苏教版六年级上册表面涂色的正方体教案

苏教版数学六年级上册《表面涂色的正方体》教学设计

教材简析

本课学生的逻辑起点是学习了正方体的特征、正方体棱长之和以及表面积、体积的计算。虽然积累了一定的抽象思维和空间想象能力，但仍以形象思维为主，因此本课的探究规律过程对学生来说还是有一定的难度。

教学目标

1. 探索表面涂色的小正方体的各种情况以及其中隐含的简单规律。

2. 进一步积累探索简单数学规律的经验，经历由简单到复杂、由具体到抽象的探索活动，提高动手能力，培养空间想象力和逻辑推理的能力。

3.感受图形学习的乐趣，获得成功的体验，提高数学学习的兴趣，增强学习数学的信心。

教学重点

发现规律，正确总结出不同涂色面正方体数量的具体算法。

教学难点

积累由“简单到复杂”的探寻规律的经验，发展空间想象能力。

教学准备

二阶魔方、三阶魔方、小正方体学具若干个、红色白板笔、纸巾、小盒子、小组任务单

教学过程

一、提出问题，激发兴趣

魔方引入

师：同学们，瞧！徐老师手上拿的是什么？是的，魔方。那你们知道这个是几阶魔方吗？为什么叫它三阶魔方?这个呢?

师：如果让大家用数学的眼光看这个魔方，它是一个？（正方体）正方体有哪些特征？

生：正方体有完全相同的6个面、12条长度相等的棱和8个顶点组成的。

师：大家对正方体的知识掌握的不错，正方体有8个顶点、12条长度相等的棱和6个完全相同的面。

师：今天呀，我们不玩魔方，我们来拆魔方，将魔方表面涂色后，拆开看一看，这里面究竟蕴藏着一些什么数学奥秘。（揭示课题：表面涂色的正方体）

【设计意图】正方体的特征是本节课的直接知识基础，课始有效进行复习，为学生探究发现三面、两面、一面涂色的小正方体个数与大正方体顶点、棱、面之间的关系做好充分的准备。接下来课件演示将大正方体涂色分割的过程，让学生通过观察进行分类，产生分类计数的需要，感悟分类的数学思想，又一次为探究活动做好铺垫。

