高考数学第一轮复习第十二章 §12.1　坐标系

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考试要求 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．
知识梳理
1．伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝λ·x，λ>0，,y′＝μ·y，μ>0))的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
2．极坐标系
(1)极坐标与极坐标系的概念
在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O称为极点，射线Ox称为极轴．平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．
(2)极坐标与直角坐标的互化
设M为平面内任意一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ2＝x2＋y2，,tan θ＝\f(y,x)x≠0，))这就是极坐标与直角坐标的互化公式．
3．常见曲线的极坐标方程
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若点P的直角坐标为(1，－eq \r(3))，则点P的一个极坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(π,3))).( √ )
(2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( √ )
(3)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( × )
(4)tan θ＝1与θ＝eq \f(π,4)表示同一条曲线．( × )
教材改编题
1．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(π,2)))
C．(1,0) D．(1，π)
答案 B
解析 方法一 由ρ＝－2sin θ，
得ρ2＝－2ρsin θ，
化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，
化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，
圆心坐标为(0，－1)，
其对应的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(π,2))).
方法二 由ρ＝－2sin θ＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))，知圆心的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(π,2)))，故选B.
2．在极坐标系中，已知点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,6)))，则过点P且平行于极轴的直线方程是( )
A．ρsin θ＝1 B．ρsin θ＝eq \r(3)
C．ρcs θ＝1 D．ρcs θ＝eq \r(3)
答案 A
解析 先将极坐标化成直角坐标表示，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,6)))转化为直角坐标为x＝ρcs θ＝2cs eq \f(π,6)＝eq \r(3)，y＝ρsin θ＝2sin eq \f(π,6)＝1，即(eq \r(3)，1)，过点(eq \r(3)，1)且平行于x轴的直线为y＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.
3．在极坐标系中，直线ρcs θ＋ρsin θ＝a(a>0)与圆ρ＝2cs θ相切，则a＝________.
答案 1＋eq \r(2)
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρcs θ＝x，,ρsin θ＝y，,ρ2＝x2＋y2))可将直线ρcs θ＋ρsin θ＝a化为x＋y－a＝0，
将ρ＝2cs θ，
即ρ2＝2ρcs θ化为x2＋y2＝2x，
整理成标准方程为(x－1)2＋y2＝1.
又∵直线与圆相切，
∴圆心(1,0)到直线x＋y－a＝0的距离d＝eq \f(|1－a|,\r(2))＝1，
解得a＝1±eq \r(2)，
∵a>0，∴a＝1＋eq \r(2).
题型一 极坐标与直角坐标的互化
例1 (1)极坐标方程ρ2cs θ－ρ＝0转化成直角坐标方程为( )
A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1
C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝1
答案 C
解析 ρ2cs θ－ρ＝0⇒ρ＝eq \r(x2＋y2)＝0或ρcs θ＝1，即x2＋y2＝0或x＝1.
(2)点M的直角坐标是(－1，eq \r(3))，则点M的极坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(π,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2π,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)
答案 C
解析 ∵ρ＝eq \r(－12＋\r(3)2)＝2，
tan θ＝eq \f(\r(3),－1)＝－eq \r(3).
又点M在第二象限，∴θ＝eq \f(2π,3)，
∴点M的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2π,3))).
教师备选
在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)，C2：ρ2＝eq \f(1,3－4sin2θ).
(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程；
(2)曲线C1，C2的交点为M，N，求以MN为直径的圆与y轴的交点坐标．
解 (1)由ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)，得
ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θcs \f(π,4)＋cs θsin \f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)，
将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρsin θ＝y，,ρcs θ＝x))代入上式得x＋y＝1，
即C1的直角坐标方程为x＋y－1＝0，
同理，由ρ2＝eq \f(1,3－4sin2θ)，可得3x2－y2＝1，
∴C2的直角坐标方程为3x2－y2＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x2－y2＝1，,x＋y＝1))得3x2－(1－x)2＝1，
即x2＋x－1＝0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝－1，,x1x2＝－1，))
则MN的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,2)))，
由弦长公式，可得|MN|＝eq \r(1＋－12)|x1－x2|＝eq \r(2)×eq \r(1－4×－1)＝eq \r(10).
∴以MN为直径的圆为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(10),2)))2＝eq \f(5,2).
