广东省深圳市龙岗区2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题（含答案）

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平湖外国语学校2021-2022学年第二学期八年级期末考试数学试卷

一．选择题（每题3分，共30分）
1． 下列交通标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．

2． 下列由左到右的变形中属于因式分解的是（　　）
A．24x2y＝3x·8xy B．x2＋2x＋1＝(x＋1)2
C．m2－2m－3＝m(m－2)－3 D．(x＋3)(x－3)＝x2－9

3． 如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若AB＝5，AC＝8，BC＝10，则△AEF的周长为（　　）
A．5
B．8
C．10
D．13

4． 如图所示，∠AOB＝30°，点P为∠AOB平分线上一点，PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA于点D，若PC＝4，则PD的长为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4

5． 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．

6． 如图，△ABC是等边三角形，AD∥BE，若∠1＝40°，则∠2的度数为（　　）
A．60°
B．40°
C．30°
D．20°

7． 下列不能判断一个四边形是平行四边形的是（　　）
A．一组对边平行且相等四边形
B．两组对角分别相等的四边形
C．一组对边平行，且一组对角相等的四边形
D．一组对边相等，且另一组对边平行的四边形
8． 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF的长度为（　　）
A．
B．2
C．
D．3

9． 为了改善生态环境，某社区计划在荒坡上种植600棵树，由于学生志愿者的加入，每日比原计划多种20%，结果提前1天完成任务．设原计划每天种树x棵，可列方程（　　）
A． B．
C． D．

10．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝，下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD＋S△APB＝＋．其中正确结论的序号是（　　）
A．①③④
B．①②③
C．②③④
D．①②④

二．填空题（每题3分，共15分）
11．因式分解：ax2－4ax＋4a＝________．

12．若代数式有意义，则实数x的取值范围是________．

13．如果一个多边形的每一个内角都是144°，那么这个多边形是________边形．

14．如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n(m≠0)相交于点P(1，2)，则关于x的不等式x＋1＞mx＋n的解集为________．


15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D在线段BC上，BD＝3，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，EF⊥AC，垂足为点F．则AF的长为________．

三．解答题（共55分）
16．（6分）解方程：．



17．（6分）先化简，再求值：（＋）÷，其中m＝9．




18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1（点A的对应点为A1，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1）；
（2）将△ABC绕着点O顺时针旋转180°，画出旋转后得到的△A2B2C2（点A的对应点为A2，点B的对应点为B2，点C的对应点为C2），此时四边形BCB2C2的形状是________；
（3）在平面内有一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的所有点D的坐标是________．








19．（8分）如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB⊥AC，AB＝3，BC＝5．求BD的长．



20．（7分）探究归纳题：
（1）试验分析：
如图1，经过A点可以做1条对角线；同样，经过B点可以做1条对角线；经过C点可以做1条对角线；经过D点可以做1条对角线．通过以上分析和总结，图1共有________条对角线；
（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有________条对角线；图3共有________条对角线；
（3）探索归纳：对于n边形（n＞3），共有________条对角线；（用含n的式子表示）
（4）特例验证：十边形有________对角线．


21．（10分）汽车销售公司经销某国产品牌A款电动汽车，随着新能源电动汽车的快速普及，其价格也在不断下降，今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？
（3）按照（2）中两种汽车进价不变，A款汽车仍按今年的售价，B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，分别求a值及相同的利润．



22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋3与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到线段CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x轴于点E．
（1）求证：△BOC≌△CED；
（2）请直接写出点D的坐标，并求出直线BC的函数关系式；
（3）若点P是x轴上的一个动点，点Q是线段CB上的点（不与点B、C重合），是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的P点坐标．若不存在，请说明理由．


参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列交通标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
2．下列由左到右的变形中属于因式分解的是（　　）
A．24x2y＝3x•8xy B．x2＋2x＋1＝（x＋1）2
C．m2－2m－3＝m（m－2）－3 D．（x＋3）（x－3）＝x2－9
【解答】解：A．左边不是多项式，从左至右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．从左至右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若AB＝5，AC＝8，BC＝10，则△AEF的周长为（　　）

A．5 B．8 C．10 D．13
【解答】解：∵EG是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
同理，FA＝FC，
∴△AEF的周长＝EA＋EF＋FA＝EB＋EF＋FC＝BC＝10，
故选：C．
4．如图所示，∠AOB＝30°，P为∠AOB平分线上一点，PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA于点D，若PC＝4，则PD的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：过点P作PE⊥OB，
∵PC∥OA，
∴∠CPO＝∠POD，
∵OP是∠AOB的平分线，
∴∠COP＝∠DOP，
∴∠COP＝∠CPO，
∵∠AOB＝30°，
∴∠PCE＝30°，
∵PC＝4，
∴PE＝2，
∴PD的长为2．
故选：B．

