率”，表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数是2”这一事件发生的频率稳定在附近
D．在一个装有白球和绿球的袋中摸球，摸出黑球是不可能事件
9．孟德尔被誉为现代遗传学之父，他通过豌豆杂交实验，发现了遗传学的基本规律．如图，纯种高茎豌豆和纯种矮茎豌豆杂交，子一代都是高茎豌豆，子一代种子种下去，自花传粉，获得的子二代豌豆由DD、Dd、dd三种遗传因子控制．由此可知，子二代豌豆中含遗传因子D的概率是（    ）

A． B． C． D．
10．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以闹息“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（如图1)，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图（  ）

有如下四个结论：①勒洛三角形是中心对称图形；②使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动；③图2中，等边三角形的边长为，则勒洛三角形的周长为；④图3中，在中随机以一点，则该点取自勒洛三角形部分的概率为，上述结论中，所有正确结论的序号是(   )
A．①② B．②④ C．②③ D．③④

评卷人
得分



二、填空题
11．小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏．三人同时各投出一枚均匀硬币，若出现三个正面向上或三个反面向上，则小强赢；若出现两个正面向上和一个反面向上，则小亮赢；若出现一个正面向上和两个反面向上，则小文赢．有下列说法：①小强赢的概率最小；②小文和小亮赢的概率相等；③小文赢的概率是；④这是一个公平的游戏．其中，正确的是 （填序号）．
12．如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜．

若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则 （填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是 ．（只填一种方案即可）
13．从不等式组所有整数解中任取一个数，它是偶数的概率是 ．
14．某社区组织A、B、C、D小区的居民接种加强针新冠疫苗．若将这4个小区的居民随机分成两批，每批2个小区的居民接种加强针，则A、B两个小区都被分在第一批的概率是 ．
15．容器中有A，B，C，3种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗B粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子．例如，一颗A粒子和一颗B粒子发生碰撞则变成一颗C粒子．现有A粒子10颗，B粒子8颗，C粒子9颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩1颗粒子．给出下列结论：
①最后一颗粒子可能是A粒子；      
②最后一颗粒子一定是C粒子
③最后一颗粒子一定不是B粒子；   
④以上都不正确
其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号）
16．如图，已知⊙是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ．

17．不透明的袋子里装有除标号外完全一样的四个小球，小球上分别标有－1，2，3，4四个数，从袋子中随机抽取一个小球，记标号为k，不放回，将袋子摇匀，再随机抽取一个小球，记标号为b，两次抽取完毕后，则直线与反比例函数的图象经过的象限相同的概率为 ．
18．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结交、于点、．若平分，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．


评卷人
得分



三、解答题
19．解方程：
(1)；
(2)
20．如图，⊙O上有一点A，请用尺规作图法，求作⊙O的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹，不写作法）

21．为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．
  
(1)求（2）班学生中测试成绩为10分的人数；
(2)请确定下表中a，b，c的值（只要求写出求a的计算过程）；
统计量
平均数
众数
中位数
方差
（1）班
8
8
c
1.16
（2）班
a
b
8
1.56
(3)从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．
22．为帮助学生养成热爱美、发现美的艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动．学生根据自己的喜好选择一门艺术项目（A：书法，B：绘画，C：摄影，D：泥塑，E：剪纸），张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了两幅不完整的统计图（如图所示）．

(1)张老师调查的学生人数是______名．
(2)现有4名学生，其中2人选修书法，1人选修绘画，1人选修摄影，张老师要从这4人中任选2人了解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书法的概率．
23．某校举办学生综合素质大赛，分“单人项目”和“双人项目”两种形式，比赛题目包括下列四类：A．人文艺术；B．历史社会；C．天文地理；D．体育健康．
(1)若小丽参加“单人项目”，她从中抽取一个题目，那么恰好抽中“天文地理”类题目的概率为______．
(2)小刚和小涵参加“双人项目”，比赛规定：同一小组的两名同学的题目类型不能相同，且每人只能抽取一次，求他们抽到“天文地理”和“体育健康”类题目的概率是多少？（用画树状图或列表的方法求解）
24．为了了解学生对“新冠疫情防护知识”的应知应会程度，某校随机选取了20名学生“新冠疫情防护知识”的测评成绩，数据如表：
成绩/分
88
89
90
91
95
96
97
98
99
学生人数
2
1
a
3
2
1
3
2
1
数据表中有一个数因模糊不清用字母a表示．