令x＝0，得eq \f(1,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))2＝eq \f(5,2)，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))2＝eq \f(9,4)，
∴y＝0或y＝3，
∴以MN为直径的圆与y轴的交点坐标为
(0,0)或(0,3)．
思维升华 (1)直角坐标方程化为极坐标方程时，将x＝ρcs θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可．
(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常先通过变形，构造形如ρcs θ，ρsin θ，ρ2的形式，再进行整体代换．其中方程的两边同乘(或同除以)ρ及方程两边同时平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．
跟踪训练1 已知曲线C1的方程为(x－1)2＋y2＝1，C2的方程为x＋y＝3，C3是一条经过原点且斜率大于0的直线．
(1)以直角坐标系原点O为极点，x轴正方向为极轴建立极坐标系，求C1与C2的极坐标方程；
(2)若C1与C3的一个公共点为A(异于点O)，C2与C3的一个公共点为B，当|OA|＋eq \f(3,|OB|)＝eq \r(10)时，求C3的直角坐标方程．
解 (1)曲线C1的方程为(x－1)2＋y2＝1，
整理得x2＋y2－2x＝0，转换为极坐标方程为ρ＝2cs θ.
曲线C2的方程为x＋y＝3，转换为极坐标方程为ρcs θ＋ρsin θ－3＝0.
(2)因为曲线C3是一条经过原点且斜率大于0的直线，
则极坐标方程为θ＝αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<α<\f(π,2)))，
由于C1与C3的一个公共点为A(异于点O)，
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ＝2cs θ，,θ＝α，))所以|OA|＝2cs α，
C2与C3的一个公共点为B，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρcs θ＋ρsin θ＝3，,θ＝α，))
所以|OB|＝eq \f(3,cs α＋sin α).
由于|OA|＋eq \f(3,|OB|)＝eq \r(10)，
所以2cs α＋cs α＋sin α＝eq \r(10)，
即3cs α＋sin α＝eq \r(10)，
eq \f(3,\r(10))cs α＋eq \f(1,\r(10))sin α＝1，
当sin α＝eq \f(1,\r(10))，cs α＝eq \f(3,\r(10))时，tan α＝eq \f(1,3)，
故曲线C3的直角坐标方程为y＝eq \f(1,3)x.
题型二 求曲线的极坐标方程
例2 (2022·梧州模拟)在极坐标系中，已知三点A(2,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3π,2)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ，\f(π,6))).
(1)若A，B，C三点共线，求ρ的值；
(2)求过O，A，B三点的圆的极坐标方程．(O为极点)
解 以极点为坐标原点，以极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系xOy，
(1)因为A，B两点的极坐标分别为A(2,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3π,2)))，所以其直角坐标分别为A(2,0)，B(0，－2)，
即直线AB的方程为y＝x－2，
因为C点的极坐标为Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ，\f(π,6)))，
所以其直角坐标为Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)ρ，\f(1,2)ρ))，
代入直线AB的方程，
可得eq \f(1,2)ρ＝eq \f(\r(3),2)ρ－2，
解得ρ＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)＋1)).
(2)因为OA⊥OB，
所以AB的中点(1，－1)即为圆心，
半径r＝eq \r(12＋－12)＝eq \r(2)，
所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2，
即x2＋y2－2x＋2y＝0，
因为x2＋y2＝ρ2，x＝ρcs θ，y＝ρsin θ，
所以圆的极坐标方程为ρ2－2ρcs θ＋2ρsin θ＝0，
即ρ＝2cs θ－2sin θ.
教师备选
已知曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－8x－10y＋16＝0，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C1的直角坐标方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
解 (1)将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))
代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，
得ρ2－8ρcs θ－10ρsin θ＋16＝0，
所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcs θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－8x－10y＋16＝0，,x2＋y2－2y＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2，))
所以C1与C2交点的极坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,2))).
思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤
(1)将已知条件转化到直角坐标系中．
(2)根据已知条件，得到曲线的直角坐标方程．
(3)将曲线的直角坐标方程转化为极坐标方程．
跟踪训练2 (2019·全国Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：
ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.
(1)当θ0＝eq \f(π,3)时，求ρ0及l的极坐标方程；
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．
解 (1)因为M(ρ0，θ0)在C上，
当θ0＝eq \f(π,3)时，ρ0＝4sin eq \f(π,3)＝2eq \r(3).
由已知得|OP|＝|OA|cs eq \f(π,3)＝2.
设Q(ρ，θ)为l上除P的任意一点，连接OQ，
在Rt△OPQ中，ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝|OP|＝2.