5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由2x－4＜0，得：x＜2，
由3－x≤4，得：x≥－1，
则不等式组的解集为－1≤x＜2，
故选：A．
6．如图，△ABC是等边三角形，AD∥BE，若∠1＝40°，则∠2的度数为（　　）

A．60° B．40° C．30° D．20°
【解答】解：∵△ABC是正三角形，
∴∠CAB＝∠CBA＝60°，
∵AD∥BE，
∴∠BAD＋∠ABE＝180°，即∠1＋∠CAB＋∠CBA＋∠2＝180°，
∵∠1＝40°，
∴∠2＝180°－60°－60°－40°＝20°，
故选：D．
7．下列不能判断一个四边形是平行四边形的是（　　）
A．一组对边平行且相等四边形
B．两组对角分别相等的四边形
C．一组对边平行，且一组对角相等的四边形
D．一组对边相等，且另一组对边平行的四边形
【解答】解：A、∵一组对边平行且相等四边形是平行四边形，
∴选项A不符合题意；
B、∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴选项B不符合题意；
C、∵一组对边平行，且一组对角相等的四边形是平行四边形，
∴选项C不符合题意；
D、∵一组对边相等，且另一组对边平行不一定是平行四边形，
∴选项D符合题意；
故选：D．
8．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF的长度为（　　）

A． B．2 C． D．3
【解答】解：由作法可知，BF平分∠ABC，则∠ABE＝∠CBF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，AB∥CF，
∴∠F＝∠ABE，
∴∠F＝∠CBF，
∴CF＝CB＝9，
∴DF＝CF－CD＝9－6＝3．
故选：D．
9．为了改善生态环境，某社区计划在荒坡上种植600棵树，由于学生志愿者的加入，每日比原计划多种20%，结果提前1天完成任务．设原计划每天种树x棵，可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设原计划每天种x棵树，实际每天种树（1＋20%）x棵树，
由题意得：．
故选：D．
10．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝，下列结论：
①△APD≌△AEB；
②点B到直线AE的距离为；
③EB⊥ED；
④S△APD＋S△APB＝＋．
其中正确结论的序号是（　　）

A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD，
∵AP⊥AE，
∴∠BAE＋∠BAP＝90°，
又∵∠DAP＋∠BAP＝∠BAD＝90°，
∴∠BAE＝∠DAP，
在△APD和△AEB中，
，
∴△APD≌△AEB（SAS），故①正确；

∵AE＝AP，AP⊥AE，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴∠AEP＝∠APE＝45°，
∴∠AEB＝∠APD＝180°－45°＝135°，
∴∠BEP＝135°－45°＝90°，
∴EB⊥ED，故③正确；

∵AE＝AP＝1，
∴PE＝AE＝，
在Rt△PBE中，BE＝＝＝2，
∴S△APD＋S△APB＝S△APE＋S△BPE，
＝×1×1＋××2，
＝0.5＋，故④正确；

过点B作BF⊥AE交AE的延长线于F，
∵∠BEF＝180°－135°＝45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BF＝×2＝，
即点B到直线AE的距离为，故②错误，
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：A．

二．填空题（共5小题）
11．因式分解：ax2－4ax＋4a＝　a（x－2）2　．
【解答】解：ax2－4ax＋4a
＝a（x2－4x＋4）
＝a（x－2）2．
故答案为：a（x－2）2．
12．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　x≠3　．
【解答】解：∵x－3≠0，
∴x≠3．
故答案为：x≠3．
13．如果一个多边形的每一个内角都是144°，那么这个多边形是 　十　边形．
【解答】解：∵一个多边形的每个内角都是144°，
∴这个多边形的每个外角都是（180°－144°）＝36°，
∴这个多边形的边数＝360°÷36°＝10．
故答案为：十．
14．如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n（m≠0）相交于点P（1，2），则关于x的
不等式x＋1＞mx＋n的解集为　x＞1　．

【解答】解：∵直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n（m≠0）相交于点P（1，2），
∴当x＞1时，x＋1＞mx＋n，
即关于x的不等式x＋1＞mx＋n的解集为x＞1．
故答案为x＞1．
15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D在线段BC上，BD＝3，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，EF⊥AC，垂足为点F．则AF的长为 　1　．

【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
根据勾股定理得，AB2＋AC2＝BC2，
∴BC＝．
又∵BD＝3，
∴．
过点D作DM⊥AC于点M，

由已知条件得∠DAE＝90°，
∴∠DAC＋∠EAF＝90°．
又∵∠DAC＋∠ADM＝90°，
∴∠ADM＝∠EAF．
在Rt△ADM和Rt△EAF中，
．
∴△ADM≌△EAF（AAS），
∴AF＝DM．
在等腰Rt△DMC中，由勾股定理得，
DM2＋MC2＝DC2，
∴DM＝1，
∴AF＝DM＝1．
故答案为：1．
三．解答题（共8小题）
16．解方程：．
【解答】解：去分母得：2x－1＝3x－3，
移项合并得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解；
17．先化简，再求值：（＋）÷，其中m＝9．
【解答】解：原式＝×
＝，
当m＝9时，
原式＝＝．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1（点A的对应点为A1，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1）；
（2）将△ABC绕着点O顺时针旋转180°，画出旋转后得到的△A2B2C2（点A的对应点为A2，点B的对应点为B2，点C的对应点为C2），此时四边形BCB2C2的形状是 　平行四边形　；
（3）在平面内有一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的所有点D的坐标是 　（2，－1）或（0，3）或（6，5）　．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1，即为所求．
（2）如图，△A2B2C2，即为所求．四边形BCB2C2的形状是平行四边形．