(1)试确定a的值及测评成绩的平均数，并补全条形图；
(2)记测评成绩为x，学校规定：80≤x＜90时，成绩为合格；90≤x＜97时，成绩为良好；97≤x≤100时，成绩为优秀．求扇形统计图中m和n的值：
(3)从成绩为优秀的学生中随机抽取2人，求恰好1人得97分、1人得98分的概率．
25．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下：
1．抽奖方案有以下两种：
方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；
方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．
2．抽奖条件是：
顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足150元，可根据方案B抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案B抽奖两次或方案A，B各抽奖一次）．
已知某顾客在该商场购买商品的金额为250元．
(1)若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率；
(2)以顾客所获得的奖金的平均值为依据，应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由．
26．在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC与⊙O，给出如下定义：若△ABC与⊙O有且只有两个公共点，其中一个公共点为点A，另一个公共点在边BC上（不与点B，C重合），则称△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．

(1)如图，⊙O的半径为1，点．△AOC为⊙O的“点A关联三角形”．
①在，这两个点中，点A可以与点______重合；
②点A的横坐标的最小值为_______；
(2)⊙O的半径为1，点，点B是y轴负半轴上的一个动点，点C在x轴下方，△ABC是等边三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m，求m的取值范围；
(3)⊙O的半径为r，直线与⊙O在第一象限的交点为A，点．若平面直角坐标系xOy中存在点B，使得△ABC是等腰直角三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围．

参考答案：
1．B
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
【详解】解：∵三角形的三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三边中垂线的交点最适当．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了游戏的公平性与线段垂直平分线的性质的应用；将实际问题抽象成几何模型，加以解决是解题的关键．
2．A
【分析】根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：画树状图得：

∴一共有12种情况，抽取到甲的有6种，
∴P（抽到甲）= ．
故选：A．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3．A
【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A发生时涉及的图形面积÷一次试验涉及的图形面积，因为这是几何概率．
【详解】解：设正六边形边长为a，过作于，过作于，如图所示：

正六边形的内角为，
在中，，则，
，
在中，，则，
则灰色部分面积为，
白色区域面积为，
所以正六边形面积为两部分面积之和为，
飞镖落在白色区域的概率，
故选：A．
【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握几何概率模型及简单概率公式是解决问题的关键．
4．D
【分析】根据题意，列出树状图，即可得出答案．
【详解】记小明为，其他2名一等奖为，
列树状图如下：

故有6种等可能性结果，其中小明被选中得有4种，故明被选到的概率为．
故选：D．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法:通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
5．A
【分析】用A、a表示“冰墩墩”图片被剪成的两半，用B、b表示“雪融融”图片被剪成的两半，然后利用树状图展示所有可能的结果数；找出2张图片恰好组成一张完整的“冰墩墩”或“雪融融”图片的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：用A、a表示“冰墩墩”图片被剪成的两半，用B、b表示“雪融融”图片被剪成的两半，列树状图为：

