备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第十二章 §12.1 随机事件的概率

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考试要求 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算．
知识梳理
1．事件的相关概念
2．频数、频率和概率
(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq \f(nA,n)为事件A出现的频率．
(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在区间[0,1]中的某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率．
3．事件的关系与运算
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率：P(A)＝1.
(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.
(4)概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．
常用结论
1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件．
2．若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)必然事件一定发生．( √ )
(2)事件发生的频率与概率是相同的．( × )
(3)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．( √ )
(4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件．( × )
教材改编题
1．在10件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为( )
A．3件都是正品 B．至少有1件次品
C．3件都是次品 D．至少有1件正品
答案 C
解析 10件产品中只有2件次品，所以不可能取出的3件都是次品．
2．一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是( )
A．至少有一次中靶
B．两次都中靶
C．只有一次中靶
D．两次都不中靶
答案 B
解析 射击两次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或两次都不中靶”，与该事件不能同时发生的是“两次都中靶”．
3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为( )
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
答案 B
解析 由题意知该同学的身高小于160 cm的概率、该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率和该同学的身高超过175 cm的概率和为1，故所求概率为1－0.2－0.5＝0.3.
题型一 随机事件间的关系
例1 (1)抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则( )
A．A⊆B
B．A＝B
C．A∪B表示向上的点数是1或2或3
D．A∩B表示向上的点数是1或2或3
答案 C
解析 由题意，可知A＝{1,2}，B＝{2,3}，
则A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3}，
∴A∪B表示向上的点数为1或2或3.
(2)从某班级中任意选出三名学生，设A＝{三名学生都是女生}，B＝{三名学生都不是女生}，C＝{三名学生不都是女生}，则下列结论不正确的是( )
A．A与C为互斥事件
B．A与B互为对立事件
C．B与C存在包含关系
D．B与C不是对立事件
答案 B
解析 事件C的可能情况有：一女二男、二女一男、三男，事件B为“三男”，事件A为“三女”．
故A与C为互斥事件，A正确；
A与B为互斥事件，但不互为对立事件，B错误；
B与C存在包含关系，C，D正确．
思维升华 互斥、对立事件的判别方法
(1)在一次试验中，不可能同时发生的两个事件为互斥事件．
(2)两个互斥事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件．
跟踪训练1 (1)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设A＝{2名全是男生}，B＝{2名全是女生}，C＝{恰有一名男生}，D＝{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是( )
A．A⊆D B．B∩D＝∅
C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
答案 D
解析 至少有1名男生包含2名全是男生、1名男生1名女生，故A⊆D，A∪C＝D，故A，C正确；
事件B与D是互斥事件，故B∩D＝∅，故B正确，
A∪B表示的是2名全是男生或2名全是女生，B∪D表示2名全是女生或至少有一名男生，
故A∪B≠B∪D，故D不正确．
(2)新高考实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A＝{他选择政治和地理}，事件B＝{他选择化学和地理}，则事件A与事件B( )
A．是互斥事件，不是对立事件
B．既是互斥事件，也是对立事件
C．既不是对立事件，也不是互斥事件
D．无法判断
答案 A
解析 ∵事件A和事件B不能同时发生，
∴事件A和事件B是互斥事件；
∵该同学还有政治和化学、政治和生物等不同选择，
∴事件A和事件B不是对立事件；
综上所述，事件A和事件B是互斥事件，不是对立事件．
题型二 随机事件的频率与概率
例2 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
解 (1)当且仅当最高气温低于25时，这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为eq \f(2＋16＋36,90)＝0.6.
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温低于20，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；
若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；
若最高气温不低于25，
则Y＝450×(6－4)＝900，
所以利润Y的所有可能值为－100,300,900.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为
eq \f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8.
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
思维升华 概率和频率的关系
概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．
跟踪训练2 下面是英文字母和空格使用频率的一份统计表：
根据上表回答：
(1)若使用了1 000次键盘的按键，字母M键约使用了多少次？
(2)若字母Y键使用了6次，那么键盘的按键约使用了多少次？
(3)使用空格键的概率是多少？
解 (1)因为使用字母M键的频率是0.021，所以使用1 000次键盘的按键，字母M键约使用了1 000×0.021＝21(次)．
(2)因为使用字母Y键的频率是0.012，而字母Y键使用了6次，所以键盘的按键约使用了eq \f(6,0.012)＝500(次)．
(3)因为使用空格键的频率是0.2，我们可以把它近似地表示为使用空格键的概率，因此使用空格键的概率约是0.2.
题型三 互斥事件、对立事件的概率
例3 在某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．其中1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
解 (1)易知P(A)＝eq \f(1,1 000)，P(B)＝eq \f(1,100)，
P(C)＝eq \f(1,20).
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.
