精品解析：广东省深圳市龙岗区七校2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题

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2021-2022学年第二学期期末学业质量检测初二数学试题
说明：
1.本试卷共4页，满分100分，考试时长90分钟．
2.试题的答案写在答题卡上，写在试卷上的答案无效．
3.答题卡必须填写姓名班级和考生号，并用2B铅笔在考生号填涂栏处把相应数字涂黑．
一、选择题（以下各题只有一项正确答案，请将答题卡对应选项涂黑．每小题3分，共30分）
1. 要使分式有意义，则x的取值应满足（　　）
A. x＝3 B. x＜3 C. x＞3 D. x≠3
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．
【详解】由题意可知：x-3≠0，
∴x≠3，
故选：D
【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题．
2. 下列是四届冬奥会会徽的部分图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　　）.

A. 1984前南斯拉夫 B. 1988加拿大 C. 2006意大利 D. 2022中国
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可.
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．
3. 在下列不等式中，解集为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求得四个选项中不等式的解集，由此即可解答．
【详解】选项A，的解集是；
选项B，的解集是；
选项C，的解集是；
选项D，解集是．
综上，符合题意的只有选项D．
故选D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的性质，熟练运用一元一次不等式的性质是解决问题的关键．
4. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A. 6x2y＝2x•3xy B. x2+4x+1＝x（x+4）+1
C. x3﹣2xy＝x（x2﹣2y） D. （a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
【答案】C
【解析】
【分析】利用因式分解的定义判断即可．
【详解】A、左边不是多项式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
B、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
C、符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
D、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
5. 每年的6月18日是京东店庆日，在店庆时京东都会推出一系列的大型促销活动．某布偶的成本为50元，定价为80元，为使得利润率不低于28%，在实际售卖时该布偶最多可以打（　　）折．
A. 8.5 B. 8 C. 7.5 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】利润等于售价减去成本，假设实际售卖时该布偶打x折， 根据利润率不低于28%列不等式，即可求解．
【详解】解：假设实际售卖时该布偶打x折，
由题意得：，
解得：，
即实际售卖时该布偶最多可以打8折．
故选B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的实际应用，根据题意列出不等式并正确求解是解题的关键．
6. 在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝12，AC＝19，则△ABD的周长为（　　）

A. 30 B. 31 C. 24 D. 38
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知尺规作图所作MN为BC是线段垂直平分线，则，故△ABD的周长为．
【详解】根据题意可得，MN为BC是我垂直平分线，
则
△ABD的周长为


故选B．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、三角形的周长，解决本题的关键是正确理解尺规作图所作图形为垂直平分线，并合理运用线段垂直平分线的性质．
7. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AP是角平分线，AB＝5，CP＝2，则△APB的面积为（　　）

A. 5 B. 10 C. 20 D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】过P作于E，根据角平分线的性质得到，即可求出点P到边AB的距离，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，过P作于E，

∵，
∴．
∵AP是角平分线，，
∴．
∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角的两边的距离相等是解决问题的关键．
8. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积为（　　）

A. 3 B. C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由直角三角形的性质可求BM，AM的长，由平行四边形的面积公式可求平行四边形ABCD的面积，由“ASA”可证△BOE≌△DOF，即可求解．
【详解】作AM⊥BC于M，如图所示：

则∠AMB=90°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAM=30°，
∴BM=AB=×4=2，AM=BM=2，
∴S平行四边形ABCD=BC•AM=12，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BO=DO，
∴∠OBE=∠ODF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴S△BOE=S△DOF，
∴图中阴影部分的面积= S△BOE+S△AOF= S△DOF+S△AOF= S△AOD = S平行四边形ABCD =3，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
9. 如图所示，在平行四边形ABCD中，E为边AD上一点，将△DEC沿CE翻折得到△FEC，点F在AC上，且满足AF＝EF．若∠D＝48°，则∠ACE为（　　）．

A. 59° B. 54° C. 52° D. 48°
【答案】B
【解析】
【分析】利用折叠性质和等腰三角形的性质分别求出∠CFE和∠CEF的度数，再根据三角形内角和定理求出∠ACE的度数即可．
【详解】解：由折叠知，∠CFE=∠D=48°，∠FEC=∠DEC，
∵AF=EF，
∴∠AEF=∠CFE=24°，
∴∠FEC=（180°-∠AEF）=78°，
∴∠ACE=180°-∠CFE-∠FEC=180°-48°-78°=54°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查折叠的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识是解题的关键．
10. 如图，点E是等边三角形△ABC边AC中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为，则AB的值为（　　）