故有12种等可能结果，符合恰好能组成一张完整的“冰墩墩”或“雪融融”图片有4种，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
6．C
【分析】先根据确定圆的条件对①进行判断；根据垂径定理的推论对②进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对③进行判断；根据弧长公式对④进行判断；利用根与系数关系对⑤进行判断．然后利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：①不在同一直线上的三点可以确定一个圆，故①说法错误，是假命题；
②平分弦（非直径）的直径平分弦所对的弧，所以②错误，是假命题；
③在同圆或等圆中，弦相等，所对的圆心角相等，所以③正确，是真命题；
④在半径为4的圆中，30°的圆心角所对的弧长为，所以④错误，是假命题；
⑤方程x2-x+3=0的两根之积是3，正确，是真命题，
其中真命题有2个，所以是真命题的概率是：，
故选：C．
【点睛】本题考查了真假命题的判断及概率公式，解题的关键是：先判断命题的真假．
7．C
【分析】先找到图中一共有3个三角形，再找到符合要求的三角形有2个，即可求出概率．
【详解】解：∵图干图形中，三角形有、、，则点P在、内部
∴P（点P在选择的三角形内部的概率）=
故选：C．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8．B
【分析】根据抽样调查的特点，概率意义的理解，随机事件分析选项即可．
【详解】解：由题意可知：
A. 了解一批电视机的使用寿命适合用抽样调查，说法正确，不符合题意；
B. “彩票中奖的概率为0.1%”表示买1000张彩票可能会中奖，说法不正确，符合题意；
C. “抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是2的概率”，表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数是2”这一事件发生的频率稳定在附近，说法正确，不符合题意；
D. 在一个装有白球和绿球的袋中摸球，摸出黑球是不可能事件，说法正确，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查抽样调查的特点，概率意义的理解，随机事件，解题的关键是掌握以上知识点．
9．D
【分析】画出遗传图解，即可得到答案．
【详解】解：画图如下：

共有4种情况，而出现高茎的有3种结果，
∴子二代豌豆中含遗传因子D的概率是，
故选：D
【点睛】本题主要考查了求概率，正确画出树状图是解答本题的关键．
10．C
【分析】根据轴对称的性质，圆的性质，等边三角形的性质，概率的概念分别判断即可．
【详解】解：①勒洛三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故①错误；
②夹在平行线之间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变，使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动，故②正确；
③设等边三角形DEF的边长为2，
∴勒洛三角形的周长=，圆的周长=，故③正确；
④设等边三角形DEF的边长为，
∴阴影部分的面积为：；
△ABC的面积为：，
∴概率为：，故④错误；
∴正确的选项有②③；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的距离，等边三角形的性质，轴对称的性质，概率的定义，正确的理解题意是解题的关键．
11．①②③
【分析】利用树状图得出三人分别赢得概率，然后依次判断即可．
【详解】解：画树状图得：

所以共有8种可能的情况.
三个正面向上或三个反面向上的情况有2种，所以P（小强赢）==；
出现2个正面向上一个反面向上的情况有3种，所以P（小亮赢）=；
出现一个正面向上2个反面向上的情况有3种，，所以P（小文赢）=，
∵，
∴小强赢的概率最小，①正确；
小亮和小文赢的概率均为，②正确；
小文赢的概率为，③正确；
三个人赢的概率不一样，这个游戏不公平，④错误；
故答案为：①②③．
【点睛】题目主要考查利用树状图求概率，熟练掌握运用树状图求概率的方法是解题关键．
12． 甲 取走标记5，6，7的卡片（答案不唯一）
【分析】由游戏规则分析判断即可作出结论．
【详解】解：若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，为4，5或5，6，则剩余的卡片为1，6或1，4，然后乙只能取走一张卡片，最后甲将一张卡片取完，则甲一定获胜；
若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案5，6，7，理由如下：
乙取走5，6，7，则甲再取走4和8中的一个，最后乙取走剩下的一个，则乙一定获胜，
故答案为：甲；5，6，7（答案不唯一）．
【点睛】本题考查游戏公平性，理解游戏规则是解答的关键．
13．/0.6
【分析】首先求得不等式组的所有整数解，然后由概率公式求得答案．
【详解】解：，
由①得：x≤6，
由②得：x＞1，
∴不等式组的解集为：1＜x≤6，
∴整数解有：2，3，4，5，6；
∴它是偶数的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式的应用以及不等式组的解集，解题的关键是掌握这些知识点．
14．
【分析】列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
【详解】画树状图如下：

