高考数学第一轮复习第八章 §8.5　直线、平面垂直的判定与性质

这是一份高考数学第一轮复习第八章 §8.5　直线、平面垂直的判定与性质，共23页。试卷主要包含了平面与平面垂直等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1．直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
2.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
知识拓展
1．三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
2．三垂线定理的逆定理
平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( × )
(2)垂直于同一个平面的两平面平行．( × )
(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( × )
(4)若直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，则直线a∥直线b.( √ )
教材改编题
1．下列命题中错误的是( )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
答案 D
解析 对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是相交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的．
2．“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α垂直”的________条件．
答案 必要不充分
3．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC上的射影为点O.
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．
答案 (1)外 (2)垂
解析 (1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，
在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，
PA＝PC＝PB，
∴OA＝OB＝OC，
即O为△ABC的外心．
图1 图2
(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.
∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，
PA，PB⊂平面PAB，
∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，
∴PC⊥AB，
∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC，
∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，
∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．
同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心．
题型一 直线与平面垂直的判定与性质
例1 (2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1.
(1)求三棱锥F－EBC的体积；
(2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE.
(1)解 如图，取BC的中点为M，连接EM，由已知可得EM∥AB，AB＝BC＝2，
CF＝1，EM＝eq \f(1,2)AB＝1，
AB∥A1B1，
由BF⊥A1B1得EM⊥BF，
又EM⊥CF，BF∩CF＝F，
所以EM⊥平面BCF，
故V三棱锥F－EBC＝V三棱锥E－FBC＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)BC×CF×EM＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×1×1＝eq \f(1,3).
(2)证明 连接A1E，B1M，
由(1)知EM∥A1B1，
所以ED在平面EMB1A1内．
在正方形CC1B1B中，由于F，M分别是CC1，BC的中点，
所以由平面几何知识可得BF⊥B1M，
又BF⊥A1B1，B1M∩A1B1＝B1，
所以BF⊥平面EMB1A1，
又DE⊂平面EMB1A1，所以BF⊥DE.
教师备选
如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
证明 ∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，
∴AE⊥AB，
又AB∥CD，∴AE⊥CD.
∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.
∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.
又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，
∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.
思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．
跟踪训练1 (2019·全国Ⅱ)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
(1)证明：BE⊥平面EB1C1；
(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．
(1)证明 由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，
故B1C1⊥BE.
又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1⊂平面EB1C1，
所以BE⊥平面EB1C1.
(2)解 由(1)知∠BEB1＝90°.
由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，
所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，
故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.
如图，作EF⊥BB1，垂足为F，
则EF⊥平面BB1C1C，
且EF＝AB＝3.
所以四棱锥E－BB1C1C的体积
V＝eq \f(1,3)×3×6×3＝18.
题型二 平面与平面垂直的判定与性质
例2 (12分)(2021·全国乙卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM.
(1)证明：平面PAM⊥平面PBD; [切入点：线面垂直]
(2)若PD＝DC＝1，求四棱锥P－ABCD的体积. [(1)问关键点：找平面PAM或平面PBD的垂线；(2)问关键点：底面矩形面积的计算]
教师备选
(2020·全国Ⅰ)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；
(2)设DO＝eq \r(2)，圆锥的侧面积为eq \r(3)π，求三棱锥P－ABC的体积．
(1)证明 ∵D为圆锥顶点，O为底面圆心，
∴OD⊥平面ABC，
∵P在DO上，OA＝OB＝OC，
∴PA＝PB＝PC，
∵△ABC是圆内接正三角形，
∴AC＝BC，△PAC≌△PBC，
∴∠APC＝∠BPC＝90°，
即PB⊥PC，PA⊥PC，
PA∩PB＝P，
∴PC⊥平面PAB，PC⊂平面PAC，
∴平面PAB⊥平面PAC.
(2)解 设圆锥的母线为l，底面半径为r，
圆锥的侧面积为πrl＝eq \r(3)π，
rl＝eq \r(3)，
OD2＝l2－r2＝2，解得r＝1，
l＝eq \r(3)，AC＝2rsin 60°＝eq \r(3)，
在等腰直角三角形APC中，
AP＝eq \f(\r(2),2)AC＝eq \f(\r(6),2)，
在Rt△PAO中，
PO＝eq \r(AP2－OA2)＝eq \r(\f(6,4)－1)＝eq \f(\r(2),2)，
∴三棱锥P－ABC的体积为VP－ABC＝eq \f(1,3)PO·S△ABC＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),4)×3＝eq \f(\r(6),8).