（3）D的坐标是（2，－1）或（0，3）或（6，5）．
故答案为：（2，－1）或（0，3）或（6，5）．
19．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB⊥AC，AB＝3，BC＝5．求BD的长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵E，F分别是OB，OD的中点，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝，
∴OA＝AC＝2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝，
∴BD＝2OB＝2．
20．探究归纳题：

（1）试验分析：
如图1，经过A点可以做1条对角线；同样，经过B点可以做1条对角线；经过C点可以做1条对角线；经过D点可以做1条对角线．通过以上分析和总结，图1共有 　2　条对角线
（2）拓展延伸：
运用1的分析方法，可得：图2共有 　5　条对角线；图3共有 　9　条对角线；
（3）探索归纳：对于n边形（n＞3），共有 　　条对角线．（用含n的式子表示）
（4）特例验证：十边形有 　35　对角线．

【解答】解：经过A点可以做 1条对角线；同样，经过B点可以做 1条；经过C点可以做 1条；经过D点可以做 1条对角线．
通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线．
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2共有 5条对角线；
图3共有 9条对角线；
（3）探索归纳：
对于n边形（n＞3），共有条对角线．
（4）特例验证：
十边形有＝35对角线．
故答案为：（1）2；（2）5、9；（3）；（4）35．
21．汽车销售公司经销某国产品牌A款电动汽车，随着新能源电动汽车的快速普及，其价格也在不断下降，今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？
（3）按照（2）中两种汽车进价不变，A款汽车仍按今年的售价，B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，分别求a值及相同的利润．
【解答】解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元，
根据题意，得：＝，解得：m＝9．
经检验，m＝9是原方程的根且符合题意．
答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元；
（2）设购进A款汽车x辆．根据题意，得：
99≤7.5x＋6（15－x）≤105．解得：6≤x≤10．
∵x的正整数解为6，7，8，9，10，
∴共有5种进货方案，
方案1．购进A款汽车6辆，购进B款汽车9辆．
方案2．购进A款汽车7辆，购进B款汽车8辆．
方案3．购进A款汽车8辆，购进B款汽车7辆．
方案4．购进A款汽车9辆，购进B款汽车6辆．
方案5．购进A款汽车10辆，购进B款汽车5辆；
（3）设总获利为W万元，购进A款汽车x辆，根据题意，得：
W＝（9－7.5）x＋（8－6－a）（15－x）＝（a－0.5）x＋30－15a．
当a＝0.5时，（2）中所有方案获利相同．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋3与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到线段CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x轴于点E．
（1）求证：△BOC≌△CED；
（2）请直接写出点D的坐标，并求出直线BC的函数关系式；
（3）若点P是x轴上的一个动点，点Q是线段CB上的点（不与点B、C重合），是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的P点坐标．若不存在，请说明理由．

【解答】（1）证明：∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，
∴∠OCB＋∠OBC＝90°，∠OCB＋∠ECD＝90°，
∴∠OBC＝∠ECD，
∵将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，∴BC＝CD，
在△BOC和△CED中，，
∴△BOC≌△CED（AAS）；
（2）解：在y＝－x＋3中，令x＝0，则y＝3；令y＝0，则x＝6，
∴点B的坐标为（0，3），点A的坐标为（6，0），
设OC＝m，由（1）得：△BOC≌△CED，
∴OC＝ED＝m，BO＝CE＝3，∴点D的坐标为（m＋3，m），
∵点D在直线y＝－x＋3上，
∴m＝－（m＋3）＋3，解得：m＝1，
∴点D的坐标为（4，1），点C的坐标为（1，0），
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
将B（0，3）、C（1，0）代入解析式得：，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝－3x＋3；
（3）解：存在，理由如下：
∵点Q在线段CB上，直线BC的解析式为y＝－3x＋3，
∴设点Q（x，－3x＋3），
∵点P在x轴上，以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴DQ∥PC，DQ＝PC，
∴点Q的纵坐标＝点D的纵坐标＝1，
∴－3x＋3＝1，解得：x＝，∴PC＝DQ＝4－＝，
设点P的坐标为（a，0），分两种情况：
①如图1所示：

则1－a＝，解得：a＝－，∴P（－，0）；
②如图2所示：

则a－1＝，则a＝，∴P（，0）；
综上所述，存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，P点坐标为（－，0）或（，0）．