二、探究操作，发现规律

探究1：二阶魔方

师：拆魔方我们就先从最简单的二阶魔方入手，表面涂上颜色后，通过同学们的课前小观察，谁来说一说。

1、二阶魔方的每条棱上有几个小正方体？

生：2个

2、拆开后小正方体个数是多少？

生：8个

师：你们组是怎么知道的答案？

生：算的。

师：好办法，怎么算呢？

生：2×2×2=8（个）

师：还可以怎么表示？

生：2³

3、拆开后的每个小正方体有几个面涂了颜色呢？

生：每个小正方体都有三个面涂了颜色。

师：那就是说有几个三面涂色的小正方体？

生：8个

师：是呀，二阶魔方有8个三面涂色的小正方体。那三阶魔方呢？也都是三面涂色的吗？我们继续来研究。

探究2：三阶魔方

师：我们来看看活动要求：

1.小组成员分好工，各就其职，谁拼？谁涂？谁拆？谁数？谁填？谁擦？

2.拆魔方时请按照一定的顺序来拆，边拆边观察。

3.完成后互相说一说每类小正方体都在大正方体的什么位置？

师：听明白了吗？那现在开始小组活动。

学生收拾好小正方体，表扬表现好的小组。

学生小组汇报交流。

1、三阶魔方的每条棱上有几个小正方体？

生：3个

2、拆开后小正方体个数是多少？

生：27个

师：你是怎么知道？

生：通过计算，3×3×3＝27（个）

师：还可以怎么表示？

生：3³

3、拆开后的小正方体有哪几种涂色情况呢？

生：有三面涂色的、两面涂色的、一面涂色的和没有面涂色的。

师：我们来看看每种涂色情况各有多少个？首先说说你是怎么拆的？

生：我是先拆三面涂色的小正方体。

师：有多少个？（8个）你们组在拆的过程中，发现这8个小正方体在大正方体的什么位置？（学生交流时对应写副板书）

生：位于大正方体的顶点位置。

师：我们来看看是不是。（几何画板演示）那谁能把这两句话完整的说一说。

生：三面涂色的小正方体有8个，它们都在大正方体的顶点位置。

师：所以我从顶点出发，它是三面涂色的，因为正方体有8个顶点，所以三面涂色的就有？（8个）（思维导图板书：三面涂色、顶点）

师：三面涂色的拆完后，你们接着拆的是？（两面涂色的）有多少个？

生：有12个。

师：那你接着说说这12个小正方体位于大正方体的什么位置？（学生交流时对应写副板书）

生：两面涂色的小正方体位于大正方体的棱中间。

师：我们来看看是不是。每条棱中间两面涂色的有几个？（1个）一共有几条棱？（12条）所以一共有几个？（12个）（几何画板演示）那谁能把这两句话完整的说一说。

生：两面涂色的小正方体有12个，它们都在大正方体的棱中间。

师：那思维导图应该从哪出发？（棱中间）（学生上台写一写思维导图）

师：每条棱中间有几个两面涂色的小正方体？几条棱？所以有几个？

师：接着拆？（一面涂色的小正方体）请你说？

生：一面涂色的小正方体有6个，它们都位于大正方体的面的中间。（学生交流时对应写副板书）

师：他说的对不对？我们一起来看。（几何画板演示）果然，一面涂色的小正方体它们都位于大正方体每个面的中间。每个面的中间有几个？（1个）一共有几个面？（6个）所以一共有几个？（6个）

师：每个面中间都是一面涂色的，在什么位置？（边说边写思维导图：面中间）

师：最后来说说没有涂色的小正方体的情况。

生：0面涂色的小正方体有1个。（学生交流时对应写副板书）

师：那这一个小正方体可能位于大正方体的什么位置？

生：在大正方体的中心。

师：同意吗？

师：我们来看，把外面一层涂色的全拿走，中心就是一面都没涂色的，有几个？（1个）在大正方体的？（中心）

几何画板依次演示四类不同涂色情况的小正方体剥离出去的过程，激发学生寻求更简便的方法。

师：同学们，我们刚才研究了3面涂色、两面涂色、1面涂色和没有涂色的情况，发现它们的位置分别在大正方体的？（顶点、棱中间、面中间、体中心）

师：看了这位同学关于一一对应的微演讲，老师相信你们一定对一一对应这种方法有了更深的认识。刚才小朋友也用到了这样一一对应的方法(出示课件)，老师用虚线把他们分成了两部分，虚线前面的这部分，表示什么？

生：红花片和蓝花片同样多。

师：虚线后面表示什么？

生：红花片比蓝花片多5个。

【设计意图】借助正方体这一实物和几何画板动画展示，建立直观形象支撑。生动展示“剥层”的方法，让学生真真切切的看到“里面”，这样学生才能把数学形象、数学语言、数学符号一一对应起来。通过拼一拼、涂一涂、拆一拆、说一说等方法让学生初步感受正方体表面涂色的规律，同时也渗透力学习空间几何的方。