A. 2 B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】连接BE，延长AC到N，使得，连接FN，证明，得到，即点N在与AN成的直线上运动，证明当时，有最小值为：，求出，即可得．
【详解】解：连接BE，延长AC到N，使得，连接FN，

∵△ABC是等边三角形，点E是AC的中点
∴，，，
∴，，
∵
∴，即，
在和中，

∴，
∴，
∴点N在与AN成的直线上运动，
∴当时，有最小值为：，
即：，
∴，
∴，
故选：D
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是证明当时，有最小值为：，即．
二、填空题（每空题3分，共15分）
11. 分解因式：_____．
【答案】a（a-2）
【解析】
【分析】观察原式，找到公因式，提出即可得出答案．
【详解】解：.
故答案为．
【点睛】此题考查提公因式法，解题关键在于因式是否还能分解．
12. 如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣3，2），B（1，0），则关于x的不等式kx+b＜2解集为___．

【答案】x>-3
【解析】
【分析】根据已知条件和一次函数的图象得出答案即可．
【详解】∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣3，2），
由图可知关于x的不等式kx+b＜2解集为x>-3
故答案为：x>-3．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是能正确识图．
13. 若关于x的分式方程有增根，则a的值为 _____．
【答案】2
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值
【详解】分式方程去分母得：a-2=4x-12，
整理得：4x-10=a，
由分式方程有增根，得到x-3=0，即x=3，
把x=3代入整式方程得：a=2，
故答案为：2．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14. 在平面直角坐标系中，A（3，2），B（﹣1，﹣4），C在y轴上，D在x轴上，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 ______．
【答案】（2，0）或（4，0）或（-4，0）
【解析】
【分析】需要以已知线段为边和对角线分类讨论，利用平行四边形的对角线交点也是对角线的中点和两点坐标求中点坐标的知识点，从而求出点坐标．
【详解】设，，
，，
以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形可得：
①若四边形为平行四边形，
对角线中点坐标为：，和，，
，
解得：，
；
②若四边形为平行四边形，
对角线中点坐标为：和，，
，
，
③若四边形为平行四边形，
对角线中点坐标为：，和，，
，
解得：，
，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了数形结合的数学思想以及平行四边形的性质应用，以为边和对角线进行分类是本题的关键点所在．
15. 如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为BC边上一点．点E为线段CD上一点，且CE＝2，AB＝，∠DAE＝60°，则DE的长为 ______．

【答案】
【解析】
【分析】将绕点A逆时针旋转至，连接ME，过M作于Q，过A作 于F，由旋转的性质得，设，则 ，，证明，得，最后利用勾股定理来解答．
【详解】解：如图，将绕点A逆时针旋转至，连接ME，过M作于Q，过A作 于F，

∵，，，AB＝，
∴，，
∴，，
∴，．
在中，．
∵，
∴.
设，
∴ ，，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵．
在和中
，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
即
．
故答案为：．
【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形有判定和性质，勾股定理，旋转的性质，作辅助线构造直角三角形是求解本题的关键．
三、解答题（第16题7分、第17题6分、第18题7分、第19题8分、第20题8分、第21题9分、第22题9分，共55分）
16. （1）分解因式：
（2）解分式方程：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先提出公因式，再利用完全平方公式解答，即可求解；
（2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】（1）解：原式

（2）解：
去分母得： 　　　
解得：
检验，当时，
∴原方程的解是
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，解分式方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
17. 解不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上．

【答案】，数轴见解析
【解析】
【分析】先求解不等式组的解集，然后再数轴上表示即可．
【详解】解：
由①得：，
由②得：，
故不等式组的解为：，
将不等式的解集表示在数轴上，如下图所示：

【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
18. 先化简再求值，选择一个你喜欢的x的值代入其中并求值．
【答案】，-2
【解析】
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算即可求出答案．
【详解】解：原式＝
＝
＝
＝
由分式有意义的条件可知：x不能取±2，当x=0时，
原式＝
＝
【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
19. 在等腰△ABC中，AB＝AC，D、E分别为AB、BC边上的中点，连接DE并延长DE到F，使得EF＝2ED，连接AE、CF．