因为A，B，C两两互斥，
所以P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq \f(1,1 000)＋eq \f(1,100)＋eq \f(1,20)＝eq \f(61,1 000).
故1张奖券的中奖概率为eq \f(61,1 000).
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
所以P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1 000)＋\f(1,100)))＝eq \f(989,1 000).
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为eq \f(989,1 000).
思维升华 复杂的互斥事件的概率的两种求法
(1)直接法：第一步，根据题意将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和；第二步，运用互斥事件的概率求和公式计算概率．
(2)间接法：第一步，求事件的对立事件的概率；第二步，运用公式P(A)＝1－P(eq \x\t(A))求解．特别是含有“至多”“至少”的题目，用间接法就显得比较简便．
跟踪训练3 一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．
解 记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，
A4＝{任取1球为绿球}，
则P(A1)＝eq \f(5,12)，P(A2)＝eq \f(4,12)＝eq \f(1,3)，P(A3)＝eq \f(2,12)＝eq \f(1,6)，P(A4)＝eq \f(1,12).
方法一 (利用互斥事件求概率)
根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得
(1)取出1球是红球或黑球的概率为
P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq \f(5,12)＋eq \f(4,12)＝eq \f(3,4).
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为
P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝eq \f(5,12)＋eq \f(4,12)＋eq \f(2,12)＝eq \f(11,12).
方法二 (利用对立事件求概率)
(1)由题意知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－eq \f(2,12)－eq \f(1,12)＝eq \f(3,4).
(2)因为A1＋A2＋A3的对立事件为A4，所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－eq \f(1,12)＝eq \f(11,12).
课时精练
1．下面四个选项中，是随机现象的是( )
A．守株待兔 B．水中捞月
C．流水不腐 D．户枢不蠹
答案 A
解析 A为随机现象，B为不可能现象，CD为必然现象．
2．在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的基本事件个数为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 B
解析 从5个小球中任取2个，其中数字之差的绝对值为2或4的事件包含(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)，共4个基本事件．
3．50名同学的体重情况如表所示：
则这50名同学体重小于70 kg的频率为( )
A．0.28 B．0.58
C．0.42 D．0.94
答案 B
解析 这50名同学体重小于70 kg的频率为eq \f(6＋8＋15,50)＝0.58.
4．某商店的一位售货员，发现顾客购买商品后有现金支付、微信支付、支付宝支付、银联支付4种支付方式，其中用现金支付的概率为0.2，支付宝支付的概率为0.3，银联支付的概率为0.1，则选择用微信支付的概率为( )
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
答案 D
解析 选择用微信支付的概率为1－0.1－0.2－0.3＝0.4.
5．设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1；投掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”，则P(A)＝eq \f(7,8)，P(B)＝eq \f(1,8)，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件．
6．一个盒子内装有红球、白球、黑球三种球，其数量分别为3,2,1，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为( )
A．至少有一个白球；都是白球
B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．恰有一个白球；一个白球一个黑球
D．至少有一个白球；红球、黑球各一个
答案 D
解析 对于D，红球、黑球各取一个，则一定取不到白球，故“至少有一个白球”“红球、黑球各一个”为互斥事件，也有可能取到两球都是红球，故不是对立事件，所以D选项符合．
7．掷一枚均匀的硬币100次，其中54次出现正面，则出现正面的频率是________．
答案 0.54
解析 由频率＝eq \f(频数,总数)可知，出现正面的频率为eq \f(54,100)＝0.54.
8．杭州亚运会吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”“莲莲”“宸宸”．某纸盒中有印着“琮琮”“莲莲”“宸宸”图案的三种卡片(卡片的形状大小相同)，若摸出印有“莲莲”图案的卡片的概率是0.36，摸出印有“莲莲”或“宸宸”图案的卡片的概率是0.69，那么摸出印有“宸宸”图案的卡片的概率是________．
答案 0.33
解析 因为摸出印有“莲莲”图案的卡片与摸出印有“宸宸”图案的卡片是互斥事件，
所以摸出印有“宸宸”图案的卡片的概率是0.69－0.36＝0.33.
9．盒子里有6个红球、4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球、2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球、1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的积事件是什么事件？
解 (1)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A＋B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个红球，故CA＝A.
10．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
①用所给编号列出所有基本事件；
②设事件A为“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，写出该事件的集合表示．
解 (1)甲、乙、丙三个协会共有的运动员人数为27＋9＋18＝54，
则应从甲协会抽取27×eq \f(6,54)＝3(人)，
从乙协会抽取9×eq \f(6,54)＝1(人)，
从丙协会抽取18×eq \f(6,54)＝2(人)．
故从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.