经检验，点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3)))在曲线ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝2上．
所以l的极坐标方程为ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝2.
(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cs θ＝4cs θ，即ρ＝4cs θ.
因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))).
所以P点轨迹的极坐标方程为
ρ＝4cs θ，θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))).
题型三 极坐标方程的应用
例3 (2018·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcs θ－3＝0.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
解 (1)由x＝ρcs θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.
(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.
由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．
当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，
所以eq \f(|－k＋2|,\r(k2＋1))＝2，故k＝－eq \f(4,3)或k＝0.
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；
当k＝－eq \f(4,3)时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．
当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，
所以eq \f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝2，故k＝0或k＝eq \f(4,3).
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；
当k＝eq \f(4,3)时，l2与C2没有公共点．
综上，所求C1的方程为y＝－eq \f(4,3)|x|＋2.
教师备选
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcs θ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3)))，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
解 (1)设点P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，
点M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．
由题意知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝eq \f(4,cs θ).
由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程为ρ＝4cs θ(ρ>0)．
因此C2的直角坐标方程为
(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cs α，
于是△OAB的面积S＝eq \f(1,2)|OA|·ρB·sin∠AOB
＝4cs α·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))))
＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3)))－\f(\r(3),2)))≤2＋eq \r(3).
当α＝－eq \f(π,12)时，S取得最大值2＋eq \r(3)，
所以△OAB面积的最大值为2＋eq \r(3).
思维升华 极坐标方程及其应用的解题策略
(1)求点到直线的距离．先将极坐标系下点的坐标、直线方程转化为平面直角坐标系下点的坐标、直线方程，然后利用直角坐标系中点到直线的距离公式求解．
(2)求线段的长度．先将极坐标系下的点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后再求线段的长度．
跟踪训练3 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝9＋\r(3)t，,y＝t))(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝eq \f(16,1＋3sin2θ).
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)已知P为曲线C上的一个动点，求线段OP的中点M到直线l的最大距离．
解 (1)由ρ2＝eq \f(16,1＋3sin2θ)，得ρ2＋3ρ2sin2θ＝16，
则曲线C的直角坐标方程为x2＋4y2＝16，
即eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1.
直线l的直角坐标方程为x－eq \r(3)y－9＝0.
(2)可知曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4cs α，,y＝2sin α))(α为参数)，
设P(4cs α，2sin α)，α∈[0,2π)，
则M(2cs α，sin α)到直线l：
x－eq \r(3)y－9＝0的距离为
d＝eq \f(|2cs α－\r(3)sin α－9|,2)＝eq \f(|\r(7)sinθ－α－9|,2)
≤eq \f(9＋\r(7),2)，
所以线段OP的中点M到直线l的最大距离为eq \f(9＋\r(7),2).
课时精练
1．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝1(0≤θ<2π)，M，N分别为曲线C与x轴、y轴的交点．
(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
解 (1)由ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝1得
ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs θ＋\f(\r(3),2)sin θ))＝1.
从而曲线C的直角坐标方程为eq \f(1,2)x＋eq \f(\r(3),2)y＝1，
即x＋eq \r(3)y＝2.
当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．
当θ＝eq \f(π,2)时，ρ＝eq \f(2\r(3),3)，
所以Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，\f(π,2))).
(2)M点的直角坐标为(2,0)，
N点的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(3),3))).
所以P点的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),3)))，
则P点的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，\f(π,6)))，
所以直线OP的极坐标方程为θ＝eq \f(π,6)(ρ∈R)．
2．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))，半径r＝eq \r(2)，点P的极坐标为(2，π)，过P作直线l交圆C于A，B两点．
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)求|PA|·|PB|的值．
解 (1)∵圆C的圆心的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))，
∴y＝eq \r(2)sin eq \f(π,4)＝1，x＝eq \r(2)cs eq \f(π,4)＝1，
即圆心的直角坐标为(1,1)，
∴圆C的直角坐标方程为
(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)点P的极坐标为(2，π)，
化为直角坐标为P(－2,0)．
当直线l与圆C相切于点D时，
则|PD|2＝|PC|2－r2
＝(－2－1)2＋(0－1)2－(eq \r(2))2＝8，
∴由切割线定理得|PA|·|PB|＝|PD|2＝8.
3．(2022·洛阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，直线C2的方程为y＝eq \r(3)x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求eq \f(1,|OA|)＋eq \f(1,|OB|).