探究3：四阶魔方

师：拆完三阶魔方，我们再来看看四阶魔方。同样，先看活动要求：

1. 小组成员要分好工，各就其职。

2. 拆魔方的时候请按照一定的顺序来拆，边拆边观察。

3. 完成后互相说一说每类小正方体都在大正方体的什么位置？

4. 每组选好一位同学来汇报本组填写的各项数据及发现。

（音乐停止，讨论即停止）

想一想，怎么样才能快速算出每类涂色小正方体的个数。

听明白了吗？开始。

涂一涂，答一答（副板书）

1、四阶魔方的每条棱上有几个小正方体？

生：4个

2、拆开后小正方体个数是多少？

生：64个

师：你是怎么知道？

生：通过计算，4×4×4＝64（个）

师：还可以怎么表示？

生：4³（副板书）

3、拆开后的小正方体有哪几种涂色情况呢？

生：有三面涂色的、两面涂色的、一面涂色的和没有面涂色的。

师：接下来到了小组汇报环节，哪一组来给大家分享一下本组的各项数据及发现。（小组汇报）全班交流时，一人说另一人用学具演示。

师：说一个，我们拆一个。

生：4阶魔方三面涂色的小正方体有8个，它们都在大正方体的顶点位置。

师：大家都看大屏幕，看看这位同学是怎么拆的。（生2拆）

师：大家看看这些三面涂色的小正方体都是从大正方体的哪拆下来的？

生：顶点

师：正方体有几个顶点啊？

生：8个

师：所以三面涂色的个数是？

生：8个（副板书）

师：请你接着说。

生：4阶魔方两面涂色的小正方体有24个，它们都在大正方体的棱中间。

师：听清楚了吗？请你拆，大家看好。他每次拿的时候都拿几个呀？

生：2个

师：他每次都拿2个、2个、2个...，正方体有多少条棱啊？

生：12条

师：所以他一共拿了多少个小正方体？

生：24个

师：怎么算的？

生：2×12=24个（副板书）

师：嗯，对的。请你接着说。

生：4阶魔方一面涂色的小正方体有24个，它们都在大正方体的面中间。

师：听清楚了吗？好的，请你接着拆。

师：他每次拿，都拿几个呀？

生：4个。

师：正方体一共有多少个面呢？

生：6个

师：所以他一共拿了多少个？

生：24个

师：怎么得来的？举手说。请你说

生：4×6=24个（副板书）

师：同意吗？

生：同意

师：好，你接着说

生：4阶魔方没有面涂色的小正方体有8个，它们都在大正方体的中心位置。

师：它们一共有几个？

生：8个

师：它们都在大正方体的什么位置？

生：中心位置

师：你们发现了吗？其实它是一个？（2阶魔方）所以这个8可以写成？（2³）

师：表扬你们，请回。

师小结：刚才两位同学给我们分享了他们组的新发现，那现在我来总结总结。请你说。

生：四阶魔方三面涂色的小正方体有8个，都在大正方体的顶点位置。

师：同意吗？它和我们的顶点数（相同），所以三面涂色的有8个。

师：还有吗？请你回答。

生：四阶魔方两面面涂色的小正方体有24个，它们都在大正方体的棱中间。

师：每条棱上几个？（2个）这个2 是怎么得来的？（4-2=2，去掉两边2个）师：谁来接着说？

生：四阶魔方一面涂色的小正方体24个，都位于大正方体每个面的中间，列式是：4×6=24。

师：回答的真完整。每个面的中间有4个，那这4个可以数，还可以算。怎么列式？

生：2×2=4个

师：请坐，回答的很好。最后谁来总结0面涂色的小正方体。请你说。

生：四阶魔方0面涂色的小正方体8个，都位于大正方体的中心，列式是：2××2×2=8。

师：来看看是不是。把其它的都拿走，剩下的都在大正方体的内部。

在表达规律时，鼓励学生用自己的语言描述所发现的规律。

师：三面涂色的都在？（顶点）两面的？（棱中间）一面的（面中间）0面的？（中心）我如果把四阶正方体放上去，合适吗？

【设计意图】

有了三阶魔方的经验，学生在小组合作中，再次借助学具，拼一拼、涂一涂、拆一拆、说一说等方法探究正方体表面涂色规律以及和大正方体的关系，但四阶魔方则要求学生再进一层次，在拆的过程中发现不仅可以用数的方法，用计算方法的方法能更快算出每类小正方体的个数。在授课时，学生先小组活动，然后上台展示，最后动画总结，继续把学生不易理解、无法看见的数学知识转变成直观表象，同时借助动作、语言建立起表象与数学符号之间的关系，丰富学生的表象，帮助建立空间观念。让学生发现正方体表面涂色的规律。