从树状图可得，共有12种等可能结果，A小区被分在第一批的有6种，A、B两个小区被分在第一批的有2种，
A、B两个小区被分在第一批的概率为，
故答案为：
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15．①③/③①
【分析】假设剩下的是A、B、C粒子，分别讨论，列举结果，进行排除，最终得到结果．
【详解】解：（1）最后剩下的可能是A粒子．
10颗A粒子两两碰撞，形成5颗B粒子；
9颗C粒子中的8个两两碰撞，形成4颗B粒子；
所有的17颗B粒子两两碰撞，剩下一颗B粒子；
这个B粒子与剩下的一颗C粒子碰撞形成A粒子．
（2）最后剩下的可能是C粒子．
10颗A粒子中的9颗与9颗C粒子两两碰撞，形成9颗B粒子；
所有的17颗B粒子两两碰撞，最后剩一颗B粒子；
这个B粒子与剩下的一颗A粒子碰撞形成C粒子．
（3）最后剩下的不可能是B粒子．
A、B、C三种粒子每一次碰撞有以下6种可能的情况：
A与A碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗A粒子：（B多1个，A、C共减少两个）；
B与B碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗B粒子：（B少1个，A、C总数不变）；
C与C碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗C粒子：（B多1个，A、C共减少两个）；
A与B碰撞，会产生一颗C粒子，减少A、B各一颗粒子：（B少1个，A、C总数不变）；
A与C碰撞，会产生一颗B粒子，减少A、C各一颗粒子：（B多1个，A、C共减少两个）；
B与C碰撞，会产生一颗A粒子，减少B、C各一颗粒子：（B少1个，A、C总数不变），
可以发现如下规律：
①从B粒子的角度看：每碰撞一次，B粒子的数量增多一个或减少一个．题目中共有27颗粒子，经过26次碰撞剩一颗粒子，整个过程变化了偶数次，
由于开始B粒子共有8颗，
所以26次碰撞之后，剩余的B粒子个数必为偶数，不可能是1个，
所以，最后剩下的不可能是B粒子．
②从A、C粒子的角度看：每次碰撞之后，A、C粒子总数或者不变、或者减少两个．题目中A、C粒子之和为19个，无论碰撞多少次，A、C粒子都没了是不可能的．
所以，剩下的最后一颗粒子一定是A或C．
故答案为：①③．
【点睛】本题考查简单的合情推理，需列举，发现规律，是解题的关键．
16．
【分析】如图，设OA=a，则OB=OC=a，根据正方形内接圆和外接圆的关系，求出大正方形、小正方形和圆的面积，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：如图，设OA=a，则OB=OC=a，
由正方形的性质可知∠AOB=90°，
，
由正方形的性质可得CD=CE=OC=a，
∴DE=2a，
S阴影=S圆-S小正方形=，
S大正方形=，
∴这个点取在阴影部分的概率是，

故答案为：
【点睛】本题考查了概率公式、正方形的性质、正方形外接圆和内切圆的特点、圆的面积计算，根据题意弄清楚图形之间的关系是解题的关键．
17．
【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，直线与反比例函数的图象经过的象限相同的结果有6个，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如图：

∵从袋子中随机抽取一个小球，记标号为，不放回后将袋子摇匀，再随机抽取一个小球，记标号为，共有12个数组，
∴直线与反比例函数的图象经过的象限相同的数组有（2，3），（2，4），（3，2），（3，4），（4，2），（4，3），共有6组，
∴k，b直线与反比例函数的图象经过的象限相同的概率为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了用列表法或树状图法求概率及一次函数与反比例函数的性质，熟练掌握利用列表法或树状图列出所有等可能的结果以及一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
18．//0.25
【分析】求出阴影部分的面积与正方形面积的比值，即可得到针尖落在阴影区域的概率．
【详解】解：如图，连接EG交BD于点P，