思维升华 (1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义．②面面垂直的判定定理．
(2)面面垂直性质的应用
①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．
跟踪训练2 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E为AD的中点．
(1)求证：PE⊥BC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.
证明 (1)因为PA＝PD，E为AD的中点，
所以PE⊥AD.
因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.
所以PE⊥BC.
(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD.
又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.
又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，
所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD，
所以平面PAB⊥平面PCD.
题型三 垂直关系的综合应用
例3 在四棱锥P－ABCD中，△PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.
(1)在AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
(2)若△PCD的面积为8eq \r(7)，求四棱锥P－ABCD的体积．
解 (1)存在，当M为AD的中点时，平面PCM⊥平面ABCD.
证明：取AD的中点M，连接CM，PM，
由△PAD是等边三角形，
可得PM⊥AD，
由平面PAD⊥平面ABCD，PM⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
可得PM⊥平面ABCD，
由PM⊂平面PCM，
可得平面PCM⊥平面ABCD.
(2)设AB＝a，可得BC＝a，AD＝2a，
可得MC＝AB＝MD＝a，
则CD＝eq \r(2)a，PD＝2a，PM＝eq \r(3)a，
由PM⊥MC，
可得PC＝eq \r(PM2＋MC2)＝eq \r(3a2＋a2)＝2a，
由S△PCD＝eq \f(1,2)·eq \r(2)a·eq \r(4a2－\f(1,2)a2)＝eq \f(\r(7),2)a2＝8eq \r(7)，
可得a＝4，
所以四棱锥P－ABCD的体积V＝eq \f(1,3)S四边形ABCD·PM＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×(4＋8)×4×4eq \r(3)＝32eq \r(3).
教师备选
如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形．侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点．
(1)求证：AF∥平面SEC；
(2)求证：平面ASB⊥平面CSB；
(3)在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求eq \f(BM,BS)的值；若不存在，请说明理由．
(1)证明 如图，取SC的中点G，连接FG，EG，
∵F，G分别是SB，SC的中点，
∴FG∥BC，FG＝eq \f(1,2)BC，
∵四边形ABCD是菱形，E是AD的中点，
∴AE∥BC，AE＝eq \f(1,2)BC，
∴FG∥AE，FG＝AE，∴四边形AFGE是平行四边形，
∴AF∥EG，又AF⊄平面SEC，EG⊂平面SEC，
∴AF∥平面SEC.
(2)证明 ∵△SAD是等边三角形，E是AD的中点，
∴SE⊥AD，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ACD是等边三角形，又E是AD的中点，
∴AD⊥CE，又SE∩CE＝E，SE，CE⊂平面SEC，
∴AD⊥平面SEC，又EG⊂平面SEC，
∴AD⊥EG，
又四边形AFGE是平行四边形，
∴四边形AFGE是矩形，∴AF⊥FG，
又SA＝AB，F是SB的中点，∴AF⊥SB，
又FG∩SB＝F，FG⊂平面SBC，SB⊂平面SBC，
∴AF⊥平面SBC，
又AF⊂平面ASB，
∴平面ASB⊥平面CSB.
(3)解 存在点M满足题意．假设在棱SB上存在点M，使得BD⊥平面MAC，
连接MO，BE，则BD⊥OM，
∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形，
∴BE＝eq \r(7)，
SE＝eq \r(3)，BD＝2OB＝2eq \r(3)，SD＝2，SE⊥AD，
∵侧面SAD⊥底面ABCD，
侧面SAD∩底面ABCD＝AD，SE⊂平面SAD，
∴SE⊥平面ABCD，∴SE⊥BE，
∴SB＝eq \r(SE2＋BE2)＝eq \r(10)，
∴cs∠SBD＝eq \f(SB2＋BD2－SD2,2SB·BD)＝eq \f(3\r(30),20)，
∴eq \f(OB,BM)＝eq \f(3\r(30),20)，∴BM＝eq \f(2\r(10),3)，
∴eq \f(BM,BS)＝eq \f(2,3).
思维升华 对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证．
跟踪训练3 如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．
(1)求证：DE∥平面A1CB；
(2)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？请说明理由．
(1)证明 因为D，E分别为AC，AB的中点，
所以DE∥BC.
又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，
所以DE∥平面A1CB.
(2)解 线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.
理由如下：
如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PD，PQ，QE，则PQ∥BC.