三、观察比较，总结规律

师：同学们拆完了二阶、三阶、四阶的魔方，我们能不能不拆了，你能不能直接用刚才发现的规律，说一说五阶正方体表面涂色的情况。

生：五阶魔方每条棱上有5个小正方体，一共有125个；

三面涂色的小正方体有8个，都在大正方体的顶点处；

两面涂色的小正方体有36个，都在大正方体的棱中间。

师：36是怎么得来的？（3×12）， 3 又可以写成？（5-2）

生：一面涂色的小正方体有54个，都在大正方体的面中间。

师：每个面上有几个？（9个）有几个面？（6个）所以列式是？（9×6=54）

生：0面涂色的小正方体有27个，都在大正方体的中心。

师：我们来看，把它外面一层剥去，就是一个什么呀？（三阶魔方）所以可以怎么列式？（3×3×3=27）

师：如果我把五阶魔方放在这里，合适吗？

师：所以，我们刚才研究的魔方中，3面、2面、1面和0面涂色的情况都和大正方体的顶点、棱、面和中心有关？那如果我要继续说下去，六阶、七阶、八阶....说得完吗？那你能不能用一个字母来概括一下。

生：n（板书换成n阶魔方图）

师：那你能不能用刚才大家发现的规律来总结所有的涂色问题。

每条棱上有n个小正方体，每个大正方体有多少个小正方体呢？

生：有n³个。

师：同意吗？那每个大正方体又有多少个三面涂色的小正方体？

生：8个

师：8个，同意吗？那为什么是8个？谁来说说？

生：因为三面涂色的小正方体都在大正方体的顶点处，所以一直都是8个。（板书）

师：再来说说两面涂色。

（先让学生尝试着自己总结）

生：n阶魔方每条棱上有（n-2）个两面涂色的小正方体，12条棱就有12×（n-2）个。

师：你说的真棒，真善于观察。你们听清楚了吗？谁再来说一说？（板书）

师：再来说说一面涂色。

（先让学生尝试着自己总结）

生：n阶魔方每个面上有（n-2）×（n-2）个一面涂色的小正方体，6个面就有6×（n-2）²个。

师：为什么这里是（n-2）×（n-2）

师：说的好不好？

师：是呀，每个面上有（n-2）²个，6个面就有6（n-2）²个。（板书）

师：再来说说0面涂色。

（先让学生尝试着自己总结）

生：n阶魔方每个面上有（n-2）³个0面涂色的小正方体，它里面其实是一个（n-2）阶魔方。

师：观察的真仔细呀。

师：是呀，把外面一层剥开后，里面也是一个正方体，三阶里面是？四阶里面是？五阶里面是？n阶里面就是？（（n-2）阶）（板书）

【设计意图】

让学生经历观察数数—想象推算—对比分析—发现规律的探究过程，引导学生紧紧抓住三面、两面和一面涂色的小正方体的不同位置特点进行推算每类小正方体的个数，从而在对比分析中把握问题的共性，自然而然地得到一般性的结论，帮助学生在活动中积累由特殊到一般、寻找规律的数学经验，增强学生的空间想象能力,体验学习成功的愉悦，树立学好数学的信心。

四、灵活运用，体验规律

师：同学们，我们现在已经总结出了小正方体涂色的所有规律，接下来我们需要用这个规律来解决一些问题了？

还原三阶魔方。

【设计意图】在学生认识的基础上顺势而为，利用今天所学到的规律来还原三阶魔方，解决生活中的实际问题，既体现了规律在生活实际问题中的灵活应用，又让学生体会到数学学习的趣味性。

五、全课总结

通过今天的学习，你有什么收获？

师：那这节课也快结束了，那通过这节课你们都收获了哪些呢？

生：。。。

师：这节课我们通过小组合作，共同探究，运用了化繁为简的方法，发现了小正方体表面涂色的规律，并且应用这个规律，快速地解决了一些问题。

板书