∵平分，
∴ ∠ADE＝∠MDE
∵四边形EFGH是正方形
∴∠MED＝90°，
∴∠AED＝180°－∠MED＝90°
∴∠MED＝∠AED
∵DE＝DE
∴△ADE≌△MDE（ASA）
∴AE＝ME
同理可证△BGC≌△BGN（ASA），
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ADM＝45°
∴∠ADE＝∠MDE＝22.5°
∴∠EMD＝90°－∠ADE＝67.5°
∵∠MEG＝45°
∴∠MPE＝180°－∠EMD－∠MEG＝67.5°
∴∠EMD＝∠MPE
∴EM＝EP
设EM＝EP＝x，则EG＝2EP＝2x
在Rt△EFG中，∠EFG＝45°，
∴FG＝EG×sin45°＝
∵△BFA≌△AED≌△CGB
∴BF＝AE＝CG＝x,BG＝BF＋FG＝，△BFA≌△AED≌△CGB≌△NBG≌△MED，
在Rt△BCG中，

∴＝

∴
∴针尖落在阴影区域的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的面积、直角三角形的面积等知识点，求出阴影面积与正方形的面积的比是解答此题的关键．
19．(1)；
(2)

【分析】（1）用公式法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，      
∴；；
（2）解：∵，
∴ (x-3)2-2(x-3)=0，
∴，
∴ (x-3)(x-5)=0，
∴或，
∴，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握根据方程的特征选择恰当的解法是解题的关键．
20．见解析
【分析】连接AO交⊙O于点C，作线段AC的垂直平分线，交⊙O于两点B、D，顺次连接ABCD即可．
【详解】解：如图，点D即为所求．

【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，作线段的垂直平分线，正确理解圆内接正方形的性质是解题的关键．
21．(1)（2）班学生中测试成绩为10分的人数是6人
(2)a，b，c的值分别为8，9，8
(3)（1）班成绩更均匀

【分析】（1）根据条形图求出人数，根据扇形统计图求出所占百分比，即可得出结论；
（2）根据（1）中数据分别计算a，b，c的值即可；
（3）根据方差越小，数据分布越均匀判断即可．
【详解】（1）解：由题意知，（1）班和（2）班人数相等，为：5+10+19+12+4＝50（人），
∴（2）班学生中测试成绩为10分的人数为：50×（1﹣28%﹣22%﹣24%﹣14%）＝6（人），
答：（2）班学生中测试成绩为10分的人数是6人；
（2）由题意知：
a＝＝8；
∵9分占总体的百分比为28%是最大的，
∴9分的人数是最多的，
∴众数为9分，即b＝9；
由题意可知，（1）班的成绩按照从小到大排列后，中间两个数都是8，
∴c＝＝8；
答：a，b，c的值分别为8，9，8；
（3）∵（1）班的方差为1.16，（2）班的方差为1.56，且1.16＜1.56，
∴根据方差越小，数据分布越均匀可知（1）班成绩更均匀．
【点睛】本题主要考查统计的知识，根据方差判断稳定性，熟练根据统计图得出相应的数据是解题的关键．
22．(1)50
(2)

【分析】（1）由书法的人数除以所占百分比即可得出．
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，所选2人都是选修书法的结果有2种，最后根据概率公式即可得出．
【详解】（1）解：张老师调查学生的人数为：（名）．
答：张老师调查的学生人数是50名．
（2）解：把2人选修书法的记为A、B，1人选修绘画的记为C，1人选修摄影的记为D，
画树状图如图：

共有12种等可能的结果，所选2人都是选修书法的结果有2种，
∴所选2人都是选修书法的概率为．
答：所选2人都是选修书法的概率是．
【点睛】本题考查用列表法或画树状图法求概率，条形统计图和扇形统计图的理解与应用能力．涉及知识点：概率所求情况数与中情况数之比．利用列表法或画树状图法以不错不漏地列出所有等可能的结果是解本题的关键．
23．(1)
(2)