因为DE∥BC，所以DE∥PQ.
所以平面DEQ即为平面DEQP.
因为DE⊥A1D，DE⊥DC，A1D∩DC＝D，A1D，DC⊂平面A1DC，
所以DE⊥平面A1DC，
又A1C⊂平面A1DC，
所以DE⊥A1C.
又因为P是等腰△DA1C底边A1C的中点，
所以A1C⊥DP.
因为DE∩DP＝D，DE，DP⊂平面DEQP，
所以A1C⊥平面DEQP.
从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.
课时精练
1．(2022·哈尔滨模拟)设m，n是两条不同的直线，α是平面，m，n不在α内，下列结论中错误的是( )
A．m⊥α，n∥α，则m⊥n
B．m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．m⊥n，n∥α，则m⊥α
答案 D
解析 对于A，∵n∥α，由线面平行的性质定理可知，过直线n的平面β与平面α的交线l平行于n，
∵m⊥α，l⊂α，∴m⊥l，
∴m⊥n，故A正确；
对于B，若m⊥α，n⊥α，由直线与平面垂直的性质，可得m∥n，故B正确；
对于C，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，又n⊄α，∴n∥α，故C正确；
对于D，若m⊥n，n∥α，则m∥α或m与α相交或m⊂α，而m⊄α，则m∥α或m与α相交，故D错误．
2．已知m，l是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β的是( )
A．m⊥l，m⊂β，l⊥α
B．m⊥l，α∩β＝l，m⊂α
C．m∥l，m⊥α，l⊥β
D．l⊥α，m∥l，m∥β
答案 D
解析 对于A，有可能出现α，β平行这种情况，故A错误；对于B，会出现平面 α，β相交但不垂直的情况，故B错误；对于C，m∥l，m⊥α，l⊥β⇒α∥β，故C错误；对于D，l⊥α，m∥l⇒m⊥α，又由m∥β⇒α⊥β，故D正确．
3.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
答案 A
解析 由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1，得AC⊥平面ABC1.
因为AC⊂平面ABC，
所以平面ABC1⊥平面ABC.
所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．
4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题中正确的是( )
A．AC与B1C是相交直线且垂直
B．AC与A1D是异面直线且垂直
C．BD1与BC是相交直线且垂直
D．AC与BD1是异面直线且垂直
答案 D
解析 如图，连接AB1，则△AB1C为等边三角形，则AC与B1C是相交直线且所成角为60°，故A错误；
因为A1D∥B1C，所以AC与A1D是异面直线且所成角为60°，故B错误；
连接CD1，因为BC⊥平面CDD1C1，所以BC⊥CD1，所以BD1与BC所成角为∠D1BC，为锐角，故C错误；
连接BD，因为AC⊥BD，AC⊥DD1，且BD∩DD1＝D，BD，DD1⊂平面BDD1，
所以AC⊥平面BDD1，则AC⊥BD1，则AC与BD1是异面直线且垂直，故D正确．
5.如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE
D．平面PDE⊥平面ABC
答案 D
解析 因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，
BC⊄平面PDF，
所以BC∥平面PDF，故选项A正确；
在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，
且AE，PE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE，
因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，
又DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面PAE.
因此选项B，C均正确．
6．(2021·新高考全国Ⅱ改编)如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MN⊥OP的是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．③④
答案 C
解析 设正方体的棱长为2，
对于①，如图(1)所示，连接AC，则MN∥AC，
图(1)
故∠POC(或其补角)为异面直线OP，MN所成的角，
在Rt△OPC中，
OC＝eq \r(2)，CP＝1，
故tan∠POC＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
故MN⊥OP不成立．
对于②，如图(2)所示，取AN的中点B，连接PB，OB，
图(2)
则OP＝eq \r(12＋\r(2)2)＝eq \r(3)，PB＝eq \r(2)，OB＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)，
所以OP2＋PB2＝OB2，
所以OP⊥PB，
又PB∥MN，所以OP⊥MN.
对于③，如图(3)所示，取AD的中点C，连接OC，PC，BD，因为P，C分别是DE，AD的中点，所以CP⊥BD，又OC⊥平面ADEB，BD⊂平面ADEB，
图(3)
所以OC⊥BD，又OC∩CP＝C，OC，CP⊂平面OCP，所以BD⊥平面OCP，所以BD⊥OP，又BD∥MN，
所以OP⊥MN.