(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有基本事件为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．
②事件A可用集合表示为{(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}．
11．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5)，2；[15.5,19.5)，4；[19.5,23.5)，9；[23.5,27.5)，18；[27.5,31.5)，11；[31.5,35.5)，12；[35.5,39.5)，7；[39.5,43.5)，3.根据样本的频率分布估计数据在[31.5,43.5)的概率约是( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
答案 B
解析 根据所给的数据的分组及各组的频数得到数据在[31.5,43.5)范围的有[31.5,35.5)，12；[35.5,39.5)，7；[39.5,43.5)，3，∴满足题意的数据有12＋7＋3＝22(个)，总的数据有66个，∴数据在[31.5,43.5)的频率为eq \f(22,66)＝eq \f(1,3)，由频率估计概率得P＝eq \f(1,3).
12．如果事件A，B是互斥事件，记它们的对立事件分别为eq \x\t(A)，eq \x\t(B)，那么( )
A.eq \x\t(A)与eq \x\t(B)一定互斥
B.eq \x\t(A)与eq \x\t(B)一定不互斥
C.eq \x\t(A)∪eq \x\t(B)是必然事件
D．A∪B是必然事件
答案 C
解析 对于A，举反例：在掷骰子的试验中，A＝{1}，B＝{2}，而eq \x\t(A)＝{2,3,4,5,6}，eq \x\t(B)＝{1,3,4,5,6}，由eq \x\t(A)∩eq \x\t(B)＝{3,4,5,6}，故A错误；
对于B，举反例：在掷骰子的试验中，A＝{点数为奇数}，B＝{点数为偶数}，而eq \x\t(A)＝{点数为偶数}，eq \x\t(B)＝{点数为奇数}，由eq \x\t(A)∩eq \x\t(B)＝∅，故B错误；
对于C，A，B互斥即A∩B为不可能事件，则eq \x\t(A∩B)为必然事件，即eq \x\t(A)∪eq \x\t(B)为必然事件，故C正确；
对于D，举反例：在掷骰子的试验中，A＝{1}，B＝{2}，A∪B＝{1,2}，故D错误．
13．若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)＝eq \f(4,x)，P(B)＝eq \f(1,y)，且x>0，y>0，则x＋y的最小值为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 C
解析 由题意知eq \f(4,x)＋eq \f(1,y)＝1，
则x＋y＝(x＋y)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,x)＋\f(1,y)))＝5＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4y,x)＋\f(x,y)))≥5＋2eq \r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝9，
当且仅当eq \f(4y,x)＝eq \f(x,y)，即x＝2y＝6时等号成立．
14．某医药集团研制的新型流感疫苗的效力为78.1%，最高达90%，安全性良好，临床试验数据中没有发现安全问题．所谓疫苗的效力，是通过把人群分成两部分，一部分为对照组，注射安慰剂；另一部分为疫苗组，注射疫苗，当从对照组与疫苗组分别获得发病率后，就可以得到注射疫苗的效力＝eq \f(对照组发病率－疫苗组发病率,对照组发病率)×100%.关于注射疫苗，下列说法正确的是( )
A．只要注射该种流感疫苗，就一定不会被感染
B．注射该种流感疫苗，能使被感染的风险大大降低
C．若对照组10 000人，发病100人；疫苗组20 000人，发病40人，则效力为40%
D．若疫苗的效力为80%，对照组的发病率为50%.那么在10 000个人注射该疫苗后，一定有1 000个人发病
答案 B
解析 由题意知，疫苗的效力为78.1%，最高达90%，但不是注射该种流感疫苗，就一定不会被感染，故选项A错误；
疫苗的效力为78.1%，最高达90%，所以注射该种流感疫苗，能使被感染的风险大大降低，故选项B正确；
若对照组10 000人，发病100人；疫苗组20 000人，发病40人，则注射疫苗的效力＝eq \f(\f(100,10 000)－\f(40,20 000),\f(100,10 000))×100%＝80%，故选项C错误；
若疫苗的效力为80%，对照组的发病率为50%，只是反应了一个概率问题，并不能说明在10 000个人注射该疫苗后，一定有1 000个人发病，故选项D错误．名称
条件
结论
符号表示
包含关系
A发生⇒B发生
事件B包含事件A(事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B
事件A与事件B相等
A＝B
并(和)事件
A发生或B发生
事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交(积)事件
A发生且B发生
事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
A∩B为不可能事件
事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件
事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅，P(A∪B)＝1
最高气温
[10，15)
[15，20)
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40]
天数
2
16
36
25
7
4
字母
频率
字母
频率
字母
频率
空格
0.2
H
0.047
W
0.012
E
0.105
D
0.035
G
0.011
T
0.071
L
0.029
B
0.0105
O
0.0644
C
0.023
V
0.008
A
0.063
F
0.0221
K
0.003
N
0.059
U
0.0225
X
0.002
I
0.054
M
0.021
J
0.001
R
0.053
P
0.0175
Q
0.001
S
0.052
Y
0.012
Z
0.001
分组(kg)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90]
频数
6
8
15
18
3