【分析】（1）小丽一共有四种不同的选择，所以恰好抽中“天文地理”类题目的概率为；
（2）由同一小组的两名同学的题目类型不能相同，且每人只能抽取一次可知第一名同学抽取之后，第二名同学只能有三种选择，通过画树状图可知一共有12种情况，而他们抽到“天文地理”和“体育健康”类题目有2种情况，根据概率公式即可求解．
【详解】（1）∵比赛题目共包括四类：A．人文艺术；B．历史社会；C．天文地理；D．体育健康
∴小丽恰好抽中“天文地理”类题目的概率为；
故答案为：；
（2）由题意画树状图为：

由图得，共有12种等可能情况，而他们抽到“天文地理”和“体育健康”类题目有2种情况，
∴他们抽到“天文地理”和“体育健康”类题目的概率是．
【点睛】本题考查了概率公式及利用列表法或画树状图求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
24．(1)a＝5，平均值为93，补图见解析
(2)m＝15；n＝30
(3)

【分析】（1）根据题意用20减去其他学生人数求得的值，根据表格数据求平均数即可求解；
（2）根据题意分别求得80≤x＜90与97≤x≤100的人数所占的百分比，即可求得的值；
（3）先列表表示出所有可能的情况，然后再找出符合条件的情况数，最后利用概率公式进行求解即可
【详解】（1）由题意可知，a＝20﹣（2+1+3+2+1+3+2+1）＝5，
∴a＝5，
测评成绩的平均数＝（88×2+89+90×5+91×3+95×2+96+97×3+98×2+99）＝93，
补全的条形统计图如图所示：

（2）m%＝×100%＝15%；n%＝×100%＝30%；
所以m=15，n=30；
（3）根据题意列表得，设97分的用A1、A2、A3表示，98分的用B1、B2，表示，99分的用C表示，如图

A1
A2
A3
B1
B2
C
A1

A1A2
A1A3
A1B1
A1B2
A1C
A2
A2A1

A2A3
A2B1
A2B2
A2C
A3
A3A1
A3A2

A3B1
A3B2
A3C
B1
B1A1
B1A2
B1A3

B1B2
B1C
B2
B2A1
B2A2
B2A3
B2B1

B2C
C
C A1
C A2
C A3
C B1
C B2

从6个人中选2个共有30个结果，一个97分，一个98分的有12种，
故概率为：＝．
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，求扇形统计图的百分比，根据列表法求概率，掌握以上知识是解题的关键．
25．(1)；
(2)选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算．理由见解析

【分析】（1）利用列表法表示获得奖金15元所有可能出现结果情况，进而求出相应的概率即可；
（2）由种抽奖方案，即：2次都选择方案A，1次方案A1次方案B，1次方案B，分别求出各种情况下获得奖金的平均值即可．
【详解】（1）解：由于某顾客在该商场购买商品的金额为250元，只选择方案进行抽奖，因此可以抽2次，由抽奖规则可知，两次抽出的结果为一红一白的可获得奖金15元，
从1个红球，2个白球中有放回抽2次，所有可能出现的结果情况如下：

共有9种等可能出现的结果，其中一红一白，即可获奖金15元的有4种，
所以该顾客只选择根据方案A进行抽奖，获奖金为15元的概率为；
（2）解：①由（1）可得，只选择方案A，抽奖2次，获得15元的概率为，获得30元（2次都是红球）的概率为，两次都不获奖的概率为，
所以只选择方案A获得奖金的平均值为：15×+30×=10（元），
②只选择方案B，则只能摸奖1次，摸到红球的概率为，因此获得奖金的平均值为：10×≈6.7（元），
③选择方案A1次，方案B1次，所获奖金的平均值为：15×+10×≈11.7（元），
因此选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算．
【点睛】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的前提．
26．(1)①，②
(2)m的取值范围为1≤m＜；
(3)4．