对于④，如图(4)所示，取AN的中点B，ME的中点F，连接PB，BF，OF，
图(4)
若OP⊥MN，又OF⊥平面MENA，所以OF⊥MN，所以MN⊥平面OFBP，
所以MN⊥BF，显然，MN与BF不可能垂直，所以OP⊥MN不成立．
7．已知△ABC在平面α内，∠A＝90°，DA⊥平面α，则直线CA与DB的位置关系是________．
答案 垂直
解析 ∵DA⊥平面α，CA⊂平面α，∴DA⊥CA，
在△ABC中，∵∠A＝90°，∴AB⊥CA，
且DA∩BA＝A，DA，BA⊂平面DAB，
∴CA⊥平面DAB，又DB⊂平面DAB，
∴CA⊥DB.
8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足____________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
答案 DM⊥PC(或BM⊥PC等)
解析 ∵PA⊥底面ABCD，
∴BD⊥PA，连接AC(图略)，
则BD⊥AC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，
而PC⊂平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.
9.如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
证明 (1)在平面ABD内，
因为AB⊥AD，EF⊥AD，
所以EF∥AB.
又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.
因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.
又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB，BC⊂平面ABC，
所以AD⊥平面ABC.
又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.
10.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，侧面PAD为等边三角形．
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若平面PAD⊥平面ABCD，点E为PB的中点，求三棱锥P－ADE的体积．
(1)证明 如图，取AD的中点O，连接OB，OP，BD，
因为△PAD为等边三角形，O是AD的中点，所以OP⊥AD，
因为底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
所以△ABD是等边三角形，OB⊥AD，
因为OP∩OB＝O，OP，OB⊂平面POB，
所以AD⊥平面POB，
因为PB⊂平面POB，
所以AD⊥PB.
(2)解 因为底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，
所以PA＝PD＝AD＝2，PO＝eq \r(3)，
底面ABCD的面积为2eq \r(3)，
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊥AD，
所以PO⊥平面ABCD，
因为E为PB的中点，
所以VP－ADE＝VB－ADE＝eq \f(1,2)VP－ABD＝eq \f(1,4)VP－ABCD
＝eq \f(1,4)×eq \f(1,3)×eq \r(3)×2eq \r(3)＝eq \f(1,2).
11.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．在如图所示的四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD＝CD，点E，F分别为PC，PD的中点，则图中的鳖臑有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
答案 C
解析 由题意，因为PD⊥底面ABCD，
所以PD⊥DC，PD⊥BC，
又四边形ABCD为正方形，所以BC⊥CD，
因为PD∩CD＝D，
所以BC⊥平面PCD，BC⊥PC，
所以四面体P－DBC是一个鳖臑，
因为DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE，
因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC，
因为PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC，
可知四面体E－BCD的四个面都是直角三角形，即四面体E－BCD是一个鳖臑，
同理可得，四面体P－ABD和F－ABD都是鳖臑．
12．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点．现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.那么，在这个空间图形中必有( )
A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH
C．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF
答案 B
解析 根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，
∴AH⊥平面EFH，B正确；
∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；
∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，AG，GH⊂平面HAG，
∴EF⊥平面HAG，
又EF⊂平面AEF，
∴平面HAG⊥平面AEF，过点H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；
由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确．
13.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)
答案 A1C1⊥B1C1
解析 当底面A1B1C1满足条件A1C1⊥B1C1时，
有AB1⊥BC1.
理由如下：
∵AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，
∴四边形BCC1B1是正方形，∴BC1⊥B1C，
∵CC1∥AA1，∴A1C1⊥CC1.
又A1C1⊥B1C1，CC1∩B1C1＝C1，
CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，
∴A1C1⊥平面BCC1B1，
∵AC∥A1C1，∴AC⊥平面BCC1B1，
∵BC1⊂平面BCC1B1，∴BC1⊥AC，
∵AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面ACB1，
∴BC1⊥平面ACB1，
∴又AB1⊂平面ACB1，
∴AB1⊥BC1.
14．(2022·广州模拟)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，P，Q分别是线段BS，AD的中点，点R在线段SD上．若AS＝4，AD＝2，AR⊥PQ，则AR＝______.
答案 eq \f(4\r(5),5)
解析 如图，取SA的中点E，连接PE，QE.
∵SA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴SA⊥AB，
而AB⊥AD，AD∩SA＝A，AD，SA⊂平面SAD，
∴AB⊥平面SAD，故PE⊥平面SAD，
又AR⊂平面SAD，
∴PE⊥AR.