解 (1)曲线C1的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，
整理得x2＋y2－4x－4y＋7＝0，
转换为极坐标方程为ρ2－4ρcs θ－4ρsin θ＋7＝0.
由于直线C2过原点，且倾斜角为eq \f(π,3)，
故其极坐标方程为θ＝eq \f(π,3)(ρ∈R)．
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ2－4ρcs θ－4ρsin θ＋7＝0，,θ＝\f(π,3)，))
得ρ2－(2eq \r(3)＋2)ρ＋7＝0，
设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，
则ρ1＋ρ2＝2eq \r(3)＋2，ρ1ρ2＝7，
∴eq \f(1,|OA|)＋eq \f(1,|OB|)＝eq \f(|OA|＋|OB|,|OA||OB|)
＝eq \f(ρ1＋ρ2,ρ1ρ2)＝eq \f(2\r(3)＋2,7).
4．(2019·全国Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(3π,4)))，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2)))，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.
(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝eq \r(3)，求P的极坐标．
解 (1)由题设可得，，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cs θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cs θ，
所以M1的极坐标方程为ρ＝2cs θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤θ≤\f(π,4)))，M2的极坐标方程为ρ＝2sin θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)≤θ≤\f(3π,4)))，
M3的极坐标方程为ρ＝－2cs θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)≤θ≤π)).
(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知
若0≤θ≤eq \f(π,4)，则2cs θ＝eq \r(3)，解得θ＝eq \f(π,6)；
若eq \f(π,4)≤θ≤eq \f(3π,4)，则2sin θ＝eq \r(3)，解得θ＝eq \f(π,3)或θ＝eq \f(2π,3)；
若eq \f(3π,4)≤θ≤π，则－2cs θ＝eq \r(3)，解得θ＝eq \f(5π,6).
综上，P的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(π,6)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(π,3)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(2π,3)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(5π,6))).
5．(2022·鹰潭模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(x＋eq \r(3))2＋(y＋1)2＝4.以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2，C3的极坐标方程分别为ρ＝2sin θ，ρ＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6))).
(1)若曲线C2，C3相交于异于极点的点Q，求点Q的直角坐标；
(2)若直线l：θ＝α(ρ∈R)与C1，C2相交于异于极点的A，B两点，求|AB|的最大值．
解 (1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，
将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝ρ2，,x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))代入，可得C2的直角坐标方程为x2＋y2＝2y；
由ρ＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝2cs θcs eq \f(π,6)－2sin θsin eq \f(π,6)＝eq \r(3)cs θ－sin θ，
得ρ2＝eq \r(3)ρcs θ－ρsin θ，
将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝ρ2，,x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))代入，
可得C3的直角坐标方程为x2＋y2＝eq \r(3)x－y.
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝2y，,x2＋y2＝\r(3)x－y，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(3),2)，,y＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝0，))
所以点Q的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))).
(2)由(x＋eq \r(3))2＋(y＋1)2＝4，
可得x2＋y2＋2eq \r(3)x＋2y＝0，
将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝ρ2，,x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))代入，
可得C1的极坐标方程为
ρ2＋2eq \r(3)ρcs θ＋2ρsin θ＝0，
则ρ＝－2eq \r(3)cs θ－2sin θ.
设A(ρA，α)，B(ρB，α)，
则ρA＝－2eq \r(3)cs α－2sin α，ρB＝2sin α，
所以|AB|＝|ρB－ρA|＝|4sin α＋2eq \r(3)cs α|
＝2eq \r(7)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2,\r(7))sin α＋\f(\r(3),\r(7))cs α))＝2eq \r(7)|sin(α＋β)|eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin β＝\f(\r(3),\r(7))，cs β＝\f(2,\r(7))))，
因为|sin(α＋β)|≤1，
所以|AB|＝2eq \r(7)|sin(α＋β)|≤2eq \r(7).
故|AB|的最大值为2eq \r(7).曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点，半径为r的圆
ρ＝r(0≤θ<2π)
圆心为(r,0)，半径为r的圆
ρ＝2rcs_θ
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)≤θ<\f(π,2)))
圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(r，\f(π,2)))，半径为r的圆
ρ＝2rsin_θ(0≤θ<π)
过极点，倾斜角为α的直线
θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)
过点(a,0)，与极轴垂直的直线
ρcs θ＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)<θ<\f(π,2)))
过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(π,2)))，与极轴平行的直线
ρsin_θ＝a(0<θ<π)