【分析】（1）根据“点A的关联三角形”的定义，只有除OC与⊙O有一个交点外，线段AC与⊙O也只有一个交点，所以当过点C作⊙O的切线时，点A应在弧MN上，求出M点的坐标，即可知点A的横坐标为，即可判断点A应与重合，点A的横坐标的最小值为；
（2）先求出B'C'=，过点C'作C'G⊥y轴于G，构造直角三角形，表示出GM=B'G，BM=2B'G，进而用勾股定理求出B'G，即可求出答案；
（3）符合△ABC等腰直角三角形的B点有6个，当r较小时，没有符合题意的B点，随着r增大，当AB1与圆O有交点，直到B1落在圆O上，r=，此时仍不满足题意，当r>时，符合，直至下图的临界位置：AC与圆O相切，B1与O重合，此时 r==，分①r>，②4，进行讨论，即可求解．
【详解】（1）解：①当点A与点重合时，连接与圆相交，而OC也与圆相交，这样△AOC就与圆有三个交点，所以不符合“点A关联三角形”的定义；
过C作⊙O的切线CM，交⊙O于M，连接OM，如图，
∴OC=2，OM=1，
∴
设M（x，y），则
解得或
当时，线段CM与⊙O有唯一交点，
∵
∴当点A与重合时，△AOC与⊙O是“点A的关联三角形”；
②由①得，
∴点A的横坐标的最小值为；

（2）解：如图，
∵△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，
∴线段AC和AB除过点A外，不能与⊙O有交点，
当线段AC除点A外不与⊙O有交点，
当AC与⊙O相切时，
∴AC⊥x轴，此时，点A的横坐标为1，
∴点C的横坐标为1，即m=1，
∴时，线段AC除点A外不与⊙O有交点，
当线段AB除点A外不与⊙O有交点，
即点B在（-1，0）处，记作点B'，
∴OB'=1，
∵A（1，0），
∴OA=1，
∴OA=OB'，
∴∠OB'A=45°，
∵△ABC为等边三角形，
∴B'C'=AB'，∠AB'C'=60°，
在Rt△A'OB'中，AB'=，
∴B'C'=，
过点C'作C'G⊥y轴于G，
∴∠B'GC'=90°，∠C'B'G=180°-45°-60°=75°，
∴∠B'C'G=15°，
在C'G上取一点M，连接B'M，使B'M=C'M，
∴∠B'MG=30°，
在Rt△B'GM中，则GM=B'G，BM=2B'G，
∴C'G=GM+C'M=（+2）B'G，
在Rt△B'GC'中，根据勾股定理得，B'G2+C'G2=B'C'2，
B'G2+[（+2）B'G]2=（）2，
∴B'G=，
∴C'G=，
∴m＜时，线段AB除点A外不与⊙O有交点，
综上分析得，m的取值范围为1≤m＜；

（3）解：如图，符合△ABC等腰直角三角形的B点有6个，当r较小时，没有符合题意的B点，随着r增大，如下图1所示，
当AB1与圆O有交点，直到B1落在圆O上，如图2所示，设A（m，m），C（4，0），B（x，y）
则r=OA=m
过A作x轴平行线，交y轴于D，过C作CE⊥AD于E
则△ADB1≌△ACE
∴AD=CE=m=m-x，DB1=AE=4-m=m-y
∴x=0，y=2m-4
即B1点恒在y轴上，
当B1点在圆O上时，即OB1=r时，可得：r+m=4-m，
故m+m=4-m
解得：m=，
∴r=，此时仍不满足题意，
当r>时，符合，直至下图的临界位置：AC与圆O相切，B1与O重合，如图3所示，
易得：r==AC==
①当r>时，由图可知，AC将与圆O存在两个交点，不符题意
∴r2
即B4圆O外部，C在圆O内部，B4C与圆O必有一个交点，符合题意
∴r>4符合题意
综上所述，r的取值范围是：4．

图1                               图2                              图3                               图4
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了直线与圆的位置关系，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，综合运用这些知识点是解题的关键．