又∵AR⊥PQ，PE∩PQ＝P，PE，PQ⊂平面PEQ，
∴AR⊥平面PEQ，
∵EQ⊂平面PEQ，∴AR⊥EQ，
∵E，Q分别为SA，AD的中点，
∴EQ∥SD，则AR⊥SD，
在Rt△ASD中，AS＝4，AD＝2，
可求得SD＝2eq \r(5)，由等面积法可得AR＝eq \f(4\r(5),5).
15．(2022·玉溪模拟)如图，四棱锥P－ABCD的底面为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝1，PD＝AB＝2，点E是PB的中点，过A，D，E三点的平面α与平面PBC的交线为l，则下列结论正确的有________．(填序号)
①l∥平面PAD；
②AE∥平面PCD；
③直线PA与l所成角的余弦值为eq \f(\r(5),5)；
④平面α截四棱锥P－ABCD所得的上、下两部分几何体的体积之比为eq \f(3,5).
答案 ①③④
解析 如图，取PC的中点F，连接EF，DF，
则AD∥EF，即A，D，E，F四点共面，即l为EF，
对于①，EF∥AD，AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
所以EF∥平面PAD，即l∥平面PAD，故①正确；
对于②，由EF∥AD，若AE∥平面PCD，则必有AE∥DF，
即四边形ADFE为平行四边形，
则AD＝EF，矛盾，故②错误；
对于③，PA与l所成的角，即PA与EF所成的角，即PA与AD所成的角，
由PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD，
cs∠PAD＝eq \f(AD,AP)＝eq \f(\r(5),5)，故③正确；
对于④，连接BD，
VP－ABCD＝eq \f(1,3)PD·S矩形ABCD＝eq \f(1,3)×2×2＝eq \f(4,3)，
VABCDEF＝VA－BDE＋VD－BCFE
＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(5),2)×eq \f(2,\r(5))＋eq \f(1,3)×eq \f(3\r(2),4)×eq \f(2,\r(2))＝eq \f(5,6)，
eq \f(VP－ADFE,VABCDEF)＝eq \f(\f(4,3)－\f(5,6),\f(5,6))＝eq \f(3,5)，故④正确．
16．如图(1)，在平面四边形ABDC中，∠ABC＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，将△ABC沿BC边折起如图(2)，使________，点M，N分别为AC，AD的中点．在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题．①AD＝eq \r(7)，②AC为四面体ABDC外接球的直径，③平面ABC⊥平面BCD.
图(1) 图(2)
(1)判断直线MN与平面ABD的位置关系，并说明理由；
(2)求三棱锥A－MNB的体积．
解 (1)若选①：AD＝eq \r(7)，在Rt△BCD中，
BC＝2，CD＝1，可得BD＝eq \r(3)，
又由AB＝2，所以AB2＋BD2＝AD2，
所以AB⊥BD，
因为AB⊥BC，且BC∩BD＝B，BC，BD⊂平面CBD，所以AB⊥平面CBD，
又因为CD⊂平面CBD，所以AB⊥CD，
又由CD⊥BD，AB∩BD＝B，且AB，BD⊂平面ABD，所以CD⊥平面ABD，
又因为M，N分别为AC，AD的中点，所以MN∥CD，所以MN⊥平面ABD.
若选②：AC为四面体ABDC外接球的直径，则∠ADC＝90°，CD⊥AD，
因为CD⊥BD，AD∩BD＝D，AD，BD⊂平面ABD，
可证得CD⊥平面ABD，
又M，N分别为AC，AD的中点，所以MN∥CD，
所以MN⊥平面ABD.
若选③：平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，
因为AB⊥BC，且AB⊂平面ABC，
所以AB⊥平面CBD，
又CD⊂平面CBD，所以AB⊥CD，
因为CD⊥BD，AB∩BD＝B，且AB，BD⊂平面ABD，所以CD⊥平面ABD，
又因为M，N分别为AC，AD的中点，所以MN∥CD，所以MN⊥平面ABD.
(2)由(1)知MN⊥平面ABD，其中△ABD为直角三角形，
可得S△ANB＝eq \f(1,2)S△ADB＝eq \f(\r(3),2)，MN＝eq \f(1,2)CD＝eq \f(1,2)，
故三棱锥A－MNB的体积为VA－MNB＝VM－ABN＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(3),12).文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(m⊂α,n⊂α,m∩n＝P,l⊥m,l⊥n))⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊂α,a⊥β))⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l⊂β))⇒l⊥α