（1）求证：四边形AEFC为平行四边形．
（2）若AC＝5，BC＝6，求CF长．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】（1）先根据三角形的中位线的定义得，，再根据已知条件得EF＝AC，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出答案；
（2）先根据等腰三角形的性质求出CE，得，然后根据勾股定理求出AE，最后根据“平行四边形的对边相等”得出答案．
小问1详解】
证明：∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，．
∵EF＝2DE，
∴EF＝AC，
∴四边形AEFC是平行四边形．
小问2详解】
∵AC=AB，E为BC中点，
∴，，
∴．
∵四边形AEFC是平行四边形，
∴CF=AE=4．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质和定义，勾股定理等，勾股定理是求线段长的常用方法．
20. 为实行乡村振兴计划，某县的果蔬加工公司先后两次购买龙眼，第一次购买龙眼用了56000元；因龙眼大量上市，价格下跌，该公司第二次购买龙眼用了84000元，所购进数量是第一次的2倍，但进货单价比第一次便宜了2000元/吨．
（1）求该公司第一次购进龙眼多少吨？
（2）公司计划把两次购买的龙眼加工成龙眼肉和干龙眼，1吨龙眼可加工成龙眼肉0．2吨或干龙眼0．5吨，龙眼肉和干龙眼的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于39万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成龙眼肉？
【答案】（1）7吨 （2）15吨
【解析】
【分析】（1）设商家第一次购进龙眼x吨，则第二次购进2x吨，根据第二次的进货单价比第一次便宜了2000元/吨，列分式方程，再解分式方程即可；
（2）设把y吨龙眼加工成龙眼肉，根据龙眼肉与干龙眼的销售额之和大于或等于39万元，列不等式，再解不等式即可得到答案．
【小问1详解】
解：设商家第一次购进龙眼x吨，则第二次购进2x吨．
根据题意，可列方程：，
解方程，得： ，
经检验，是原方程的解，
答：商家第一次购进龙眼7吨．
【小问2详解】
设把y吨龙眼加工成龙眼肉，由题意可列不等式：
，
解不等式，得：，
答：至少需要把15吨龙眼加工成龙眼肉．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系与不等关系列方程与不等式是解本题的关键．
21. 龙岗区八年级某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．
解法：如图1，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．

请利用上述模型解决下列问题：
（1）格点应用：如图2，边长为1的正方形网格内有两点A、B，直线l与A、B的位置如图所示，点P是直线l上一动点，则PA+PB的最小值为　 　；
（2）几何应用：如图3，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为　 　；
（3）代数应用：代数式（0≤x≤6）的最小值为　 　；
【答案】（1）
（2）
（3）10
【解析】
【分析】（1）连接交于，则的值最小，再由勾股定理求出的长即可；
（2）作点关于直线的对称点，连接，根据“将军饮马问题”得到的最小值为，根据勾股定理求出，得到答案；
（3）由勾股定理构造图形，再由轴对称最短路线问题得到最小值就是求的值，然后由勾股定理计算即可．
【小问1详解】
如图2，连接交于，

则的值最小，
，
的最小值为，
故答案为：；
【小问2详解】
如图3，作点关于直线的对称点，连接，

则与直线的交点即为所求的，且的最小值为，
过作交的延长线于，
由题意得：，，
，
，
的最小值为，
故答案为：；
【小问3详解】
构造图形如图4，，，，于，于，

则，
代数式的最小值就是求的值，
作点关于的对称点，过作交的延长线于．
则，，，
，
代数式的最小值为10，
故答案为：10．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了轴对称最短路线问题、勾股定理以及最小值问题，本题综合性强，解题的关键是将实际问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段．
22. （1）如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．易求∠DCE＝ °；
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．CE＝10，BC＝6，求AE的长．

【答案】（1）120°；（2），理由见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）利用等式的性质判断出∠BAD=∠CAE，进而得出△ABD≌△ACE，即可得出答案；
（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，进而得出BD=CE，∠BCE=90°，即可得出结论；
（3）同（2）的方法，即可得出结论．
【详解】（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠B=∠ACB=∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE=60°，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°，
故答案为：120；
（2）DE2=CD2+BD2；理由如下：
在Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
根据勾股定理得，DE2=CD2+CE2=CD2+BD2；
（3）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABC＝∠ACE＝45°，BD＝CE，
∴∠ABC+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝∠ECD＝90°
∵BC＝6，CE＝10，
∴BD＝CE＝10，
∴CD＝BD﹣BC=10﹣6＝4，
∴Rt△DCE中，DE＝
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△ABD≌△ACE是解本题的关键．